1、福建省泉州市惠安县科山中学2019-2020学年八年级上学期12月月考数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列命题是真命题的是()A. 无限小数是无理数B. 相反数等于它本身的数是0和1C. 直角三角形的两个锐角互余D. 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形2.如图，若，则CD的长为( )A. 5B. 6C. 7D. 83. 已知：如图，12，则不一定能使ABDACD的条件是 （ ）A ABACB. BDCDC. BCD. BDACDA4.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E
2、的边长为10，则四个正方形A，B， C， D的面积之和为()A. 24B. 56C. 121D. 1005.等腰三角形两边长为3cm和5cm，则它的周长是（）A. 11cmB. 13cmC. 11cm或13cmD. 以上答案都不正确6.在以线段a，b，c的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）A. a=4,b=5,c=6B. a:b:c=5:12:13C. ，D. a=4b=5,c=37.如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，连结AD.若AC=4，AB=6，BC=7，则ADC的周长为 （ ）A. 10B. 11C. 13D. 178.如图，在ABC中，CD是AB边上
3、的高线，BE平分ABC，交CD于点E，BC=5，则BCE的面积等于（）A. 3B. C. 4D. 9.如图，已知等边ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（ ）A. 3B. C. D. 10.如图，在RtABC中，ACB90，A30，在直线AC上取一点P，使得PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分）11.若，且，则 _ 12.命题“对顶角相等”改写成如果那么形式为_13.已知如图ABC中，AB=AC,AD平分BAC，BC=4则BD_14.如图，
4、把ABC绕点A顺时针旋转46得ADE，点E恰好在BC边上，则C=_度15.用反证法证明 “在ABC中，如果BC，那么ABAC”，第一步应假设_ . 16.如图，根据作图痕迹可知ADC_度17.三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则_度18.如图与都是以为直角顶点的等腰直角三角形，交于点，若，当是直角三角形时，则的长为_三、解答题（共7题78分）19.如图,AD=AC, ,求证：20.如图，在ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，求证：DE=DF21.求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，ABC,AD是ABC的中线（1）求作中线（要求尺规作图，不写
5、作法，保留作图痕迹）；（2）求证:22.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位等腰三角形（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为线段.（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形23.我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一勾股定理其实有很多种证明方法下图是1876年美国总统伽菲尔德（Garfield）证明勾股定理所用的图形：以、为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使、三点在一条直线上（1）求证：90；（2）请你利用这个图形证明勾
6、股定理（即证明：）24.如图，在ABC中，BC8cm，AGBC，AG8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0t2和2t4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）；（2）当BFAE时，求t的值；（3）若ADECDF，求所有满足条件的t值25.如图，ABC中，BE平分ABC交AC边于点E，(1)如图1，过点E作DEBC交AB于点D，求证：BDE为等腰三角形；(2)如图2，延长BE到D，ADB =ABC， AF
7、BD于F，AD=2,BF=3,求DF的长(3)如图3，若AB=AC，AFBD，ACD=ABC，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由答案和解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列命题是真命题的是()A. 无限小数是无理数B. 相反数等于它本身的数是0和1C. 直角三角形的两个锐角互余D. 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形【答案】C【解析】【分析】根据无理数的定义，相反数的定义，直角三角形的性质，等边三角形的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故A错误；B、相反数等
8、于它本身的数是0，故B错误；C、直角三角形的两个锐角互余，故C正确；D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误；故选择：C.【点睛】本题考查了判断命题的真假，解题的关键是要熟知真命题与假命题的概念真命题：判断正确的命题叫真命题；假命题：判断错误的命题叫假命题2.如图，若，则CD的长为( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】分析：先根据全等三角形的对应边相等得出AB=BD=12，BC=DE=5，再由CD=BD-BC，将数值代入计算即可求解详解：ABCBDE，AB=12，ED=5，AB=BD=12，BC=DE=5，CD=BD-BC=12-5=7故选C点睛：本题考查了全等
