1、2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）“所有9的倍数都是3的倍数某数是9的倍数，故该数为3的倍数，”上述推理（）A完全正确B推理形式不正确C错误，因为大小前提不一致D错误，因为大前提错误2（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z1+3i，则z（）A1+2iB2+iC12iD2i3（5分）已知双曲线1（a0，b0）的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）Ay2xBCD4（5分）（2x1）6展开式中x2的系数为（）A15B60C120D2405（5分）
2、袋中装有6个红球和4个白球，不放回地一次摸出一个，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸到红球的概率为（）ABCD6（5分）如图所示，曲线yx2和曲线y围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A1BCD7（5分）已知随机变量XN（6，1），且P（5X7）a，P（4X8）b，则P（4X7）（）ABCD8（5分）若点P在抛物线yx2上，点Q（0，3），则|PQ|的最小值是（）ABC3D9（5分）如图，过抛物线y24x焦点的直线依次交抛物线与圆（x1）2+y21于A，B，C，D，则|（）A4B2C1D10（5分）高三（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞
3、蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A1800B3600C4320D504011（5分）函数f（x）sin（ln）的图象大致为（）ABCD12（5分）若对任意的x0，不等式x22mlnx1（m0）恒成立，则m的取值范围是（）A1B1，+）C2，+）De，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上13（5分）设随机变量XB（n，），且D（X），则事件“X2”的概率为 14（5分）设函数f（x）x3+（a1）x2+ax若f（x）为奇函数，则曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为 15（5分）已知等差数列an满足a44，且a1，
4、a2，a4成等比数列，则a3的所有值为 16（5分）下列命题中已知点A（3，0），B（3，0），动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹是一个圆；已知M（2，0），N（2，0），|PM|PN|3，则动点P的轨迹是双曲线右边一支；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；在平面直角坐标系内，到点（1，1）和直线x+2y3的距离相等的点的轨迹是抛物线；设定点F1（0，2），F2（0，2），动点P满足条件|PF1|+|PF2|a+（a0），则点P的轨迹是椭圆正确的命题是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）在ABC中，角
5、A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2c（）求证：a，c，b成等差数列；（）若C，ABC的面积为2，求c18（12分）已知公差不为零的等差数列an满足S535，且a2，a7，a22成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若bn，且数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn19（12分）“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：运动达人参与者合计男教师
6、602080女教师402060合计10040140（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？（2）从具有“运动达人号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为X，写出X的分布列并求出数学期望E（X）参考公式：K2，其中na+b+c+d参考数据：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820（12分）已知椭圆C满足：过椭圆C的右焦点F（，0）且经过短轴端点的直线的倾斜角为（）求椭
7、圆C的方程；（）设O为坐标原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值21（12分）已知函数，其中aR（）求f（x）的单调区间；（）若在1，e上存在x0，使得f（x0）0成立，求a的取值范围选做题：请考生从第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求ABM面积的最大值选修4-5：不等式选讲
8、23设f（x）|x1|x+3|（1）解不等式f（x）2；（2）若不等式f（x）kx+1在x3，1上恒成立，求实数k的取值范围2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）“所有9的倍数都是3的倍数某数是9的倍数，故该数为3的倍数，”上述推理（）A完全正确B推理形式不正确C错误，因为大小前提不一致D错误，因为大前提错误【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论【解答】解：所有6
