2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市高二（上）期中数学试卷（理科）含详细解答

1、2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）设集合Ax|4x3，Bx|x2，则AB（）A（4，3）B（4，2C（，2D（，3）2（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）AycosxBysinxCylnxDyx2+13（5分）已知向量（1，m），（3，2），且（+），则m（）A8B6C6D84（5分）在等比数列an中，a12，a3+a512，则a7（）A8B10C14D165（5分）若0，则点P（tan，cos）位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6（5分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD

2、的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于（）ABCD7（5分）已知正数x、y满足，则x+2y的最小值是（）A18B16C8D108（5分）圆x2+y22x8y+130的圆心到直线ax+y10的距离为1，则a（）ABCD29（5分）在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD1，则二面角BACD的余弦值为（）ABCD10（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn3an+13，则an（）ABC3n1D11（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间，上单调递增B在区间，上单调递减C在区间，上单调递减

3、D在区间，上单调递增12（5分）设函数f（x），若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）f（x2）f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A（）BC（）D（二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知边长为2的等边ABC中，D，E分别是AC，BC边上的中点，若，则+ 14（5分）设实数x，y满足约束条件，则z2xy的最大值是 15（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为 16（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a，b，c成等比数列，则cosB的最小值 三解答题（本大题共70分）17（10分）已知函数f（

4、x）sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1，xR（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值18（12分）已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列（1）求数列an的通项；（2）求数列的前n项和Sn19（12分）某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如左表所示已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 第一批次第二批次第三批次女教职工196xy男教职工204156z（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在

5、第三批次中抽取教职工多少名？（3）已知y96，z96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率20（12分）设ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c6，b2，cosB（1）求a，c的值；（2）求sin（AB）的值21（12分）ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知abcosC+csinB（1）求B；（2）若b2，求ABC面积的最大值22（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，且ABC为正三角形，AA1AB6，D为AC的中点（1）求证：直线AB1平面BC1D；（2）求三棱锥CBC1D的体积（3）三棱柱ABCA1B1C1的顶点都在一个球面上，求该球

6、的体积2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）设集合Ax|4x3，Bx|x2，则AB（）A（4，3）B（4，2C（，2D（，3）【分析】由集合A和集合B的公共元素构成集合AB，由此利用Ax|4x3，Bx|x2，能求出AB【解答】解：集合Ax|4x3，Bx|x2，ABx|4x2，故选：B【点评】本题考查交集及其去运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化2（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）AycosxBysinxCylnxDyx2+1【分析】利用函数奇偶

7、性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（x）cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（x）sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，没有零点；故选：A【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断求函数的定义域；如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的3（5分）已知向量（1，m），（3，2），且（+），则m

8、（）A8B6C6D8【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案【解答】解：向量（1，m），（3，2），+（4，m2），又（+），122（m2）0，解得：m8，故选：D【点评】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题4（5分）在等比数列an中，a12，a3+a512，则a7（）A8B10C14D16【分析】利用等比数列通项公式列方程求出a12，q22，再由a7，能求出结果【解答】解：在等比数列an中，a12，a3+a512，解得q22，a722316故选：D【点评】本题考查数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基

9、础题5（5分）若0，则点P（tan，cos）位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】由于0，可得tan0，cos0，从而可得答案【解答】解：0，tan0，cos0，即点P（tan，cos）位于第二象限故选：B【点评】本题考查三角函数值的符号，关键在于熟练掌握诱导公式，属于基础题6（5分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于（）ABCD【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得

10、出所求事件的概率为P故选：C【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型7（5分）已知正数x、y满足，则x+2y的最小值是（）A18B16C8D10【分析】先把x+2y转化成x+2y（x+2y）（ ）展开后利用均值不等式求得答案【解答】解：，x+2y（x+2y）（）10+10+818（当且仅当x4y时等号成立）答案为：18故选：A【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则8（5分）圆x2+y22x8y+130的圆心到直线

