1、2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算学习目标1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.知识点一平面向量的正交分解如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底.在正交基底下分解向量，叫做正交分解.知识点二平面向量的坐标表示(1)基底：在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底e1，e2.这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底.(2)坐标分量：在坐标平面xOy内，任作一向量a(用有向线段
2、表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得aa1e1a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底e1，e2下的坐标，即a(a1，a2)，其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量.(3)若xe1ye2(x，y)，则的坐标(x，y)点A的坐标(x，y).知识点三平面向量的坐标运算(1)若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab(a1b1，a2b2)，ab(a1b1，a2b2)，a(a1，a2)(a1，a2).即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y
3、2)，则(x2x1，y2y1).即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.(3)在直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，点B(x2，y2).则线段AB中点的坐标为.1.相等向量的坐标相等.()2.在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量(x1x2，y1y2).()提示(x2x1，y2y1).3.与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i(1,0)，j(0,1).()4.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.()题型一平面向量的坐标表示例1如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，a，b.四边形OABC为平
4、行四边形.(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的坐标；(3)求点B的坐标.解(1)作AMx轴于点M，则OMOAcos 4542，AMOAsin 4542.A(2，2)，故a(2，2).AOC18010575，AOy45，COy30.又OCAB3，C，即b.(2).(3)(2，2).即点B的坐标为.反思感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标.跟踪训练1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，的坐标.解如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)
5、，C(2cos 60，2sin 60)，C(1，)，D.(2,0)，(1，)，(12，0)(1，)，.题型二平面向量的坐标运算例2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).设a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n的值；解由已知，得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).(2)mbnc(6mn，3m8n)a(5，5)，解得反思感悟向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，
6、然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.跟踪训练2已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.解(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7).(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1).(3)ab(1,2)(2,1).题型三平面向量坐标运算的应用例3已知平面上三点的坐标分别为A(2,1)，B(1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解当平行四边形为ABCD时，设D(x，y)，由(1,2)
7、，(3x,4y)，且，得D(2,2).当平行四边形为ACDB时，设D(x，y)，由(1,2)，(x3，y4)，且，得D(4,6).当平行四边形为ACBD时，设D(x，y)，由(5,3)，(1x,3y)，且，得D(6,0)，故D点坐标为(2,2)或(4,6)或(6,0).反思感悟(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.跟踪训练3已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb
8、(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.答案3解析a(2,1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.向量坐标运算的应用典例已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的点P满足，则实数的取值范围是()A.(，1) B.C. D.答案A解析方法一设P(x，y)，则(x2，y3)，又(3,1)(5,7)(35，17)，于是由，可得(x2，y3)(35，17)，所以即因为点P在第三象限，所以解得1.故所求实数的取值范围是(，1).方法二(5,4)(5,7)(55，47)，所以P(55，47)，因为点P在第三象限，所以所以1.素养评析明确向量的坐标运
9、算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，正确进行向量的坐标运算是解题的关键，这正是数学核心素养数学运算的具体体现.1.设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b等于()A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3)答案A2.已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()A. B. C.(8,1) D.(8,1)答案A解析(8,1)，.3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A. B. C.(3,2) D.(1,3)答案A解析设D点坐标为(x，y)，则(4,3)，(x，y2)，由2，得，D.4.已知点A(0,1)，
10、B(3,2)，向量(4，3)，则向量等于()A.(7，4) B.(7,4) C.(1,4) D.(1,4)答案A解析(3,1)，(4，3)，(4，3)(3,1)(7，4).5.如图，在66的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，则xy_.答案解析建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a(1,2)，b(2，3)，c(3,4).cxayb，解得因此xy.1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则(xBxA，yByA).3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.
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