1、章末检测试卷(二)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1已知O,A,M,B为平面上的四点,且(1),(0,1),则() A点M在线段AB上 B点B在线段AM上C点A在线段BM上 DO,A,M,B四点一定共线答案A解析(1),这表明点M在线段AB上2在下列向量组中,可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0),e2(1,2) Be1(1,2),e2(5,2)Ce1(3,5),e2(6,10) De1(2,3),e2(2,3)答案B解析由题意知,A选项中e10,C、D选项中两向量均共线,都不符合基底条件,故选B.3已知点A(1,3),B(
2、4,1),则与向量同方向的单位向量为()A. B.C. D.答案A解析由已知,得(3,4),所以|5,因此与同方向的单位向量是,故选A.4已知平面向量a(x1,y1),b(x2,y2),若|a|2,|b|3,ab6,则的值为()A2 B2 C D.答案C解析设a,b的夹角为,则ab|a|b|cos 6,cos 1,即a,b共线且反向,ab,x1x2,y1y2,.5向量a(1,1),b(1,2),则(2ab)a等于()A1 B0 C1 D2答案C解析2ab(2,2)(1,2)(1,0),(2ab)a(1,0)(1,1)1,故选C.6对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|
3、 B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2答案B解析当向量a和b方向不相同时,|ab|a|b|,B选项不成立7已知A(3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在AOB内,|OC|2,且AOC,设 (R),则的值为()A1 B. C. D.答案D解析过C作CEx轴于点E.由AOC,得|OE|CE|2,所以,即,所以(2,0)(3,0),故.8向量(4,3),向量(2,4),则ABC的形状为()A等腰非直角三角形 B等边三角形C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析(4,3),(2,4),(2,1)(2,1)(2,4)0,C90,且|,|2,|,ABC是直角非等
4、腰三角形9在ABC中,P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M.若t,则t的值为()A. B. C. D.答案D解析因为A,M,Q三点共线,所以可设.又因为tttt,所以t,.将它们代入,得t.由于,不共线,从而解得故选D.10若非零向量a,b满足|a|b|,且(ab)(3a2b),则a与b的夹角为()A. B. C. D答案A解析由(ab)(3a2b),得(ab)(3a2b)0,即3a2ab2b20.|a|b|,设a,b,即3|a|2|a|b|cos 2|b|20,|b|2|b|2cos 2|b|20,cos .又0,.11已知向量a,b,若ab,则锐角为()A30 B60
5、C45 D75答案A解析ab,sin2,sin .又为锐角,30.12若a,b,c均为单位向量,且ab0,(ac)(bc)0,则|abc|的最大值为()A.1 B1 C. D2答案B解析由已知可设a(1,0),b(0,1),c(x,y),由|c|1,(ac)(bc)0,得xy1.所以|abc|1.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13设向量a,b不平行,向量ab与a2b平行,则实数_.答案解析ab与a2b平行,abt(a2b)ta2tb,又a,b不平行,14如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为_N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力,则合力的坐标为_答案(5,4)解析F1
6、(2,3),F2(3,1),所以合力FF1F2(2,3)(3,1)(5,4),所以合力的大小为(N)15.如图所示,半圆的直径AB2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则()的最小值是_答案解析因为点O是A,B的中点,所以2,设|x,则|1x(0x1),所以()22x(1x)22.所以当x时,()取到最小值.16在ABC中,AB3,AC边上的中线BD,5,则AC的长为_考点平面几何中的向量方法题点利用向量解决平面几何问题答案2解析设BAC,ADx(x0),则2x3cos 5,xcos .作DEAB于点E,由DE2EB2BD2,得(xsin )2(3xcos )
7、25,解得xsin .x2cos2x2sin2x21,x1,AC2x2.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17(10分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a(1,2)(1)若|b|2,且ab,求b的坐标;(2)若|c|,且2ac与4a3c垂直,求a与c的夹角.解(1)设b(x,y),因为ab,所以y2x.又因为|b|2,所以x2y220.由联立,解得b(2,4)或b(2,4)(2)由已知(2ac)(4a3c),得(2ac)(4a3c)8a23c22ac0,由|a|,|c|,解得ac5,所以cos ,0,所以a与c的夹角.18(12分)如图所示,在ABC中,BQ与CR相交于点I,AI
8、的延长线与边BC交于点P.(1)用和分别表示和;(2)如果,求实数和的值;(3)确定点P在边BC上的位置解(1)由,可得.,.(2)将,代入,则有,即(1)(1),又,不共线,解得(3)设m,n.由(2)知,nnmmm,又,不共线,解得,即2,点P在BC的三等分点且靠近点C处19(12分)已知|a|4,|b|3,(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角;(2)求|ab|;(3)若a,b,求ABC的面积解(1)(2a3b)(2ab)61,4|a|24ab3|b|261.又|a|4,|b|3,644ab2761,ab6,cos .又0,.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|242
9、2(6)3213,|ab|.(3)与的夹角,ABC.又|a|4,|b|3,SABC|sinABC433.20(12分)已知在ABC中,C是直角,CACB,D是CB的中点,E是AB上一点,且AE2EB,求证:ADCE.证明以点C为坐标原点,以CA,CB所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的直角坐标系,设A(a,0),则B(0,a),E(x,y)D是BC的中点,D.又2,即(xa,y)2(x,ay),解得x,ya,E.(a,0),(a)aa2a20,即ADCE.21(12分)已知向量a(cos ,sin ),b(cos ,sin ),0.(1)若|ab|,求证:ab;(2)设c(0,1),若ab
10、c,求,的值(1)证明由题意得|ab|22,即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21,所以22ab2,即ab0,故ab.(2)解因为ab(cos cos ,sin sin )(0,1),所以由此得cos cos(),由0,得0,又0,所以,.22(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a(2,1),A(1,0),B(cos ,t)(1)若a,且|,求向量的坐标;(2)若a,求ycos2cos t2的最小值解(1)(cos 1,t),a,2tcos 10.cos 12t.|,(cos 1)2t25.由,得t21,t1.当t1时,cos 3(舍去),当t1时,cos 1,B(1,1),(1,1)(2)由式可知t,ycos2cos cos2cos 2,当cos 时,ymin.