2017-2018学年内蒙古翁牛特旗乌丹二中、呼和浩特二十一中联考高二（上）期末数学试卷（理科）含详细解答

1、2017-2018学年内蒙古翁牛特旗乌丹二中、呼和浩特二十一中联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知一组数据为8，1，4，x，10，13且这组数的中位数是7，那么数据中的众数是（）A7B6C4D102（5分）某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3，33，48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）A28B23C18D133（5分）中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目

2、称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为Nn（modm），例如112（mod3）现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A21B22C23D244（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位数5（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值

3、分别为（）A3，5B5，5C3，7D5，76（5分）“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）ABCD7（5分）某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（）ABCD8（5分）下列说法不正确的是（）A若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B命题“xR，x2x10”的否定是“

4、xR，x2x10”C设A，B是两个集合，则“AB”是“ABA”的充分不必要条件D当a0时，幂函数yxa在（0，+）上单调递减9（5分）已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）ABCD10（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）ABCD11（5分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为双曲线1（a0，b0）的右焦点，且其准线被该双曲线截得的弦长是b，则该双曲线的离心率为（）ABCD12（5分）已知椭圆的两个焦点是F1，F2，E是直线

5、yx+2与椭圆的一个公共点，当|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的离心率为（）ABCD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）命题“xR，x22x+10”的否定是   14（5分）已知向量（1，1，0），（1，0，2），且向量2与向量k+互相垂直，则实数k的值为   15（5分）已知l，且l的方向向量为（2，m，1），平面的法向量为，则m   16（5分）已知双曲线C：1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引|垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若3，则双曲线的离心率   三、解答题（共6小题，满分70分）17（12分）为

6、了考查培育的某种植物的生长情况，从试验田中随机抽取100柱该植物进行检测，得到该植物高度的频数分布表如下：组序高度区间频数频率1230，235）140.142235，240）0.263240，245）0.204245，250）305250，255）10合计1001.00（）写出表中处的数据；（）用分层抽样法从第3、4、5组中抽取一个容量为6的样本，则各组应分别抽取多少个个体？（）在（）的前提下，从抽出的容量为6的样本中随机选取两个个体进行进一步分析，求这两个个体中至少有一个来自第3组的概率18（12分）袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中有4个编号为1，2，3，4的红球，2个编号为

7、A、B的黑球，现从中任取2个小球（）求所取取2个小球都是红球的概率；（）求所取的2个小球颜色不相同的概率19（12分）已知空间三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4），设，（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量k与k互相垂直，求实数k的值；（3）若向量与共线，求实数的值20（12分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B（）若|AB|，求直线l的方程（）求|AB|的最小值21（12分）已知F1，F2分别为椭圆+y21的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2（）求ABF2的周长；（）若AF2BF2，求ABF2的面积22（

8、10分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是正三角形，E是棱BB1的中点（）求证平面AEC1平面AA1C1C；（）若AA1AB，求二面角CAEC1的平面角的余弦值2017-2018学年内蒙古翁牛特旗乌丹二中、呼和浩特二十一中联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知一组数据为8，1，4，x，10，13且这组数的中位数是7，那么数据中的众数是（）A7B6C4D10【分析】首先，根据中位数为7，确定x的值，然后，确定其众数即可【解答】解：数据为8，1，4，x，10，13且这组数的中位数是7，（x+4）7，x10，数据

9、中的众数是10，故选：D【点评】本题重点考查了中位数、众数的概念和基本运算，属于中档题2（5分）某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3，33，48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）A28B23C18D13【分析】求出抽样间隔f15，由编号为3，33，48号学生在样本中，求出样本中另一个学生的编号为3+1518【解答】解：某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，60随机编号，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），抽样间隔f15，编号为3，33，48号学生在样本中，样本中另一个学

10、生的编号为3+1518故选：C【点评】本题考查样本中学生编号的求法，考查系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为Nn（modm），例如112（mod3）现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A21B22C23D24【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的

11、余数为3的数，在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的应用，属于基础题4（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位数【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳

12、定程度；在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度故选：B【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用5（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A3，5B5

13、，5C3，7D5，7【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y的值【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y5，则乙组数据的平均数为：66，故x3，故选：A【点评】本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题6（5分）“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）ABCD【分析】先求出基本