9、三角形的对应边相等的性质，解题时应注重识别全等三角形中的对应边3. 已知：如图，12，则不一定能使ABDACD的条件是 （ ）A. ABACB. BDCDC. BCD. BDACDA【答案】B【解析】试题分析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案解：A、1=2，AD为公共边，若AB=AC，则ABDACD（SAS）；故A不符合题意；B、1=2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定ABDACD；故B符合题意；C、1=2，AD为公共边，若B=C，则ABDACD（AAS）；故C不符合题意；D、1=2，AD为公共边，若BDA=CDA，则AB
10、DACD（ASA）；故D不符合题意故选B考点：全等三角形的判定4.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E的边长为10，则四个正方形A，B， C， D的面积之和为()A. 24B. 56C. 121D. 100【答案】D【解析】【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知：SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=100；即四个正方形A，B，C，D的面积之和为100；故选择：D【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方5.等腰三角形两边长为3cm和5cm，则它的周长
11、是（）A. 11cmB. 13cmC. 11cm或13cmD. 以上答案都不正确【答案】C【解析】【分析】分3cm是腰长与底边两种情况讨论求解即可【详解】3cm是腰长时，三角形的三边长分别为：3cm、3cm、5cm，能组成三角形，周长=3+3+5=11cm；3cm是底边时，三角形的三边长分别为：3cm、5cm、5cm，能组成三角形，周长=3+5+5=13cm，综上所述，它的周长是11cm或13cm故选C【点睛】此题考查等腰三角形的性质，解题关键在于要分情况讨论求解6.在以线段a，b，c的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）A. a=4,b=5,c=6B. a:b:c=5:12:13C
12、. ，D. a=4,b=5,c=3【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形【详解】解：A、因为42+5262，故不能构成直角三角形；B、因为52+122=132，故能构成直角三角形；C、因为（）2+（）2=（）2，故能构成直角三角形；D、因为32+42=52，故能构成直角三角形；故选A【点睛】本题考查直角三角形的判定，用勾股定理的逆定理判定，解题关键是熟练掌握定理7.如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，连结AD.若AC=4，AB=6，BC=7，则ADC的周长为 （ ）A. 10B. 11C. 13
13、D. 17【答案】B【解析】【分析】由DE垂直平分AB，得到AD=BD，则ADC的周长=AD+CD+AC=AC+BC=11.【详解】解：根据题意，AD垂直平分AB，AD=BD，ADC的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=7+4=11；故选择：B.【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用8.如图，在ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分ABC，交CD于点E，BC=5，则BCE的面积等于（）A. 3B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】作EFBC于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可【详解】解：作EFBC于F，
14、BE平分ABC，EFBC，EDAB，BCE的面积=；故选择：B.【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键9.如图，已知等边ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（ ）A. 3B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知，点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值【详解】解：ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，BDAC，EC=3，连接AE，线段AE的长即为PE+
15、PC最小值，点E是边BC中点，AEBC，AE=，PE+PC的最小值是.故选择：C.【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键10.如图，在RtABC中，ACB90，A30，在直线AC上取一点P，使得PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论【详解】解：根据题意，PAB为等腰三角形，可分为：PA=PB，PA=AB，PB=AB三种情况，如图所示：符合条件的点P共有4个；故选择：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定
