2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件 学案（含答案）

1、2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.知识点向量共线条件向量共线的坐标表示设a，b是非零向量，且a(a1，a2)，b(b1，b2).(1)当ab时，有a1b2a2b10.(2)当ab，且b不平行于坐标轴，即b10，b20时，有.即两个向量平行的条件是相应坐标成比例.思考1已知下列几组向量：a(0,3)，b(0,6)；a(2,3)，b(4,6)；a(1,4)，b(3，12)；a，b.(1)上面几组向量中，a，b有什么关系？答案中b2a，中b3a，中ba.(2)以上几组向量中，

2、a，b共线吗？答案共线.思考2当ab时，a，b的坐标成比例吗？答案坐标不为0时成比例.思考3如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？答案能.将b写成a的形式，当0时，b与a同向，当0时，b与a反向.1.若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且ab，则.()提示当y1y20时不成立.2.若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y1x2y20，则ab.()3.若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y2x2y10，则ab.()4.向量a(1,2)与向量b(4,8)共线.()题型一向量共线的判定与证明例1(1)下列各组向量中，共线的是()A.a(2,3)，b

3、(4,6)B.a(2,3)，b(3,2)C.a(1，2)，b(7,14)D.a(3,2)，b(6，4)答案D解析A选项，(2)634240，a与b不平行；B选项，22334950，a与b不平行；C选项，114(2)7280，a与b不平行；D选项，(3)(4)2612120，ab，故选D.(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3).判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解(0,4)(2,1)(2,3)，(5，3)(1,3)(4，6).方法一(2)(6)340且(2)40，与共线且方向相反.方法二2，与共线且方向相反.反思感悟向量共线的判定与证明题目应充分利用平行

4、向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.跟踪训练1已知A，B，C三点的坐标分别为(1,0)，(3，1)，(1,2)，求证：.证明设E(x1，y1)，F(x2，y2).(2,2)，(2,3)，(4，1)，.(x1，y1)(1,0)，(x2，y2)(3，1)，(x1，y1)，(x2，y2).(x2，y2)(x1，y1).4(1)0，.题型二利用向量共线求参数例2已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？解方法一kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a

5、3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b).由(k3,2k2)(10，4)，得解得k.方法二由方法一知kab(k3,2k2)，a3b(10，4).kab与a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k.引申探究1.若本例条件不变，判断当kab与a3b平行时，它们是同向还是反向？解由例2知，当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，0，kab与a3b反向.2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，akb与3ab平行？”，又如何求k的值？解akb(1,2)k(3,2)(13k,22k)，3ab3(1,2)(3,2)(6,4).akb与3ab平行，(13k)4(22k)6

6、0，解得k.反思感悟根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用平行向量基本定理ab(b0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10求解.跟踪训练2设向量a(1,2)，b(2,3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则_.答案2解析ab(1,2)(2,3)(2,23)，ab与c共线，(2)(7)(23)(4)20，2.题型三三点共线问题例3已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k).当k为何值时，A，B，C三点共线？解(4k，7)，(10k，k12).若A，B，C三点共线，则，(4k)(k12)7(10k)，解得k2或11.又，有公共点A，当k2或11时，A，B

7、，C三点共线.反思感悟(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点.(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.跟踪训练3已知A(1，3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线.证明，(91,13)(8,4).7480，.又，有公共点A，A，B，C三点共线.由向量共线求参数的值典例已知向量a(2，m1)，b(m3,4)，且(ab)(ab)，则m等于()A.1 B.5C.1或5 D.5答案C解析因为向量a(2，m1)，b(m3,4)

8、，所以ab(m5，m5)，ab(m1，m3)，又因为(ab)(ab)，所以(m5)(m3)(m1)(m5)0，即(m5)(m1)0，解得m1或m5.素养评析(1)由向量共线求参数的值的方法(2)本题利用向量共线的坐标表示得到有关参数的方程(组)，再解得参数的值，这正是数学核心素养数学运算的体现.1.已知a(1,2)，b(2，y)，若ab，则y的值是()A.1 B.1 C.4 D.4答案D解析ab，(1)y220，y4.2.与a(6,8)平行的单位向量为()A.B.C.或D.答案C解析设与a平行的单位向量为e(x，y)，则或3.已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则m的值为_.

9、答案6解析(2,4)(1,2)(1,2)，(3，m)(1,2)(2，m2).A，B，C三点共线，即向量，共线，存在实数使得，即(1,2)(2，m2)(2，m2).即当m6时，A，B，C三点共线.4.已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，1)，(1,2)，(1,1)，(3，5).求证：四边形ABCD是梯形.证明A(3，1)，B(1,2)，C(1,1)，D(3，5)，(2,3)，(4，6).2，即|，ABCD，且ABCD，四边形ABCD是梯形.5.已知A(3,5)，B(6,9)，M是直线AB上一点，且|3|，求点M的坐标.解设点M的坐标为(x，y).由|3|，得3 或3.由题

10、意，得(x3，y5)，(6x,9y).当3 时，(x3，y5)3(6x,9y)，解得当3时，(x3，y5)3(6x,9y)，解得故点M的坐标是或.1.两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)当b0，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例.2.向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.