1、九年级培优练习卷（二次函数，反比例函数，三角函数）1. 已知二次函数y=-2x2+8x-6，完成下列各题：(1)将函数关系式用配方法化为y=a(x+h)2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴；(2)它的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，求SABC2. 抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于点(0,3)(1)求抛物线的解析式；(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标3. 抛物线y=-2x2+8x-6(1)用配方法求顶点坐标，对称轴；(2)x取何值时，y随x的增大而减小？4. 如图，抛物线y=x2+x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C (1)求点A，点B和点C的坐标；(2)在抛物线
2、的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；(3)若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值5. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(-1,0)和点C(0,3)，对称轴为直线x=1(1)求该二次函数的关系式和顶点坐标；(2)结合图象，解答下列问题：当-1x2时，求函数y的取值范围；当y0)的图象交于A(1,m)、B(n,1)两点(1)求k、m、n的值(2)根据图象写出当y1y2时，x的取值范围(3)若一次函数图象与x轴、y轴分别交于点N、M，则求出AON的面积18. 如图，正比例函数y1=-3x的图象与反比例函数y2=kx的图象交于A、B两点
3、点C在x轴负半轴上，AC=AO，ACO的面积为12(1)求k的值；(2)根据图象，当y1y2时，写出x的取值范围19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n(m0)的图象与反比例函数y=kx(k0)的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BMx轴，垂足为M，BM=OM，OB=22，点A的纵坐标为4(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接MC，求四边形MBOC的面积20. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，与反比例函数的图象交于点C，连接CO，过C作CDx轴于D，已知tanABO=12，OB=4，OD=2(1)求直线AB和
4、反比例函数的解析式；(2)在x轴上有一点E，使CDE与COB的面积相等，求点E的坐标21. 如图，直线y1=-x+4，y2=34x+b都与双曲线y=kx交于点A(1,m)，这两条直线分别与x轴交于B，C两点(1)求y与x之间的函数关系式；(2)直接写出当x0时，不等式34x+bkx的解集；(3)若点P在x轴上，连接AP把ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标22. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=ax的图象在第一象限交于A、B两点，B点的坐标为(3,2)，连接OA、OB，过B作BDy轴，垂足为D，交OA于C，若OC=CA(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求AOB的面
5、积23. 某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10，待加热到100，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y()和通电时间x(min)成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程设某天水温和室温为20，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：(1)分别求出当0x8和8xa时，y和x之间的关系式；(2)求出图中a的值；(3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40的开水，问他需要在什么时间段内接水答案和解析1.【答案】解：(1)y=-2x2+8x
6、-6=-2(x2-4x+3)=-2(x2-4x+4-4+3)=-2(x-2)2+2，顶点坐标为(2,2)，对称轴为直线x=2(2)令-2(x-2)2+2=0解得：x1=3，x2=1A(3,0)，B(1,0)AB=3-1=2C(2,2)，SABC=1222=2【解析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握配方法的操作整理成顶点式形式求出顶点坐标和对称轴更加简便(1)利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可；(2)令y=0解关于x的一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可2.【答案】解：(1)把(0,3)代入
7、y=-x2+(m-1)x+m得，m=3，故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；(2)当y=0时，0=-x2+2x+3，解得，x=1或x=3，则抛物线与x轴的交点是(-1,0)、(3,0)，y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，抛物线的顶点是(1,4)【解析】(1)把点(0,3)坐标代入即可求出m的值；(2)由(1)可知抛物线的解析式，进而可求出它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线和x轴交点坐标，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键3.【答案】解：(1)y=-2x2+8x-6=-2(x2-4x)-6=-2(x2-4x+4)
8、+8-6=-2(x-2)2+2，该抛物线的顶点坐标为(2,2)，对称轴为直线x=2(2)a=-22时，y随x的增大而减小【解析】本题考查了二次函数的三种形式以及二次函数的性质，利用配方法将二次函数解析式的一般式变换成顶点式是解题的关键(1)利用配方法将抛物线解析式变形为y=-2(x-2)2+2，由此即可得出抛物线的顶点坐标以及抛物线的对称轴；(2)由a=-22时，y随x的增大而减小，此题得解4.【答案】解：(1)由y=0，得x2+x-2=0解得x=-2x=l，A(-2,0)，B(l,0)，由x=0，得y=-2，C(0,-2)(2)连接AC与对称轴的交点即为点P设直线AC为y=kx+b，则-2k
9、+b=0，b=-2：得k=-l，y=-x-2对称轴为x=-12，当x=-12时，P(-12,-32).(3)过点M作MNx轴与点N，设点M(x,x2+x-2)，则AN=x+2，ON=-x，OB=1，OC=2，MN=-(x2+x-2)=-x2-x+2，S四边形ABCM=SAOM+SOCM+SBOC=12(x+2)(-x2-x+2)+12(2-x2-x+2)(-x)+1212=-x2-2x+3=-(x+1)2+4-10，当x=-1时，S四边形ABCM的最大值为4【解析】本题考查二次函数综合题、待定系数法、两点之间线段最短、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决在性质
