1、2.3.4圆与圆的位置关系学习目标1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性知识点两圆的位置关系圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d0)，C2：x2y2D2xE2yF20(DE4F20)，联立方程，得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数
2、210两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含1如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()2如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()3从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()4若两圆有公共点，则|r1r2|dr1r2.()题型一两圆的位置关系命题角度1两圆位置关系的判断例1(1)已知圆C1：x2y22x4y40和圆C2：4x24y216x8y190，则这两个圆的公切线的条数为()A1或3 B4C0 D2考点圆与圆的位置关系题点两圆的位置关系与其公切线答案D解析对两个圆的方程配方得圆C1：(x1)2(y2)21及圆C2：(x2)2(y1
3、)2，则圆心距d|C1C2|，11，故两个圆相交，则这两个圆的公切线有2条(2)圆(x2)2(y2)21与圆(x2)2(y5)216的位置关系为_考点圆与圆的位置关系题点判断两圆的位置关系答案外切解析两圆的圆心分别为O1(2,2)，O2(2,5)，半径分别为r11，r24，所以|O1O2|5r1r2，所以两圆相外切反思感悟判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系跟踪训练1已知圆C1：x2y
4、22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230，当m为何值时，分别满足下列情况：(1)圆C1与圆C2外切；(2)圆C1与圆C2内含考点题点解易得圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24.(1)如果圆C1与圆C2外切，则32，所以m23m100，解得m2或m5.(2)如果圆C1与圆C2内含，则32，所以m23m20，解得2m1.命题角度2已知两圆的位置关系求参数例2当a为何值时，两圆C1：x2y22ax4ya250和C2：x2y22x2aya230：(1)外切；(2)相交；(3)外离解将两圆方程写成标准形式，则C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)
5、24.两圆的圆心和半径分别为C1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22.设两圆的圆心距为d，则d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)当d5，即2a26a525时，两圆外切，此时a5或a2；(2)当1d5，即12a26a525时，两圆相交，此时5a2或1a5，即2a26a525时，两圆相离，此时a2或a5.反思感悟(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径计算两圆圆心的距离d.通过d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非
6、常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系跟踪训练2求a为何值时，圆C1：x2y216与圆C2：(xa)2y21相切解圆C1与圆C2的圆心距为d|a|.当两圆外切时，有|a|415，a5；当两圆内切时，有|a|413，a3.题型二两圆的公共弦问题例3已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.(1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度解(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210，圆C1的圆心坐标为(1，5)，半径为r15，圆C2的圆心坐标为(1，1)，半径为r2.又|C1C2|2，r1r25，
7、|r1r2|5|，|r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x2y40.(3)方法一由(2)知，圆C1的圆心(1，5)到直线x2y40的距离为d3，公共弦长为l222.方法二设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或|AB|2.即公共弦长为2.反思感悟(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.(2)公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长几何法：求出公共
8、弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解跟踪训练3(1)两圆x2y210x10y0，x2y26x2y400的公共弦的长为()A5 B5 C10 D10考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点两圆公共弦长问题答案D(2)圆C1：x2y21与圆C2：x2y22x2y10的公共弦所在的直线被圆C3：(x1)2(y1)2所截得的弦长为_考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点两圆公共弦长问题答案解析由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为xy10.又圆C3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l的距离为d，由条件知，r2d2，所以弦长为
9、2.圆系方程的应用典例(1)求圆心在直线xy40上，且过两圆x2y24x60和x2y24y60的交点的圆的方程考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点求过两圆交点的圆的方程解方法一设经过两圆交点的圆系方程为x2y24x6(x2y24y6)0(1)，即x2y2xy60，所以圆心坐标为.又圆心在直线xy40上，所以40，即.所以所求圆的方程为x2y26x2y60.方法二由得两圆公共弦所在直线的方程为yx.由解得所以两圆x2y24x60和x2y24y60的交点坐标分别为A(1，1)，B(3,3)，线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y1(x1)由得即所求圆的圆心坐标为(3，1)，半径为4.所以所求
10、圆的方程为(x3)2(y1)216.(2)求过直线xy40与圆x2y24x2y40的交点且与直线yx相切的圆的方程考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点求过直线与圆交点的圆的方程解设所求圆的方程为x2y24x2y4(xy4)0.联立得x2(1)x2(1)0.因为所求圆与直线yx相切，所以0，即(1)28(1)0，解得3，故所求圆的方程为x2y27xy80.素养评析(1)当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0，1，然后用待定系数法求出即可(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，体现了数学运算的数学核心素养.1两圆x2
11、y210和x2y24x2y40的位置关系是()A内切 B相交C外切 D外离答案B解析圆x2y210的圆心为C1(0,0)，半径为r11，圆x2y24x2y40的圆心为C2(2，1)，半径为r23，两圆的圆心距为d|C1C2|，又r2r12，r1r24，所以r2r1dr1r2，故两圆相交2两圆x2y26x16y480与x2y24x8y440的公切线的条数为()A4 B3 C2 D1考点圆与圆的位置关系题点两圆的位置关系与其公切线答案C解析两圆的标准方程分别为(x3)2(y8)2121；(x2)2(y4)264，则两圆的圆心与半径分别为C1(3，8)，r111；C2(2,4)，r28.圆心距为|C1C2|13.r1r2|C1C2|0)的公共弦长为2，求a的值解将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y，圆心(0,0)到直线的距离为d1，所以a1.1判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用(2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系2当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程3求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长
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