1、1.1.7柱、锥、台和球的体积基础过关1.正方体的表面积为96,则正方体的体积为()A.48B.64C.16D.96答案B解析设正方体的棱长为a,则6a296,a4,故Va34364.2.若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积增大到原来的()A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍答案C解析设气球原来的半径为r,体积为V,则Vr3,当气球的半径扩大到原来的2倍后,其体积变为原来的238倍.3.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.12B.18C.942D.3618答案B解析由三视图可得几何体为长方体与球的组合体,故体积为V322318.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
2、()A.B.C.200D.240答案C解析先将三视图还原为空间几何体,再根据体积公式求解.由三视图知该几何体为直四棱柱,其底面为等腰梯形,上底长为2,下底长为8,高为4,故面积为S20.又棱柱的高为10,所以体积VSh2010200.5.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A. B. C. D.答案B解析如图画出圆柱的轴截面ABCD,O为球心.球半径ROA1,球心到底面圆的距离为OM.底面圆半径r,故圆柱体积Vr2h1.6.一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为_.答案12解析设正六棱锥的高为h,侧
3、面的斜高为h.由题意,得62h2,h1,斜高h2,S侧62212.7.一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形,侧棱垂直于底面,它的三视图如图所示,AA13.(1)请画出它的直观图;(2)求这个三棱柱的表面积和体积.解(1)直观图如图所示.(2)由题意可知,SABC3.S侧3ACAA133327.故这个三棱柱的表面积为27227.这个三棱柱的体积为3.能力提升8.一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4答案B解析由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,如图所示.由题意知,当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切
4、圆相同时,该球的半径最大,故其半径r(6810)2.因此选B.9.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_.答案解析正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体,其中正八面体的所有棱长都是,则该正八面体的体积为()22.10.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是_.答案1解析由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体,半圆锥的底面半径为1,高为3,三棱锥的底面积为211,高为3.故原几何体体积为:V123131.11.若E,F是三棱柱ABCA1B1C1侧棱BB1和CC1上的点,且B1ECF,三棱柱的体积为m
5、,求四棱锥ABEFC的体积.解如图所示,连接AB1,AC1.B1ECF,梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.又四棱锥ABEFC的高与四棱锥AB1EFC1的高相等,VABEFCVA-B1EFC1VA-BB1C1C.又VA-A1B1C1SA1B1C11h,VA-BCA1B1C1SA1B1C1hm,VA-A1B1C1,VA-BB1C1CVA-BCA1B1C1VA-A1B1C1m,VABEFCm,即四棱锥ABEFC的体积是.创新突破12.在四棱锥EABCD中,底面ABCD为梯形,ABCD,2AB3CD,M为AE的中点,设EABCD的体积为V,那么三棱锥MEBC的体积为多少?解设点B到平面EM
6、C的距离为h1,点D到平面EMC的距离为h2.连接MD.因为M是AE的中点,所以VMABCDV.所以VEMBCVVEMDC.而VEMBCVBEMC,VEMDCVDEMC,所以.因为B,D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离,而ABCD,且2AB3CD,所以.所以VEMBCVMEBCV.13.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?解设圆锥形杯子的高为hcm,要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须V圆锥V半球,而V半球r343,V圆锥Shr2h42h.依题意:42h43,解得h8,即当圆锥形杯子杯口直径为8cm,高大于或等于8cm时,冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为S圆锥侧rlr,当圆锥高取最小值8时,S圆锥侧最小,所以高为8cm时,制造的杯子最省材料.