10、问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型(1)利用待定系数法即可解决问题(2)连接AC与对称轴的交点即为点P.求出直线AC的解析式即可解决问题(3)过点M作MNx轴与点N，设点M(x,x2+x-2)，则AN=x+2，ON=-x，OB=1，OC=2，MN=-(x2+x-2)=-x2-x+2，根据S四边形ABCM=SAOM+SOCM+SBOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题5.【答案】解：(1)根据题意得a-b+c=0c=3-b2a=1，解得a=-1b=2c=3,所以二次函数关系式为y=-x2+2x+3，因为y=-(x-1)2+4，所以抛物线的顶点坐标为(1,4)；(2)当
11、x=-1时，y=0；x=2时，y=3；而抛物线的顶点坐标为(1,4)，且开口向下，所以当-1x2时，0y4；当y=3时，-x2+2x+3=3，解得x=0或2，所以当y3时，x2【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，也考查了二次函数的性质(1)把A点和C点坐标代入y=ax2+bx+c得到两个方程，再加上对称轴方程即可得到三元方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式即可得到顶点坐标；(2)先分别计算出x为-1和2时的函数值，然后根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围；先计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后根据二次函数的性质写出y0,y0)，SCO
12、E=1213=32，SABP=124y=2y，SABP=4SCOE，2y=432，y=3，-x2+2x+3=3，解得：x1=0(不合题意，舍去)，x2=2，P(2,3)【解析】此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据SABP=4SCOE列出方程是解决问题的关键(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；(2)令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；(3)设P(x,y)(x0,y0)，根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标8.【答案】解：(1)抛物线y=ax2+bx+c
13、的图象与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,-3)，a(-1)2+b(-1)+c=0a32+3b+c=0c=-3，解得，a=1b=-2c=-3，即此抛物线的解析式是y=x2-2x-3；(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4，此抛物线顶点D的坐标是(1,-4)，对称轴是直线x=1；(3)存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为(1,y)，当PA=PD时，(-1-1)2+(0-y)2=(1-1)2+(-4-y)2，解得，y=-32，即点P的坐标为(1,-32)；当DA=DP时，(-1-1)2+0-(-4)2=(1-1)2+(-4-y)2
14、，解得，y=-425，即点P的坐标为(1,-4-25)或(1,-4+25)；当AD=AP时，(-1-1)2+0-(-4)2=(-1-1)2+(0-y)2，解得，y=4，即点P的坐标是(1,4)或(1,-4)，当点P为(1,-4)时与点D重合，故不符合题意，由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为(1,-32)或(1,-4-25)或(1,-4+25)或(1,4)【解析】本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题(1)根据抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0
15、,-3)，可以求得抛物线的解析式；(2)根据(1)中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；(3)首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可9.【答案】解：过点C作CDAB于点DA=30，CD=12AC=33，AD=ACcosA=9，cosB=45，设BD=4x，则BC=5x，由勾股定理得，CD=3x，由题意的，3x=33，解得，x=3，BD=43，AB=AD+BD=9+43【解析】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键过点C作CDAB于点D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出AD，根据余弦的定义求出BD，计算
16、即可10.【答案】解：作DHAB于H，在RtCDE中，DE=12CD=3，CE=32CD=33，BE=33+8，在RtADH中，AH=DHtanADH=9+83，AB=AH+BH=12+83，答：楼房AB的高度为(12+83)m【解析】作DHAB于H，根据正弦、余弦的定义求出DE、CE，根据正切的概念求出AH，计算即可本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题、仰角俯角问题，掌握坡度坡角、仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键11.【答案】解：过点B作BFAC于F，BGCD于G，在RtBAF中，BAF=65，BF=ABsinBAF=0.80.9=0.72，AF=ABcosBAF=
17、0.80.4=0.32，FC=AF+AC=4.32，四边形FCGB是矩形，BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，BDG=45，BDG=GBD，GD=GB=4.32，CD=CG+GD=5.04，在RtACE中，AEC=50，CE=ACtanAEC=41.23.33，DE=CD-CE=5.04-3.33=1.711.7，答：小水池的宽DE为1.7米【解析】过点B作BFAC于F，BGCD于G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可此题考查的知识点是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形12.【答案】解：作AMEF于点M
18、，作BNEF于点N，如图所示，由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，ACF=45，BDF=60，CM=AMtan45=601=60米，DN=BNtan60=603=203米，AB=CD+DN-CM=100+203-60=(40+203)米，即A、B两点的距离是(40+203)米【解析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答问题根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN的长，由于AB=CN-CM，从而可以求得AB的长13.【答案】解：(1)分别过A、D作AFBC，DGBC，垂点分别为F、G，如图所示在RtABF中，