14、事件总数n15，再求出其中金额之和大于等于4有可能的种数，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率【解答】解：所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，基本事件总数n15，其中金额之和大于等于4有可能有：（0.62，3.41），（1.49，3.41），（1.81，2.19），（1.81，3.41），（2.19，3.41），共有5种，甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率p故选：C【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用7（5分）某人向一个

15、半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（）ABCD【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出射击中靶点与靶心的距离小于2对应的平面图形的面积，及整个靶子面积的大小，并将它们一齐代入几何概型的计算公式，进行求解【解答】解：整个靶子是下图中所示的大圆，而距离靶心距离小于2用下图中阴影部分的小圆所示：故此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率P故选：B【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A

16、的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P求解8（5分）下列说法不正确的是（）A若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B命题“xR，x2x10”的否定是“xR，x2x10”C设A，B是两个集合，则“AB”是“ABA”的充分不必要条件D当a0时，幂函数yxa在（0，+）上单调递减【分析】逐项判断即可【解答】解：A、p且q为假，根据复合命题的判断方法知，p，q至少有一个为假，故A正确；B、根据特称命题的否定形式知B正确；C、当AB可得ABA，反之，当ABA时，也可推出AB，所以“AB”是“ABA”的充要条件，故C错误；D、由幂函数的性质易知D正确

17、故选：C【点评】本题考查命题的判断，充分必要条件等知识考查学生对基本知识的掌握和运用属于基础题9（5分）已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）ABCD【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c2，求解a，b，然后等到双曲线的方程【解答】解：双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c2，即，解得a1，b，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力10（5分）已知直三棱柱ABC

18、A1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和MNP的余弦值即可【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，），可知MNAB1，NPBC1；作BC中点Q，则PQM为直角三角形；PQ1，MQAC，ABC中，由

19、余弦定理得AC2AB2+BC22ABBCcosABC4+1221（）7，AC，MQ；在MQP中，MP；在PMN中，由余弦定理得cosMNP；又异面直线所成角的范围是（0，AB1与BC1所成角的余弦值为【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCDA1B1C1D1，求BC1D即可；BC1，BD，C1D，+BD2，DBC190，cosBC1D故选：C【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题11（5分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为双曲线1（a0，b0）的右焦点，且其准线被该双曲线截得的弦长是b，则该双曲线的离心率为（）ABCD【分析】由题意可

20、知：抛物线的焦点F（c，0），准线xc，将xc代入双曲线方程，解得：y，即可求得b，a3b，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率【解答】解：由题意可知：抛物线的焦点F（c，0），准线xc，将xc代入双曲线方程，解得：y，则准线被该双曲线截得的弦长为，b，a3b，双曲线的离心率e，则双曲线的离心率e，故选：D【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，主要是离心率公式，考查计算能力，属于基础题12（5分）已知椭圆的两个焦点是F1，F2，E是直线yx+2与椭圆的一个公共点，当|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的离心率为（）ABCD【分析】由题意得（m+2）x2+4（m+1）x+3（m+1）

21、0由0，得m2|EF1|+|EF2|取得最小值，求出m由此能求出椭圆离心率【解答】解：由题意，m0知m+11，由得（m+2）x2+4（m+1）x+3（m+1）0由16（m+1）212（m+2）（m+1）4（m+1）（m2）0，解得m2，或m1（舍去）m2，当且仅当m2时，|EF1|+|EF2|取得最小值：2此时a，c，e故选：D【点评】本题考查椭圆性质的应用，注意合理地进行等价转化二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）命题“xR，x22x+10”的否定是xR，x22x+10【分析】根据命题“xR，x22x+10”是特称命题，其否定为全称命题，即xR，x22x+10从而

22、得到答案【解答】解：命题“xR，x22x+10”是特称命题否定命题为：xR，x22x+10故答案为：xR，x22x+10【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化14（5分）已知向量（1，1，0），（1，0，2），且向量2与向量k+互相垂直，则实数k的值为【分析】由已知中向量（1，1，0），（1，0，2），我们可以求出向量k+与2的坐标，根据k+与2互相垂直，两个向量的数量积为0，构造关于k的方程，解方程即可求出a值【解答】解：向量（1，1，0），（1，0，2），k+（k1，k，2），2（3

