1、2020年北京市海淀区中考数学模拟试卷一选择题（满分30分，每小题3分）1下列对于二次根式的计算正确的是（）AB22C22D22阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2，x1x2，请根据该阅读材料计算：已知x1、x2是方程x2+6x+30的两实属根，则+的值为（）A10B8C6D43已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）Aabc0Bb24ac0C9a+3b+c0Dc+8a04如图，D3081次六安至汉口动车在金寨境内匀速通过一条隧道（隧道长大于火车长），火车进入隧道的时间x与火车在隧道内
2、的长度y之间的关系用图象描述大致是（）ABCD5如图，x的两条边被一直线所截，用含和的式子表示x为（）ABC180+D1806如图，OAB绕点O逆时针旋转85得到OCD，若A110，D40，则的度数是（）A35B45C55D657两个人的影子在两个相反的方向，这说明（）A他们站在阳光下B他们站在路灯下C他们站在路灯的两侧D他们站在月光下8如图，矩形ABCD中，AB6，AD2，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF，此时恰好四边形AEHB为菱形，连接CH交FG于点M，则HM的长度为（）AB2CD19Windows 2000下有一个有趣的“扫雷”游戏如图是“扫雷”游戏的一部分，说明
3、：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷概率最大的方格是（）ABC 22 AABBCCD无法确定10定义一种变换f：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若某一序列S0，经变换得到新序列S1，由序列S1继续进行变换得到S2，最终得到序列Sn1（n2）与序列Sn相同，则下面的序列可作为Sn的是（）A（
4、1，2，1，2，2）B（2，2，2，3，3）C（1，1，2，2，3）D（3，2，3，3，2）二填空题（满分18分，每小题3分）11化简的结果为 12定义运算“”：ab，若5x2，则x的值为 13在平面直角坐标系中将点A（3，2）向y轴的负方向平移3个单位长度所得点的坐标为 14如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是 15如图，AB是O的直径，BT是O的切线，若ATB45，AB2，则阴影部分的面积是 16如图，在ABC中，AB4，AC3，以BC为边在三角形外作正方形BCDE，连接BD，CE交于点O，
5、则线段AO的最大值为 三解答题（共7小题，满分10分）17先化简，再求值：，其中a1+18解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来19如图，D、C、F、B四点在一条直线上，ABDE，ACBD，EFBD，垂足分别为点C、点F，CDBF求证：（1）ABCEDF；（2）ABDE20如图所示，O中，弦AC、BD交于E，（1）求证：；（2）延长EB到F，使EFCF，试判断CF与O的位置关系，并说明理由21某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相
6、关数据回答下列问题：（1）则样本容量是 ，并补全直方图；（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12的次数；（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率发言次数nA0n3B3n6C6n9D9n12E12n15F15n1822如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）
7、在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得PAB的面积最大，并求出这个最大值23王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使ACPABC，还需要补充的一个条件是 ，或 请回答：（1）王华补充的条件是 ，或 （2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：如图2，在ABC中，A30，AC2AB2+ABBC求C的度数参考答案与试题解析一选择题（满分30分，每小题3分）1【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断【解答】解
8、：A、与不能合并，所以A选项错误；B、原式，所以B选项错误；C、原式2，所以C选项正确；D、原式6，所以D选项错误故选：C【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍2【分析】利用材料中的根与系数的关系求出x1+x26，x1x23，再代入化简后的式子即可求解【解答】解：x1+x2，x1x2，在方程x2+6x+30中，x1+x26，x1x23，+10故选：A【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是理解材料中的根与系数的关系
9、3【分析】根据二次函数的图象求出a0，c0，根据抛物线的对称轴求出b2a0，即可得出abc0；根据图象与x轴有两个交点，推出b24ac0；对称轴是直线x1，与x轴一个交点是（1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x3代入二次函数得出y9a+3b+c0；把x4代入得出y16a8a+c8a+c，根据图象得出8a+c0【解答】解：A、二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，a0，c0，抛物线的对称轴是直线x1，1，b2a0，abc0，故本选项错误；B、图象与x轴有两个交点，b24ac0，故本选项错误；C、对称轴是直线x1，与x轴一个交点是（1，0），与x轴另一个交点的坐标
10、是（3，0），把x3代入二次函数yax2+bx+c（a0）得：y9a+3b+c0，故本选项错误；D、当x3时，y0，b2a，yax22ax+c，把x4代入得：y16a8a+c8a+c0，故选：D【点评】本题考查了二次函数的图象、性质，二次函数图象与系数的关系，主要考查学生的观察图形的能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目4【分析】先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进入后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小