19、AB=4米，B=60，sinB=AFAB，AF=432=23(米)，DG=AF=23米，SDCE=12CEDG=12223=23(平方米)需要填土石方：15023=3003(立方米)；(2)在直角三角形DGC中，DC=43米，GC=CD2-DG2=6米，GE=GC+CE=8米，坡度i=DG：GE=23：8=3：4【解析】(1)分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G.在RtABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；以CE为底，DG为高即可求出CED的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填土石方体积；(2)在RtCDG中，由勾股定理求CG的长，即可得到GE的长；
20、RtDEG中，根据DG、GE的长即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力解题的关键是牢记坡度是竖直高度与水平宽度的比值14.【答案】解：(1)如图，作DPMN于点P，即DPC=90， DE/MN，DCP=ADE=76，则在RtCDP中，DP=CDsinDCP=40sin7639(cm)，答：椅子的高度约为39厘米；(2)作EQMN于点Q，DPQ=EQP=90，DP/EQ，又DF/MN，AED=58，ADE=76，四边形DEQP是矩形，DCP=ADE=76，EBQ=AED=58，DE=PQ=20，EQ=DP=39，又CP=CDcosDCP=40c
21、os769.6(cm)，BQ=EQtanEBQ=39tan5824.4(cm)，BC=BQ+PQ+CP=24.4+20+9.654(cm)，答：椅子两脚B、C之间的距离约为54cm【解析】本题主要考查解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案(1)作DPMN于点P，即DPC=90，由DE/MN知DCP=ADE=76，根据DP=CDsinDCP可得答案；(2)作EQMN于点Q可得四边形DEQP是矩形，知DE
22、=PQ=20，EQ=DP=39，再分别求出BQ、CP的长可得答案15.【答案】解：(1)A=60，ABE=90，AB=6，tanA=BEAB，E=30，BE=tan606=63，又CDE=90，CD=4，sinE=CDCE，E=30，CE=412=8，BC=BE-CE=63-8；(2)ABE=90，AB=6，sinA=45=BEAE，设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，3x=6，得x=2，BE=8，AE=10，tanE=ABBE=68=CDDE=4DE，解得，DE=163，AD=AE-DE=10-163=143，即AD的长是143【解析】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是明确题意，
23、找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答(1)要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；(2)要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决16.【答案】解：如图，作BEDH于点E，则GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，在RtACH中，CH=AHtanCAH=tan55x，CE=CH-EH=tan55x-10，DBE=45，BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55x-10+35，解得：x45，CH=tan55x=1.445=63，答：塔杆CH的高为63米【
24、解析】作BEDH，知GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=43+x，由CH=AHtanCAH=tan55x知CE=CH-EH=tan55x-10，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形17.【答案】解：(1)把A(1,m)、B(n,1)两点的坐标代入y1=-x+4，得m=-1+4=3，-n+4=1，n=3，则A(1,3)、B(3,1)把B(3,1)代入y2=kx，得k=31=3；(2)A(1,3)、B(3,1)，由函数图象可知，y1y2时，x的取值范围是1xy2时，x的范围为x-2或0x1；
25、(3)y1=-x+4，令y=0，则x=4，点B的坐标为(4,0)，把A(1,3)代入y2=34x+b，可得3=34+b，b=94，y2=34x+94，令y=0，则x=-3，即C(-3,0)，BC=7，AP把ABC的面积分成1：3两部分，CP=14BC=74，或BP=14BC=74，OP=3-74=54，或OP=4-74=94，P(-54,0)或(94,0)【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合与分类讨论思想，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点(1)求得A(1,3)，把A(1,3)
26、代入双曲线y=kx，可得y与x之间的函数关系式；(2)依据A(1,3)，可得当x0时，不等式34x+bkx的解集为x1；(3)分两种情况进行讨论，AP把ABC的面积分成1：3两部分，则CP=14BC=74，或BP=14BC=74，即可得到OP=3-74=54，或OP=4-74=94，进而得出点P的坐标【解答】解：(1)见答案；(2)A(1,3)，当x1时，不等式34x+bkx的解集为：x1，故答案为x1；(3)见答案22.【答案】解：(1)如图，过点A作AFx轴交BD于E，点B(3,2)在反比例函数y=ax的图象上，a=32=6，反比例函数的表达式为y=6x，B(3,2)，EF=2，BDy轴，
27、OC=CA，AE=EF=12AF，AF=4，点A的纵坐标为4，点A在反比例函数y=6x图象上，A(32,4)，3k+b=232k+b=4，k=-43b=6，一次函数的表达式为y=-43x+6；(2)如图1，过点A作AFx轴于F交OB于G，B(3,2)，直线OB的解析式为y=23x，G(32,1)，A(32,4)，AG=4-1=3，SAOB=SAOG+SABG=1233=92【解析】(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；(2)先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论此题主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，三
28、角形的中位线，解本题的关键是用待定系数法求出直线AB的解析式23.【答案】解：(1)当0x8时，设y=k1x+b，将(0,20)，(8,100)代入y=k1x+b，得k1=10，b=20，所以当0x8时，y=10x+20；当8xa时，设y=k2x，将(8,100)代入，得k2=800，所以当8xa时，y=800x；故当0x8时，y=10x+20；当8xa时，y=800x；(2)将y=20代入y=800x，解得a=40；(3)800x40，20x40所以李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前能喝到不超过40的开水，则需要在7：508：10时间段内接水【解析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出两个函数的解析式(1)由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得y与x的关系式；(2)将y=20代入y=800x，即可得到a的值；(3)要想喝到不超过40的开水，7：30加20分钟即可接水，一直到8：10第27页，共28页
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