9、的倍数都是3的倍数，某数是6的倍数，则该数是3的倍数，大前提：所有6的倍数都是3的倍数是正确的，小前提：某数是6的倍数是正确的，结论：该数是3的倍数是正确的，这个推理是正确的，故选：A【点评】本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题2（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z1+3i，则z（）A1+2iB2+iC12iD2i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（1+i）z1+3i，得z，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3（5分）已知双曲线1（a0，b0）的离心率为，则
10、此双曲线的渐近线方程为（）Ay2xBCD【分析】由离心率的值，可设，则得，可得的值，进而得到渐近线方程【解答】解：，故可设，则得，渐近线方程为 ，故选：C【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值是解题的关键4（5分）（2x1）6展开式中x2的系数为（）A15B60C120D240【分析】可写出通项公式，令x的系数为2，求此项的系数即可【解答】解：（2x1）6（1+2x）6T3C62（1）4（2x）260x2故选：B【点评】本题考查二项式定理的通项公式的应用，属基本题5（5分）袋中装有6个红球和4个白球，不放回地一次摸出一个，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸到红球
11、的概率为（）ABCD【分析】第一次摸到红球，第二次摸球时袋中有5个红球和4个白球，由此能求出第二次摸到红球的概率【解答】解：袋中装有6个红球和4个白球，不放回地一次摸出一个，第一次摸到红球，第二次摸球时袋中有5个红球和4个白球，第二次摸到红球的概率为故选：D【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用6（5分）如图所示，曲线yx2和曲线y围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A1BCD【分析】联立由曲线yx2和曲线y两个解析式求出交点坐标，然后在x（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可【解答】解：联立得，解得 或，设曲线与直线围成的
12、面积为S，则S01（x2）dx故选：C【点评】考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力7（5分）已知随机变量XN（6，1），且P（5X7）a，P（4X8）b，则P（4X7）（）ABCD【分析】根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（4X7）【解答】解：随机变量XN（6，1），正态曲线的对称轴是x6，P（1X5）0.6826，P（5X7）a，P（4X8）b，P（7X8），P（4X7）b故选：B【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题8（5分）若点P在抛物线yx2上，点Q（0，3），则|PQ|的最小值
13、是（）ABC3D【分析】由已知条件，设P（x，y），利用两点间距离公式，求出|PQ|，由此利用配方法能求出|PQ|的最小值【解答】解：设P（x，y），Q（0，3），|PQ|，|PQ|的最小值是故选：B【点评】本题考查两点间距离公式，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础9（5分）如图，过抛物线y24x焦点的直线依次交抛物线与圆（x1）2+y21于A，B，C，D，则|（）A4B2C1D【分析】当直线过焦点F且垂直于x轴时，|AD|2p4，|BC|2r2，由抛物线与圆的对称性知：|AB|CD|1，所以|AB|CD|1【解答】解：由特殊化原则，当直线过焦点F且垂直于x轴时，|AD|2p4，|
14、BC|2r2，由抛物线与圆的对称性知：|AB|CD|1，所以|AB|CD|1；故选：C【点评】本题以抛物线与圆为载体，考查圆的性质和应用，解题时恰当地选取取特殊值，能够有效地简化运算10（5分）高三（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A1800B3600C4320D5040【分析】两个舞蹈节目不连排，可采用插空法其它五个节目的安排方式有A55种，5个节目有6个空，从6个空中选择两个安排舞蹈节目即可【解答】解：两个舞蹈节目不连排，则利用插空法进行，先排4个音乐节目和1个曲艺节目，共有，5个节目之间有6个空，从
15、中选两个排舞蹈，有，则共有3600，故选：B【点评】本题考查有特殊要求的排列问题，属基本题安排不相连，用插孔法，相连用捆绑法11（5分）函数f（x）sin（ln）的图象大致为（）ABCD【分析】利用函数的定义域以及函数的奇偶性，特殊值的位置，排除选项判断即可【解答】解：函数f（x）sin（ln）的定义域为：x1或x1，排除A，f（x）sin（ln）sin（ln）sin（ln）f（x），函数是奇函数排除C，x2时，函数f（x）sin（ln）sin（ln3）0，对应点在第四象限，排除D故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性以及定义域特殊点的应用，函数的图象的判断，考查计算能力12（5分）若对任意的x
16、0，不等式x22mlnx1（m0）恒成立，则m的取值范围是（）A1B1，+）C2，+）De，+）【分析】利用导函数求解最值，即可求解m的取值范围【解答】解：令f（x）x22mlnx1，则f（x）2x当m0时，f（x）0，则f（x）在定义域内单调递增，不存在最值，对任意的x0，不等式不恒成立当m0时，f（x）0，可得x，当x（0，）时，f（x）0，当x（，+）时，f（x）0，可得当x取得最小值为mmlnm，即mmlnm1令g（m）mmlnm1（m0）则g（m）lnm，令g（m）lnm0，可得m1当0m1时，f（m）0，则f（m）在（0，1）单调递增；当m1时，f（m）0，则f（m）在（1，+）时