11、ax+y10的距离为1，则a（）ABCD2【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案【解答】解：圆x2+y22x8y+130的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y10的距离d1，解得：a，故选：A【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档9（5分）在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD1，则二面角BACD的余弦值为（）ABCD【分析】先找二面角BACD的平面角，取AC的中点E，根据已知条件，连接BE，DE，则BED便是所找的平面角，把它放在BED中，根据已知条件，DEC90，EDC30，CD1，所以，所以BE，这

12、样由余弦定理即可求出cosBED【解答】解：取AC中点E，连接BE，DE，则DEAC，BEAC；BED便是二面角BACD的平面角；在RtCDE中，EDC30，CD1，DEC90；DE，同样BE，又BD1；由余弦定理得：cosBED故选：A【点评】取AC的中点，找到二面角的平面角是求解本题的关键，本题考查直角三角形边角的关系，余弦定理，二面角及二面角的平面角10（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn3an+13，则an（）ABC3n1D【分析】由已知数列递推式可得Sn13an3（n2）与原递推式作差后可得（n2）验证，可得数列an构成以1为首项，以为公比的等比数列，由此求得an【解答

13、】解：由Sn3an+13，得Sn13an3（n2）两式作差可得an3an+13an，即（n2）a11，Sn3an+13，则数列an构成以1为首项，以为公比的等比数列，则故选：A【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题11（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间，上单调递增B在区间，上单调递减C在区间，上单调递减D在区间，上单调递增【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k0即可得到函数在区间，上单调递增，则答案可求【解答】解：把函数y3sin（

14、2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y3sin2（x）+即y3sin（2x）当函数递增时，由，得取k0，得所得图象对应的函数在区间，上单调递增故选：A【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题12（5分）设函数f（x），若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）f（x2）f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A（）BC（）D（【分析】先作出函数f（x）的图象，如图，不妨设x1x2x3，则x2，x3关于直线x3对称，得到x2+x36，且x10；最后结合求得x1+x2+x3的取值范围即可【解

15、答】解：函数f（x）的图象，如图，不妨设x1x2x3，则x2，x3关于直线x3对称，故x2+x36，且x1满足x10；则x1+x2+x3的取值范围是：+6x1+x2+x30+6；即x1+x2+x3（，6）故选：A【点评】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知边长为2的等边ABC中，D，E分别是AC，BC边上的中点，若，则+0【分析】建立平面直角坐标系，可得B（1，0），A（0，），C（1，0），D（，）由，可得

16、（1，）（，）+（0，）解得，即可【解答】解：如图建立平面直角坐标系，可得B（1，0），A（0，），C（1，0），D（，），则（1，）（，）+（0，），则+0故答案为：0【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，属于中档题14（5分）设实数x，y满足约束条件，则z2xy的最大值是1【分析】首先画出可行域，利用目标函数变形为y2xz在y的截距最小得到z的最大值【解答】解：x，y满足的平面区域如图则z2xy变形为y2xz，当此直线经过图中A（0，1）时，在y轴的截距最小，z最大，所以z的最大值为20（1）1；故答案为：1【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值

17、15（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为【分析】等差数列an中，由a55，S515，解得a11，d1，故，由此利用裂项求和法能够求了数列的前100项和【解答】解：等差数列an中，a55，S515，解得a11，d1，an1+（n1）n，数列的前100项和S100（1）+（）+（）+（）1故答案为：【点评】本题考查数列的前100项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的求法，注意裂项求和法的合理运用16（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a，b，c成等比数列，则cosB的最小值【分析】由已知得cos

18、B，当且仅当ac时，cosB取最小值【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a，b，c成等比数列，b2ac，cosB，当且仅当ac时，cosB取最小值故答案为：【点评】本题考查角的余弦值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列性质的合理运用三解答题（本大题共70分）17（10分）已知函数f（x）sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1，xR（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1化为f（x）sin（2x

19、+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间上是增函数，在区间，上是减函数，从而可求得f（x）在区间上的最大值和最小值【解答】解：（1）f（x）sin2xcos+cos2xsin+sin2xcoscos2xsin+cos2xsin2x+cos2xsin（2x+），函数f（x）的最小正周期T（2）函数f（x）在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又f（）1，f（），f（）1，函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为1【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得f（x）sin（2x+）是关键，