16、理解答二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分）11.若，且，则 _ 【答案】30【解析】【分析】先由三角形内角和求出C的度数，再根据全等三角形的对应角相等即可求出F的度数.【详解】，C=180-110-40=30，F=C=30.故答案为30.【点睛】本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应角相等，熟记性质是解题的关键12.命题“对顶角相等”改写成如果那么形式为_【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等.【解析】【分析】找到命题中的题设和结论即可改写成如果那么的形式.【详解】解：题设为：如果两个角是对顶角，结论为：那么它们相等，故改写成“如果那么”的形式是
17、：如果两个角是对顶角，那么它们相等，故答案为如果两个角是对顶角，那么它们相等【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是条件，“那么”后面是结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单13.已知如图ABC中，AB=AC,AD平分BAC，BC=4则BD_【答案】2【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD为BC的中线，继而可得出BD的长度【详解】解：AB=AC，ABC是等腰三角形，AD平分BAC交BC于点D，AD是ABC的中线，BD=；故答案为：2.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的三线合一定理.14.如图，把ABC绕点A顺
18、时针旋转46得ADE，点E恰好在BC边上，则C=_度【答案】67【解析】【分析】根据旋转的性质，得到CAE=46，AC=AE，则ACE是等腰三角形，利用三角形内角和定理，即可求出C.【详解】解：根据题意，由旋转可知：CAE=46，AC=AE，ACE是等腰三角形，；故答案为：67.【点睛】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形性质以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，正确求出C的度数.15.用反证法证明 “在ABC中，如果BC，那么ABAC”，第一步应假设_ . 【答案】AB=AC【解析】【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可【详解】解：用反证法证明命题“在ABC中，BC，那么AB
19、AC”的过程中，第一步应是假设AB=AC故答案为：AB=AC【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定16.如图，根据作图痕迹可知ADC_度【答案】70【解析】【分析】根据作图痕迹可知：AD平分CAB，再由直角三角形性质可得CAB的度数，最后由三角形的外角可得结论【详解】解：C=90，B=50，CAB=40，由作图痕迹可知：AD平分CAB，DAB=20，AD
20、C=DAB+B=20+50=70，故答案为：70【点睛】本题考查了基本作图角平分线，三角形外角的性质和直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的基本作图是解题的关键17.三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则_度【答案】120【解析】【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60，用1，2，3表示出ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论【详解】解：如图：图中是三个等边三角形，3=60， ABC=1806060=60，ACB=180602=1202，BAC=180601=1201，ABC+ACB+BAC=180，60+（1202）+（1201）=180，1+2=120；故答
21、案为：120.【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60是解答此题的关键18.如图与都是以为直角顶点的等腰直角三角形，交于点，若，当是直角三角形时，则的长为_【答案】或【解析】ABC、ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90，BAC-DAC=DAE-DAC，即BAD=CAE，在ABD和ACE中： ，ABDACE，BD=CE.如图，当CFE=90时，AFDE，AF=EF=AE=，CF=AC-AF=5-3=2，在RtCEF中，CE=，BD=CE=.如图：当CEF=90时，AEC=90+45=135，ABDACE，ADB=AEC
22、=135，ADB+ADE=135+45=180，点B、D、F三点共线，过点A作AGDE于点G，则AG=DG=AD=，在RtABG中，BG=，BD=BG-DG=4-3=1.综上所述，BD=或三、解答题（共7题78分）19.如图,AD=AC, ,求证：【答案】见详解.【解析】分析】根据全等三角形的判定HL，即可证明.【详解】证明：，在RtABD和RtABC中，（HL）.【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是掌握证明三角形全等的方法.20.如图，在ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，求证：DE=DF【答案】答案见解析【解析】由于AB=AC，那么B