17、，f（m）单调递减；当m1取得最大值为1要使mmlnm1成立，则m1故选：A【点评】本题考查了函数的恒成立问题，最值的求解利用了导函数的性质，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上13（5分）设随机变量XB（n，），且D（X），则事件“X2”的概率为【分析】由随机变量XB（n，），且D（X），先求出n4，由此能求出事件“X2”的概率【解答】解：随机变量XB（n，），且D（X），解得n4，事件“X2”的概率为：P（X2）故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）设函数f（x）x3+（a
18、1）x2+ax若f（x）为奇函数，则曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为yx【分析】由奇函数的定义可得f（x）+f（x）0，可得a1，求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程【解答】解：函数f（x）x3+（a1）x2+ax若f（x）为奇函数，可得f（x）+f（x）x3+（a1）x2ax+x3+（a1）x2+ax0，即为2（a1）x20，由xR，可得a1，即有f（x）x3+x，导数为f（x）3x2+1，可得x0处切线的斜率为1，即有曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为yx故答案为：yx【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运
19、算能力，属于基础题15（5分）已知等差数列an满足a44，且a1，a2，a4成等比数列，则a3的所有值为3或4【分析】利用等差数列以及等比数列的通项公式，结合已知条件求出首项与公差，然后求解即可【解答】解：因为a1，a2，a4成等比数列，所以，即，化简，得：d（da1）0，所以，或，解得：或，所以a3a44，或a3a1+2d3，所以，a3的所有值为3，4故答案为：3或4【点评】本题考查等差数列，等比数列的应用，通项公式的应用，考查计算能力16（5分）下列命题中已知点A（3，0），B（3，0），动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹是一个圆；已知M（2，0），N（2，0），|PM|PN|3，
20、则动点P的轨迹是双曲线右边一支；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；在平面直角坐标系内，到点（1，1）和直线x+2y3的距离相等的点的轨迹是抛物线；设定点F1（0，2），F2（0，2），动点P满足条件|PF1|+|PF2|a+（a0），则点P的轨迹是椭圆正确的命题是【分析】求出轨迹方程判断的正误；利用双曲线的定义判断的正误；线性相关的定义判断的正误；利用哦王孝的定义判断的正误；椭圆的定义判断的正误【解答】解：中|PA|，|PB|，根据|PA|2|PB|，化简得：（x5）2+y216，所以点P的轨迹是个圆；因为|PM|PN|3|MN|4，所以根据双曲线的定义，P点的轨迹
21、是双曲线右支，正确；根据相关性定义，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，正确；因为点在直线上，不符合抛物线定义，错误；因为a+4，且当a2时取等号，不符合椭圆的定义，错误综上正确的是故答案为：【点评】本题考查命题的直接的判断与应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2c（）求证：a，c，b成等差数列；（）若C，ABC的面积为2，求c【分析】（）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角形的内角和，化简求解即可（）利用三角形的面
22、积以及余弦定理化简求解即可【解答】解：（）证明：由正弦定理得：即，sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA3sinC（2分）sinB+sinA+sin（A+B）3sinCsinB+sinA+sinC3sinC（4分）sinB+sinA2sinCa+b2c（5分）a，c，b成等差数列（6分）（）ab8（8分）c2a2+b22abcosCa2+b2ab（a+b）23ab4c224（10分）c28得（12分）【点评】本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数妹子学到了与余弦定理，等差数列的应用，考查转化思想以及计算能力18（12分）已知公差不为零的等差数列an满足S535，且a2，a7
23、，a22成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若bn，且数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn【分析】（）首先利用已知条件和等比数列的性质建立方程组，进一步求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式（）利用（）的结论，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果【解答】解：（）设等差数列an的公差为d（d0）由题意得，则，解得a13，d2，所以an3+2（n1）2n+1（）证明：bn，所以，【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法和放缩法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型19（12分）“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，
24、某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：运动达人参与者合计男教师602080女教师402060合计10040140（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？（2）从具有“运动达人号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为X，写出X的分