20、属于中档题18（12分）已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列（1）求数列an的通项；（2）求数列的前n项和Sn【分析】（1）利用等差数列以及等比数列的关系求出公差d，然后求解通项公式（2）化简通项公式，利用等比数列求和公式求解即可【解答】本题（满分12分）解：（1）由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得，解得d1，d0（舍去），故an的通项an1+（n1）1n（6分）（2）由（）知2n，由等比数列前n项和公式得（12分）【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，公差计算能力19（12分）某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续

21、教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如左表所示已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 第一批次第二批次第三批次女教职工196xy男教职工204156z（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？（3）已知y96，z96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率【分析】（1）在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16用x除以总体数等于0.16，做出x的值（2）根据总体数和第一批次和第二批次的总人数和总体数，得到第三批次的人数，根据每个个体被抽到的概率，列出等式，解方程即

22、可（3）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数可以通过列举得到结果数，满足条件的事件也可以通过列举得到事件数，根据等可能事件的概率公式得到结果【解答】解：（1）在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16有，解得x144（2）第三批次的人数为y+z900（196+204+144+156）200，设应在第三批次中抽取m名，则，解得m12应在第三批次中抽取12名（3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A，第三批次女教职工和男教职工数记为数对（y，z），由（2）知y+z200，（y，zN，y96，z96），则基本事件总数有：（96，104），（97，103），（

23、98，102），（99，101），（100，100），（101，99），（102，98），（103，97），（104，96），共9个，而事件A包含的基本事件有：（101，99），（102，98），（103，97），（104，96）共4个，【点评】本题考查分层抽样的方法，考查等可能事件的概率，考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查利用概率统计知识解决实际问题20（12分）设ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c6，b2，cosB（1）求a，c的值；（2）求sin（AB）的值【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与

24、a+c的值联立即可求出a与c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）a+c6，b2，cosB，由余弦定理得：b2a2+c22accosB（a+c）22acac36ac4，整理得：ac9，联立解得：ac3；（2）cosB，B为三角形的内角，sinB，b2，a3，sinB，由正弦定理得：sinA，ac，即AC，A为锐角，cosA，则sin（AB）sinAcosBcosAsinB【点评】此题考查

25、了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键21（12分）ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知abcosC+csinB（1）求B；（2）若b2，求ABC面积的最大值【分析】（1）利用正弦定理化简，结合三角形内角和定理可得B（2）利用余弦定理建立等式关系，结合不等式的性质求解ac的最大值，可得ABC面积的最大值【解答】解：（1）abcosC+csinB，根据正弦定理，得sinAsinBcosC+sinBsinC，A+B+CsinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC，比较，可得sinBcosB，即tanB1

26、，结合B为三角形的内角，可得B45；（2）ABC中，b2，B45，根据余弦定理b2a2+c22accosB，可得a2+c22accos454，化简可得a2+c2ac4a2+c22ac，4a2+c2ac（2）ac即ac4）当且仅当ac时等号成立ABC面积SacsinB，综上所述，当且仅当ac时，ABC面积S的最大值为【点评】本题考查了正余弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的三角函数公式与基本不等式的运用等知识，属于中档题熟练掌握有关定理及公式是解决本题的关键22（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，且ABC为正三角形，AA1AB6，D为AC的中点（1）求证：直线AB1

27、平面BC1D；（2）求三棱锥CBC1D的体积（3）三棱柱ABCA1B1C1的顶点都在一个球面上，求该球的体积【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，可得A1BOD，则直线AB1平面BC1D；（2）直接利用等积法求三棱锥CBC1D的体积；（3）设底面三角形的中心为G，则AG2，再设三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心为M，求出半径MA，则球的体积可求【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点D为AC中点，得DO为AB1C中位线，A1BODOD平面BC1D，AB1平面BC1D，直线AB1平面BC1D；（2）解：在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB6，；（3）解：设底面三角形的中心为G，则AG2，再设三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心为M，则球的半径为MA球的体积为【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题