23、，2，2）k+与2互相垂直，则（k+）（2）3（k1）+2k45k70解得k故答案为：【点评】本题考查的知识点是向量语言表述线线的垂直关系，其中根据k+与2互相垂直，两个向量的数量积为0，构造关于k的方程，是解答本题的关键15（5分）已知l，且l的方向向量为（2，m，1），平面的法向量为，则m8【分析】根据题意可知向量为（2，m，1）与平面的法向量垂直，从而向量的数量积为0，建立等式关系，解之即可求出所求【解答】解：l，且l的方向向量为（2，m，1），平面的法向量为，向量为（2，m，1）与平面的法向量垂直则（2，m，1）2+m+20解得m8故答案为：8【点评】本题主要考查了向量语言表述线面的垂

24、直、平行关系，同时考查了空间向量的数量积，属于中档题16（5分）已知双曲线C：1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引|垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若3，则双曲线的离心率【分析】设一渐近线OM的方程为yx，设M（m，m），N（n，），由3，求得点M的坐标，再由FMOM，斜率之积等于1，求出a22b2，代入e，进行运算即可得到【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为yx，则另一渐近线ON的方程为yx，设M（m，），N（n，），3，3（cm，）（nc，），3（cm）nc，mc，n2c，M（，）由FMOM可得，斜率之积等于1，即1，a22b2，e故答案为：【点评】本

25、题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线，求得点M的坐标是解题的关键，考查化简整理的运算能力，属于中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17（12分）为了考查培育的某种植物的生长情况，从试验田中随机抽取100柱该植物进行检测，得到该植物高度的频数分布表如下：组序高度区间频数频率1230，235）140.142235，240）0.263240，245）0.204245，250）305250，255）10合计1001.00（）写出表中处的数据；（）用分层抽样法从第3、4、5组中抽取一个容量为6的样本，则各组应分别抽取多少个个体？（）在（）的前提下，从抽出的容量为6的样本中随机选取两个个

26、体进行进一步分析，求这两个个体中至少有一个来自第3组的概率【分析】（）由频率，利用频数分布表能求出表中处的数据（）抽样比为，由此能求出第3、4、5组中抽取的个体数（）设从第3组抽取的2个个体是甲、乙，第4组抽取的3个个体是a、b、c，第5组抽取的1个个体是d，由此利用列举法能求出这两个个体中至少有一个来自第3组的概率【解答】解：（）由频率，得：，解得26，20，0.30，0.10（4分）（）抽样比为，第3、4、5组中抽取的个体数分别是0.1202，0.1303，0.1101（7分）（）设从第3组抽取的2个个体是甲、乙，第4组抽取的3个个体是a、b、c，第5组抽取的1个个体是d，记事件A为“两个

27、个体都不来自第3组”，则从中任取两个的基本事件为：甲乙、甲a、甲b、甲c、甲d、乙a、乙b、乙c、乙d、ab、ac、ad、bc、bd、cd，共15个，且各基本事件等可能（9分）其中事件“两个个体中至少有一个来自第3组”包含的基本事件为：甲乙、甲a、甲b、甲c、甲d、乙a、乙b、乙c、乙d，共有9个（11分）故两个个体中至少有一个来自第3组的概率（12分）【点评】本题考查频数分布表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用18（12分）袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中有4个编号为1，2，3，4的红球，2个编号为A、B的黑球，现从中任取2个小球（）求所

28、取取2个小球都是红球的概率；（）求所取的2个小球颜色不相同的概率【分析】（）利用列举法求出任取2个小球的基本事件总数，用M表示“所取取2个小球都是红球”，利用列举法求出M包含的基本事件个数，由此能求出所取取2个小球都是红球的概率（）用N表示“所取的2个小球颜色不相同”，利用列举法求出N包含的基本事件个数，由此能求出所取的2个小球颜色不相同的概率【解答】解：（）由题意知，任取2个小球的基本事件有：1，2，1，3，1，4，1，A，1，B，2，3，2，4，2，A，2，B，3，4，3，A，3，B，4，A，4，B，A，B，共15个，用M表示“所取取2个小球都是红球”，则M包含的基本事件有：1，2，1，4

