2.1.3 向量的减法 学案（含答案）

1、2.1.3向量的减法学习目标1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.知识点一向量的减法(1)已知向量a，b(如图)，作a，作b，则ba，向量叫做向量a与b的差，并记作ab，即ab.(2)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量.(3)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”.知识点二相反向量(1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作a(如图).显然a(a)0.(2)从一个向量减去另一个向量等于

2、加上这个向量的相反向量.知识点三|a|b|，|ab|，|a|b|三者的关系当向量a，b不共线时，作a，b，则ab，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有|a|b|ab|b|，作法同上，如图(3)，此时|ab|a|b|.故对于任意向量a，b，总有|a|b|ab|a|b|.因为|ab|a(b)|，所以|a|b|ab|a|b|，即|a|b|ab|a|b|.将两式结合起来即为|a|b|ab|a|b|.1.相反向量就是方向相反的向量.()提示相反向量的方向相反、大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系.2.向量与是相反向量.()提示与大小相等、方向相反.3.，(a)a.()提示根据相反向量的定

3、义可知其正确.4.两个相等向量之差等于0.()提示两个相等向量之差等于0.题型一向量减法的几何作图例1如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.解方法一如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.方法二如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，连接OC，则abc.引申探究若本例条件不变，则abc如何作？解如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab.再作c，则abc.反思感悟在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.跟踪训练1如

4、图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量ab，cd.解如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，c，d.则ab，cd.题型二向量减法法则的应用例2化简下列式子：(1)；(2)()().解(1)原式0.(2)原式()()0.反思感悟向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.跟踪训练2化简：(1)()()；(2)()().解(1)()().(2)()()()0.题型三向量减法几何意义的应用例3已知|6，|9，求|的取值范围.解|，且|9，|6，3|15.当与同向时，|3；当与反向时，|15.|的取值范

5、围为3,15.反思感悟(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，若a，b，则ab，ab.(2)在公式|a|b|ab|a|b|中，当a与b方向相反且|a|b|时，|a|b|ab|；当a与b方向相同时，|ab|a|b|.(3)在公式|a|b|ab|a|b|中，当a与b方向相同且|a|b|时，|a|b|ab|；当a与b方向相反时，|ab|a|b|.跟踪训练3在四边形ABCD中，设a，b，且ab，若|ab|ab|，则四边形ABCD的形状是()A.梯形 B.矩形C.菱形 D.正方形答案B解析ab，四边形ABCD为平行四边形.又ab，|ab|ab|，|.四边形ABCD为矩形.利用已知向量表示未知向量典例如图

6、，已知O为平行四边形ABCD内一点，a，b，c，则_.(用a，b，c表示)答案abc解析因为，所以，所以abc.素养评析本题主要考查平面向量的加法、减法运算，利用已知向量表示未知向量，这正体现了数学运算的核心素养.1.如图所示，在ABCD中，a，b，则用a，b表示向量和分别是()A.ab和abB.ab和baC.ab和baD.ba和ba答案B解析由向量的加法、减法法则，得ab，ba.故选B.2.化简的结果等于()A. B. C. D.答案B3.若菱形ABCD的边长为2，则|_.答案2解析2.4.若向量a与b满足|a|5，|b|12，则|ab|的最小值为_，|ab|的最大值为_.答案717解析由|

7、a|b|ab|a|b|，|a|b|ab|a|b|可得.5.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用a，b，c表示向量，及.解四边形ACDE是平行四边形，c，ba，ca，cb，bac.1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如aba(b).2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.3.平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别为a，b，则两条对角线表示的向量为ab，ba，ab，这一结论在以后应用中非常广泛，应该加强理解并掌握.