11、，故反映到图象上应选A故选：A【点评】本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论y与x之间的函数关系5【分析】根据为角x和的对顶角所在的三角形的外角，再根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答【解答】解：如图，1，x+1整理得：x故选：B【点评】本题主要利用三角形外角的性质求解，需要熟练掌握并灵活运用6【分析】根据旋转的性质即可求出答案【解答】解：由题意可知：DOB85，DCOBAO，DB40，AOB1804011030853055故选：C【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是正确理解旋转的性质，本题属于基础题
12、型7【分析】本题考查中心投影的特点【解答】解：根据两个人的影子在两个相反的方向，则一定是中心投影；且两人同在光源两侧故选C【点评】本题考查中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短8【分析】连接AC，交BE于O，根据旋转变换的性质得到ABBE，根据等边三角形的性质得到AEAB，得到ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质、勾股定理计算即可【解答】解：连接AC，交BE于O，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形EB
13、GF，ABBE，四边形AEHB为菱形，AEAB，ABAEBE，ABE是等边三角形，AB6，AD2，tanCAB，BAC30，ACBE，C在对角线AH上，A，C，H共线，AOOHAB3，COBOBGG90，四边形OBGM是矩形，OMBGBC2，HMOHOM，故选：A【点评】本题考查的是旋转变换的性质、菱形的性质、矩形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键9【分析】根据图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，即可得出B，C均不是地雷，即可得出答案【解答】解：根据题意分析可得：B，C一定不是地雷，A处是雷，则B，C处均不地雷，P（A）1；P（B）
14、0；P（C）0故A、B、C三个方格中有地雷概率最大的是A故选：A【点评】此题主要考查了概率的求法与运用，根据已知得出右边2靠近B，C，此时B，C均不是地雷是解决问题的关键10【分析】根据已知中有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，继续变换到Sn1（n2），可得Sn1中2的个数应为2个，由此可排除A，B答案，而3的个数应为3个，由此可排除C，进而得到答案【解答】解：根据题意可知，Sn1（n2）和Sn相同，若A选项作为Sn1，变换后为Sn：（2，3，2，3，3），与Sn1不同，故排除若B选项作为Sn1，变换后为Sn：（3，3，3，2，2）与Sn1不
15、同，故排除同理C选项变换后为Sn：（2，2，2，2，1），与Sn1不同，故排除故选：D【点评】本题为创新定义题，要求学生读懂题意，根据新定义解决问题二填空题（满分18分，每小题3分）11【分析】依据二次根式的基本性质|a|进行化简即可【解答】解：|2|2，故答案为：2【点评】本题主要考查了二次根式的性质，解题时注意二次根式的基本性质|a|的运用12【分析】首先认真分析找出规律，根据5与x的取值范围，分别得出分式方程，可得对应x的值【解答】解：当x5时，2，x，经检验，x是原分式方程的解；当x5时，2，x10，经检验，x10是原分式方程的解；综上所述，x或10；故答案为：或10【点评】本题主要考
16、查了分式方程的应用以及新定义题型，是近几年的考试热点之一新定义题型需要依据给出的运算法则进行计算，这和解答实数或有理数的混合运算相同，其关键仍然是正确的理解与运用运算的法则13【分析】利用点平移的坐标规律求解【解答】解：点A（3，2）向y轴的负方向平移3个单位长度所得点的坐标为（3，1）故答案为（3，1）【点评】本题考查了坐标与图形变化平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度14【分析】根据圆环面积求
17、法得出圆环面积，再求出大圆面积，即可得出飞镖落在阴影圆环内的概率【解答】解：有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，阴影部分面积为：（4222）12，大圆的面积为：36，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是：，故答案为：【点评】此题主要考查了几何概率，根据三圆半径依次是2cm，4cm，6cm求出圆环面积与大圆面积是解决问题的关键15【分析】由题意可得：CABCBA45ATB，ABTB2，可得ACBCTC，即点C是的中点，则S阴影STCB，即S阴影SABT221【解答】解：如图：设AT与圆O相交于点C，连接BCBT是O的切线ABTB，又ATB45TAB45ATBABT
18、B2AB是直径ACB90CABCBA45ATBACBCTC点C是的中点S阴影STCBS阴影SABT221故答案为：1【点评】本题考查了切线的性质，圆周角的定理，熟练运用这些性质是本题的关键16【分析】以AO为边作等腰直角AOF，且AOF90，由题意可证AOBFOC，可得ABCF4，根据三角形的三边关系可求AF的最大值，即可得AO的最大值【解答】解：如图：以AO为边作等腰直角AOF，且AOF90四边形BCDE是正方形BOCO，BOC90AOF是等腰直角三角形AOFO，AFAOBOCAOF90AOBCOF，且BOCO，AOFOAOBFOC（SAS）ABCF4若点A，点C，点F三点不共线时，AFAC
19、+CF；若点A，点C，点F三点共线时，AFAC+CFAFAC+CF3+47AF的最大值为7AFAOAO的最大值为故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，恰当添加辅助线构造全等三角形是本题的关键三解答题（共7小题，满分10分）17【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值【解答】解：原式，当a1+，b1时，原式【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键18【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
