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    1.2.4 诱导公式(二)学案(含答案)

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    1.2.4 诱导公式(二)学案(含答案)

    1、1.2.4诱导公式(二)学习目标1.掌握诱导公式(四)的推导,并能应用解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式(一)至(四),能作综合归纳,体会出四组公式的共性与个性,培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程,培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一角与的三角函数间的关系诱导公式(四)cossin ,sincos . 由三角函数之间的关系可得:tancot ,cottan .知识点二角与的三角函数间的关系以替代公式(四)中的,可得到诱导公式(四)的补充:cossin ,sincos ,tancot ,cottan .特别提醒:的正弦(余弦)函

    2、数值,分别等于的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号,简记为:“函数名改变,符号看象限”或“正变余、余变正,符号象限定”.1.诱导公式四中的角只能是锐角.()2.诱导公式四与诱导公式一三的区别在于函数名称要改变.()提示由诱导公式一四可知其正确.3.sincos .()提示当k2时,sinsin()sin .4.口诀“符号看象限”指的是把角看成锐角时变换后的三角函数值的符号.()提示应看原三角函数值的符号.题型一利用诱导公式求值例1(1)已知cos(),为第一象限角,求cos的值;(2)已知cos,求cossin的值.解(1)cos()cos ,cos ,又为第一象限角,

    3、则cossin .(2)cossincossincossinsincos.反思感悟对于这类问题,关键是要能发现它们的互余、互补关系:如与,与,与等互余,与,与等互补,遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换来解决问题.跟踪训练1已知sin,求cos的值.解,.coscossin.题型二利用诱导公式证明三角恒等式例2求证:tan .证明左边tan 右边.原等式成立.反思感悟利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应用,其证明的常用方法:(1)从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简.(2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子.(3)凑合法:即针对题设与结论间的差异,有针对

    4、性地进行变形,以消除其差异,简言之,即化异为同.跟踪训练2求证:.证明因为左边.右边.所以左边右边,故原等式成立.题型三诱导公式在三角形中的应用例3在ABC中,sin sin ,试判断ABC的形状.解ABC,ABC2C,ABC2B.sin sin ,sin sin ,sinsin,即cos Ccos B.又B,C为ABC的内角,CB,ABC为等腰三角形.反思感悟解此类题需注意隐含的条件,如在ABC中,ABC,结合诱导公式得到以下的一些常用等式:sin(AB)sin C,cos(AB)cos C,sin cos ,cos sin .跟踪训练3在ABC中,给出下列四个式子:sin(AB)sin C

    5、;cos(AB)cos C;sin(2A2B)sin 2C;cos(2A2B)cos 2C.其中为常数的是()A. B. C. D.答案B解析sin(AB)sin C2sin C;cos(AB)cos Ccos Ccos C0;sin(2A2B)sin 2Csin2(AB)sin 2Csin2(C)sin 2Csin(22C)sin 2Csin 2Csin 2C0;cos(2A2B)cos 2Ccos2(AB)cos 2Ccos2(C)cos 2Ccos(22C)cos 2Ccos 2Ccos 2C2cos 2C.故选B.题型四诱导公式的综合应用例4已知f().(1)化简f();(2)若角A是

    6、ABC的内角,且f(A),求tan Asin A的值.解(1)f()cos .(2)因为f(A)cos A,又A为ABC的内角,所以由平方关系,得sin A,所以tan A,所以tan Asin A.反思感悟解决此类问题时,可先用诱导公式化简变形,将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式,这样可避免公式交错使用而导致的混乱.跟踪训练4已知sin 是方程5x27x60的根,是第三象限角,求tan2()的值.解方程5x27x60的两根为x1,x22,由是第三象限角,得sin ,则cos ,tan2()tan2tan2tan2.1.已知sin ,则cos等于()A. B. C. D.答案C解析co

    7、ssin .2.若cos(2),则sin等于()A. B. C. D.答案A解析cos(2)cos()cos ,sincos .3.已知tan 2,则等于()A.2 B.2 C.0 D.答案B解析2.4.设tan 3,则等于()A.3 B.2 C.1 D.1答案B解析2.5.已知sin().计算:(1)cos;(2)sin;(3)tan(5).解sin()sin ,sin .(1)coscossin .(2)sincos ,cos21sin21.sin ,为第一或第二象限角.当为第一象限角时,sincos .当为第二象限角时,sincos .(3)tan(5)tan()tan ,sin ,为第

    8、一或第二象限角.当为第一象限角时,cos ,tan ,tan(5)tan .当为第二象限角时,cos ,tan ,tan(5)tan .1.诱导公式的分类及其记忆方式(1)诱导公式分为两大类:k2,(2k1)(kZ)的三角函数值,等于的同名三角函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号,为了便于记忆,可简单地说成“函数名不变,符号看象限”.,的三角函数值,等于的异名三角函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号,记忆口诀为“函数名改变,符号看象限”.(2)以上两类公式可以归纳为:k(kZ)的三角函数值,当k为偶数时,得的同名三角函数值;当k为奇数时,得的异名三角函数值,然后在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值,常采用“负角化正角,大角化小角,最后转化成内的三角函数值”这种方式求解.用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤:


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