29、，2，3，2，4，3，4，共6个，所取取2个小球都是红球的概率：P（M）（）用N表示“所取的2个小球颜色不相同”，则N包含的基本事件有：1，A，1，B，2，A，2，B，3，A，3，B，4，A，4，B，共8个，所取的2个小球颜色不相同的概率：P（N）【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是基础题19（12分）已知空间三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4），设，（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量k与k互相垂直，求实数k的值；（3）若向量与共线，求实数的值【分析】（1）求出（1，1，0），（1，0，2），利用空间向

30、量夹角余弦值计算公式能求出与的夹角的余弦值（2）推导出k（k，k，0）+（1，0，2）（k1，k，2），k（k，k，0）（2，0，4）（k+2，k，4），由向量k与k互相垂直，能求出实数k的值（3）推导出（，0）（1，0，2）（+1，2），（1，1，0）（，0，2）（1+，1，2），由向量与共线，能求出实数的值【解答】解：（1）空间三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4），（1，1，0），（1，0，2），设与的夹角为，则cos（2）（1，1，0），（1，0，2），k（k，k，0）+（1，0，2）（k1，k，2），k（k，k，0）（2，0，4）（k+2，k，4），向量k与k互相垂

31、直，（k）（k）（k1）（k+2）+k280，整理，得2k2+k100，解得实数k的值为或2（3）（1，1，0），（1，0，2），（，0）（1，0，2）（+1，2），（1，1，0）（，0，2）（1+，1，2），向量与共线，解得实数的值为1或1【点评】本题考查向量的夹角的余弦值的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量夹角余弦值计算公式、向量垂直、向理共线的性质的合理运用20（12分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B（）若|AB|，求直线l的方程（）求|AB|的最小值【分析】（）设直线l的方程为：x+my10，代入y24x，整理得，y2+4

32、my40，利用韦达定理和抛物线的定义，能够求出直线l的方程（）由（）知，|AB|4（m2+1）4，由此能求出|AB|的最小值【解答】解：（）设直线l的方程为：x+my10，代入y24x，整理得，y2+4my40设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1+y24m根据抛物线的定义知：|AB|x1+x2+2（1my1）+（1my2）+24（m2+1）若|AB|，则4（m2+1），m即直线l有两条，其方程分别为：x+y10，xy10（）由（）知，|AB|4（m2+1）4，当且仅当m0时，|AB|有最小值4【点评】本题考查直线方程的求法，考查弦的最小值

33、的求法解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线简单性质、韦达定理、均值不等式等知识点的灵活运用21（12分）已知F1，F2分别为椭圆+y21的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2（）求ABF2的周长；（）若AF2BF2，求ABF2的面积【分析】（I）由椭圆定义得ABF2的周长为4a，由此能求出结果（II）设直线l的方程为xmy1，与椭圆联立，得（m2+2）y22my10由此利用韦达定理、向量垂直的性质、弦长公式，能求出ABF2的面积【解答】解：（I）F1，F2分别为椭圆+y21的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2ABF2的

34、周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|4a4（3分）（II）设直线l的方程为xmy1，由，得（m2+2）y22my10设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，y1y2，（5分）AF2BF2，0，（x11）（x21）（my12）（my22）+y1y2（m2+1）y1y22m（y1+y2）+42m+40m27（10分）ABF2的面积S|F1F2|（12分）【点评】本题考查三角形的面积及周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义、韦达定理、向量垂直的性质、弦长公式的合理运用22（10分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是正三角形，E是棱BB1的中点（）

35、求证平面AEC1平面AA1C1C；（）若AA1AB，求二面角CAEC1的平面角的余弦值【分析】（）分别取AC，AC1的中点O，F，推导出四边形OBEF是平行四边形，从而OBEF推导出OB面ACC1A1，从而EF平面ACC1A1，由此能证明平面AEC1平面AA1C1C（）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角CAEC1的平面角的余弦值【解答】证明：（）分别取AC，AC1的中点O，F，连结OB，OF，EF，则OFBE，四边形OBEF是平行四边形，OBEFABCA1B1C1是直三棱柱，ABC是正三角形，O是AC的中点，OB面ACC1A1，EF平面ACC1A1，平面AEC1平面AA1C1C（）建立如图Oxyz空间直角坐标系，设AA1AB2，则，设平面AEC的法向量为，平面AEC1的法向量为，则有，得，设二面角CAEC1的平面角为，则二面角CAEC1的平面角的余弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、方程与函数思想、数形结合思想，是中档题