20、间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：，解不等式，得：x1，解不等式，得：x3，则不等式组的解集为1x3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键19【分析】（1）由垂直的定义，结合题目已知条件可利用HL证得结论；（2）由（1）中结论可得到DB，则可证得结论【解答】证明：（1）ACBD，EFBD，ABC和EDF为直角三角形，CDBF，CF+BFCF+CD，即BCDF，在RtABC和RtEDF中，RtABCRtEDF（HL）；（2）由（1）
21、可知ABCEDF，BD，ABDE【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键20【分析】（1）连接BC，由，得弧AD弧AB，则ABDACB，得到ABEABC，所以；（2）连接AO、CO，由A为中点，得到AODB，得到OAC+AED90，所以OAC+FEC90，而EFCF，则FECECF，又OACOCA，所以OAC+FECOCA+ECF90，即得到CF与O相切【解答】证明：（1）连接BC，如图，弧AD弧AB，ABDACB，而CAB公用，ABEABC，；（2）CF与O相切理由如下：连接A
22、O、CO，A为中点，AODB，OAC+AED90AEDFEC，OAC+FEC90，又EFCF，FECECF，AOOC，OACOCA，OAC+FECOCA+ECF90，FC与O相切【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半也考查了三角形相似的判定与性质、等腰三角形的性质和切线的判定21【分析】（1）根据B、E两组发言人数的比和E组所占的百分比，求出B组所占的百分比，再根据B组的人数求出样本容量，从而求出C组的人数，即可补全统计图；（2）用该年级总的学生数乘以E和F组所占的百分比的和，即可得出答案；（3）先求出A组和E组的男、
23、女生数，再根据题意画出树状图，然后根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）B、E两组发言人数的比为5：2，E占8%，B组所占的百分比是20%，B组的人数是10，样本容量为：1020%50，C组的人数是5030%15（人），F组的人数是50（16%20%30%26%8%）5（人），补图如下：（2）F组的人数是16%8%30%26%20%10%，发言次数不少于12的次数所占的百分比是：8%+10%18%，全年级500人中，在这天里发言次数不少于12的次数为：50018%90（次）（3）A组发言的学生为：506%3人，有1位女生，A组发言的有2位男生，E组发言的学生：4人，有2位女生，2位男生由题
24、意可画树状图为：共有12种情况，所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有6种，所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题22【分析】（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2，抛物线过是A（0，3），则：函数的表达式为：yax2+bx3，把B点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）分ABAC、ABBC、ACBC，三种情况求解即可；（3）由SPABPHxB，即可求解【解答】解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2，抛物线过是A（0，3），则：函数的表达式为：y
25、ax2+bx3，把B点坐标代入上式得：925a+5b3，联立、解得：a，b，c3，抛物线的解析式为：yx2x3，当x2时，y，即顶点D的坐标为（2，）；（2）A（0，3），B（5，9），则AB13，当ABAC时，设点C坐标（m，0），则：（m）2+（3）2132，解得：m4，即点C坐标为：（4，0）或（4，0）；当ABBC时，设点C坐标（m，0），则：（5m）2+92132，解得：m5，即：点C坐标为（5，0）或（52，0），当ACBC时，设点C坐标（m，0），则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，则点C坐标为（，0），故：存在，点C的坐标为：（4，0）或（4，0）或（5，0）或（52，0）
26、或（，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，设：AB所在的直线过点A（0，3），则设直线AB的表达式为ykx3，把点B坐标代入上式，95k3，则k，故函数的表达式为：yx3，设：点P坐标为（m， m2m3），则点H坐标为（m， m3），SPABPHxB（m2+12m），当m2.5时，SPAB取得最大值为：，答：PAB的面积最大值为【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系23【分析】（1）由AA，当ACPB，或APCACB；或时，ACPABC；（2）延长
27、AB到点D，使BDBC，连接CD，由已知条件得出证出，由AA，证出ACBADC，得出对应角相等ACBD，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出ACB+BCD+D+A180，得出ACB50即可【解答】解：AA，当ACPB，或APCACB；或，即AC2APAB时，ACPABC；故答案为：ACPB（或APCACB），或AC2APAB；（1）王华补充的条件是：ACPB（或APCACB）；或AC2APAB；理由如下：AA，当ACPB，或APCACB；或，即AC2APAB时，ACPABC；故答案为：ACPB（或APCACB），或AC2APAB；（2）延长AB到点D，使BDBC，连接CD，如图所示：AC2AB2+ABBCAB（AB+BC）AB（AB+BD）ABAD，又AA，ACBADC，ACBD，BCBD，BCDD，在ACD中，ACB+BCD+D+A180，3ACB+30180，ACB50【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；本题中（2）有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形相似才能得出结果
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