微专题突破三：函数的周期性与对称性 学案（含答案）

1、微专题突破三函数的周期性与对称性函数的周期性与对称性是函数的重要性质，二者之间既有联系又有区别.下面通过几道习题谈谈周期性、对称性有关问题的解法.例1函数f(x)x3lg sin x的图象是否关于原点对称？并说明你的理由.解函数yx3的图象关于原点对称，而函数ylg sin x的图象不关于原点对称(sin x0)，两个函数图象叠加后的图象一定不关于原点对称.点评研究函数的对称性时，易错的地方是：忽视函数的定义域.如误认为函数ylg sin x的图象是中心对称图形，事实上，这里sin x必须为正，所以ylg sin x的图象不关于原点对称.例2已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则函数f

2、(x)的图象的一条对称轴方程是()A.x B.x C.x D.x答案C解析由T得1，所以f(x)sin，由2xk，kZ，解得f(x)的对称轴方程为x，kZ，所以x为f(x)的一条对称轴，故选C.点评解本题的关键是先由周期公式求得的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.例3函数y3cos x(0x)的图象与直线y3及y轴围成的图形的面积为_.答案3解析如图，由于y3cos x(0x)的图象关于点对称，所以区域()与区域()也关于点成中心对称图形，故区域()的面积为矩形ABCD的面积的一半，即63.点评本题抓住余弦函数的对称性从而使问题得解.