25、布列并求出数学期望E（X）参考公式：K2，其中na+b+c+d参考数据：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）根据列联表数据得到k1.1673.841，从而不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关（2）根据分层抽样方法得选取的10人中，男教师有6人，女教师有4人，由题意得X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（1）根据列联表数据得到：k1.1673.841，不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关（2）根据分层抽样方法
26、得：男教师有（人），女教师有（人），选取的10人中，男教师有6人，女教师有4人，由题意得X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），X的分布列为：X 0 1 2 3 P E（X）【点评】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，考查分层抽样、古典概率、排列组合等基础知识，是中档题20（12分）已知椭圆C满足：过椭圆C的右焦点F（，0）且经过短轴端点的直线的倾斜角为（）求椭圆C的方程；（）设O为坐标原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值【分析】（）设椭圆方程为+1（ab0），运用直线的斜率
27、公式，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值【解答】解：（）设椭圆方程为+1（ab0），由题意可得c，设短轴的端点为（0，b），可得tan1，解得b，a2，椭圆方程为+1；（）设A（t，2），B（x0，y0），x00，则OAOB，0，tx0+2y00，t，x02+2y024，|AB|2（x0t）2+（y02）2（x0+）2+（y02）2x02+y02+4x02+4+4（0x024），因为+4（0x024），当且仅当，即x024时等号成立，所以|AB|28线段AB长度的最小值为2【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算
28、能力，属于中档题21（12分）已知函数，其中aR（）求f（x）的单调区间；（）若在1，e上存在x0，使得f（x0）0成立，求a的取值范围【分析】（）先求出函数的单调区间，通过讨论a的范围，确定函数的单调性；（）通过讨论a的范围，得到f（x）在1，e的单调性，求出1，e的最小值即可求出a的范围【解答】解：（）当a0时，在x（0，+）上f'（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，在x（0，a）上f'（x）0；在x（a，+）上f'（x）0；所以f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增综上所述，当a0时，f（x）的单调递增区间为（0，+），当a0时，f
29、（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+）（）若在1，e上存在x0，使得f（x0）0成立，则f（x）在1，e上的最小值小于0当a1，即a1时，由（1）可知f（x）在1，e上单调递增，f（x）在1，e上的最小值为f（1），由f（1）1a0，可得a1，当ae，即ae时，由（1）可知f（x）在1，e上单调递减，f（x）在1，e上的最小值为f（e），由，可得当1ae，即ea1时，由（1）可知f（x）在（1，a）上单调递减，在（a，e）上单调递增，f（x）在1，e上的最小值为f（a）（a+1）ln（a）a+1，因为0ln（a）1，所以（a+1）（a+1）ln（a）0，即（a+1）ln（a
30、）a+12，即f（a）2，不满足题意，舍去综上所述，实数a的取值范围为【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题选做题：请考生从第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求ABM面积的最大值【分析】（1）圆C的参数方程为（为参数）利用平方关系可得：（x3）2+（y+4）24展开可
31、得：x2+y26x+8y+210把xcos，ysin代入可得圆C的极坐标方程（2）直线AB的方程为：1，即x+y20圆心C（3，4）到直线AB的距离d2，可得直线AB与AB相离可得圆C上任意一点M（x，y）直线AB的距离的最大值，可得ABM面积的最大值|AB|（d+r）【解答】解：（1）圆C的参数方程为（为参数）利用平方关系可得：（x3）2+（y+4）24展开可得：x2+y26x+8y+210把xcos，ysin代入可得圆C的极坐标方程：26cos+8sin+210（2）直线AB的方程为：1，即x+y20圆心C（3，4）到直线AB的距离d2，可得直线AB与AB相离圆C上任意一点M（x，y）直线
32、AB的距离的最大值d+r+2，ABM面积的最大值|AB|（d+r）（+2）3+2【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲23设f（x）|x1|x+3|（1）解不等式f（x）2；（2）若不等式f（x）kx+1在x3，1上恒成立，求实数k的取值范围【分析】（1）去掉绝对值符号，将函数化为分段函数的形式，解不等式f（x）2即可；（2）由于不等式f（x）kx+1在x3，1上恒成立，可得2x2kx+1在x3，1上恒成立，分离参数求最小值即可求实数k的取值范围【解答】解：（1）f（x）|x1|x+3|，x3时，f（x）x+1+x+342，x3；3x1时，f（x）x+1x32x22，x2，3x2；x1时，f（x）x1x342，不成立综上，不等式的解集为x|x2；（2）x3，1时，f（x）x+1x32x2，由于不等式f（x）kx+1在x3，1上恒成立，2x2kx+1在x3，1上恒成立，k2g（x）2在x3，1上为增函数，1g（x）1k1【点评】熟练掌握分类讨论方法解含绝对值符号的不等式、恒成立问题等价转化方法等是解题的关键
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