23、=C，而DEAC，DFAB可知BFD=CED=90，又D是BC中点，可知BD=CD，利用AAS可证BFDCED，从而有DE=DF21.求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，ABC,AD是ABC的中线（1）求作的中线（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证:【答案】（1）见详解；（2）见详解.【解析】【分析】（1）利用尺规作图，作出的中点，然后连接即可；（2）由ABC，得到，即可得到ACD，即可得到.【详解】解：（1）如图：为所求；（2）ABC，BC=AD，分别是两个三角形的中线，ACD，；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及作三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定
24、与性质是解题的关键22.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为的线段.（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形【答案】作图见解析【解析】试题分析：（1）根据三角形的面积公式画出图形即可；（2）画出以1和2为长方形的宽和长的对角线的长即可；（3）先画出边长为的线段，再画出直角三角形即可试题解析：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示23.我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一勾股定理其实有很多种证明方法下图
25、是1876年美国总统伽菲尔德（Garfield）证明勾股定理所用的图形：以、为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使、三点在一条直线上（1）求证：90；（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：）【答案】(1) 见解析;(2)见解析【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得到CAB=DBE，再根据等角的余角相等即可得出结论；（2）用三角形的面积和梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理【详解】（1）RtACBRtBDE，CAB=DBECAB+ABC=90，ABC+DBE=90，ABE=18090o=90o；（2）ABE=90o，ABE是一
26、个等腰直角三角形，SABE=c2又S梯形ACDE=（a+b）2，S梯形ACDE=SABC+SBDE+SABE=ab+c2，（a+b）2=ab+c2，即a2+b2=c2由此验证勾股定理【点睛】本题考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底高2，和梯形的面积公式：（上底+下底）高2证明勾股定理24.如图，在ABC中，BC8cm，AGBC，AG8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0t2和2t4
27、时线段BF的长度（用含t的代数式表示）；（2）当BFAE时，求t的值；（3）若ADECDF，求所有满足条件的t值【答案】（1）当0t2时，；当2t4时，；（2）；（3）t=或4时，ADECDF【解析】【分析】（1）根据点F从点B出发、点E从点A出发的速度、结合图形解答；（2）根据题意列出方程，解方程即可；（3）分点F从点B运动至点C；从点C返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可【详解】解：（1）根据题意，当0t2时，；当2t4时，；（2）根据题意，由BFAE，则，此时方程无解，不符合题意；，解得：；当BFAE时，t的值为：；（3）当0t2时，ADECDF，则AE=CF，即8-4t=2t
28、，解得：t=；当2t4时，ADECDF，则AE=CF，即4t-8=2t，解得：t=4；则t=或4时，ADECDF【点睛】本题考查了全等三角形性质的应用，解一元一次方程，以及列代数式，根据题意列出一元一次方程进行求解，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键25.如图，ABC中，BE平分ABC交AC边于点E，(1)如图1，过点E作DEBC交AB于点D，求证：BDE为等腰三角形；(2)如图2，延长BE到D，ADB =ABC， AFBD于F，AD=2,BF=3,求DF的长(3)如图3，若AB=AC，AFBD，ACD=ABC，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由 【答案】（1）证明见解析；（2）D
29、F=1; （3）BF=CD+DF，理由见解析.【解析】分析】（1）由角平分线和平行线的性质可得到BDE=DEB，可证得结论；（2）作AH=AD,可得AH=BH=AD=2，从而HF= 1，在AHD中，AH=AD,AFHD,得HF=FD=1;（3）延长CD到M，使得CM=BD，连接AM，过点A作ANCM于点N，则ABDACM，根据全等三角形的性质可得出AD=AM，ADB=AMC，利用全等三角形的判定定理AAS可证出ADFADN，根据全等三角形的性质可得出DF=DN=MN，再结合BD=CM即可找出BF=CD+DF【详解】（1）证明：BE平分ABC，ABE=EBC，DEBC，DEB=EBC=ABE，B
30、D=ED，DBE为等腰三角形；（2）作AH=AD,AHD=D,1=AHD,AHD=1+3，AH=BH=AD=2，HF=BF-BH=3-2=1，在AHD中，AH=AD,AFHD,HF=FD=HD,DF=HF=1;（3）解：在图中，延长CD到M，使得CM=BD，连接AM，过点A作ANCM于点N，BE平分ABC，ACD=ABC，ACM=ABD在ABD和ACM中，ABDACM（SAS），AD=AM，ADB=AMC，AMD=ADM，ADF=ADNANDM，DN=MN在ADF和ADN中，ADFADN（AAS），DF=DN=MNBD=CM，BF=BC-DF=CM-MN=CN=CD+DN=CD+DF即BF=CD+DF【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键
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