1、1（5分）已知条件p：x1，q：，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（5分）抛物线y4x2的焦点坐标是（）A（0，1）B（1，0）CD3（5分）若函数有极值点，则实数a的取值范围为（）A（1，+）B1，+）C（，1）D（，14（5分）已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）AB3CD5（5分）若函数f（x）kxlnx在区间（1，+）上单调递增，则k的取值范围是（）A（，2B（，1C1，+）D1，+）6（5分）已知点A是双曲线（a，b0）右支上一点，F是右焦点，若AOF（O是坐标原点）
2、是等边三角形，则该双曲线离心率e为（）ABC1+D1+7（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（1）1，且 f（x）的导函数f（x），则满足2f（x）x+1的x的集合为（）Ax|1x1Bx|x1Cx|x1或x1Dx|x18（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）ABCD9（5分）函数f（x）的图象大致是（）ABCD10（5分）若函数f（x）lnx+在区间1，e上最小值为，则实数a的值为（）ABCD非上述答案11（5分）如图，过抛物线y22px（p0）焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|2|BF
3、|，且|AF|3，则此抛物线的方程为（）Ay23xBy29xCy2xDy2x12（5分）已知f（x）lnx+2，若对x1（0，1，x21，1，都有f（x1）g（x2），则a的取值范围为（）A（，2eB（2，2eCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13（5分）函数f（x）lnxx的单调递增区间为 14（5分）已知函数f（x）x3+ax22若函数yf（x）的图象在点P（1，f（1）处的切线的倾斜角为，a的值为 15（5分）已知直线l交椭圆1于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若MBN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l方
4、程为 16（5分）已知函数f（x）xlnxmx2有两个极值点，则实数m的取值范围是 三、简答题17（10分）已知函数（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在0，3上的最大值和最小值18（12分）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2，ABAD（）求证：AO平面BCD；（）求AE与平面ACD所成角的正弦值19（12分）已知抛物线C：y22px（p0）上一点M（3，t）到焦点F的距离为4（1）求t，p的值（2）过焦点F作直线L交抛物线C于A，B两点，交y轴于P点，且，证明：1+2为定值20（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1
5、C1中，BAC90，E是BC中点ABACAA12（）求证：A1B平面AEC1；（）求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值21（12分）已知椭圆的焦距与椭圆的矩轴长相等，且W与的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A，直线l与直线OA（O为坐标原点）垂直，且l与W交于M，N两点（1）求W的方程；（2）求MON的面积的最大值22（12分）已知函数f（x）（x1）2+alnx，（a0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，当f（x1）mx2+1恒成立时，求m的取值范围2019-2020学年内蒙古赤峰二中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）参
6、考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）已知条件p：x1，q：，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案【解答】解：由x1，推出1，p是q的充分条件，由1，得0，解得：x0或x1不是必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题2（5分）抛物线y4x2的焦点坐标是（）A（0，1）B（1，0）CD【分析】把抛物线y4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标【解答】解：抛物线y4x2的标准方程为 x2y，
7、p，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y4x2的方程化为标准形式，是解题的关键3（5分）若函数有极值点，则实数a的取值范围为（）A（1，+）B1，+）C（，1）D（，1【分析】根据题意得f（x）x22x（a2）有两个零点，由判别式大于零，即可得出答案【解答】解：有极值点，f（x）x22x（a2）有两个零点，（2）241（a2）4+4（a2）0，a1，故选：A【点评】本题考查函数的极值，属于中档题4（5分）已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为
8、（）AB3CD【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d|PF|+|PA|AF|，再求出|AF|的值即可【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和故选：A【点评】本小题主要考查抛物线的定义解题5（5分）若函数f（x）kxlnx在区间（1，+）上单调递增，则k的取值范围是（）A（，2B（，1C1，+）D1，+）【分析】求出导函数f（x），由于函数f（x）kxlnx在区间（1，+）单调递增，可得f（x）0在区间（1，+）上恒成立解出
9、即可【解答】解：f（x）k，函数f（x）kxlnx在区间（1，+）单调递增，f（x）0在区间（1，+）上恒成立k，而y在区间（1，+）上单调递减，k1k的取值范围是：1，+）故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题6（5分）已知点A是双曲线（a，b0）右支上一点，F是右焦点，若AOF（O是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e为（）ABC1+D1+【分析】利用已知条件求出A坐标，代入双曲线方程，可得a、b、c，关系，然后求解离心率即可【解答】解：依题意及三角函数定义，点A（ccos，csin），即A（，），代入双曲线方程，可得 b
10、2c23a2c24a2b2，又c2a2+b2，得e24+2，e，故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力7（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（1）1，且 f（x）的导函数f（x），则满足2f（x）x+1的x的集合为（）Ax|1x1Bx|x1Cx|x1或x1Dx|x1【分析】令F（x）2f（x）x，然后根据导数符号研究函数的单调性，从而得到变量x的不等式，解之即可【解答】解：令F（x）2f（x）x则F（x）2f（x）10F（x）在R上单调递增F（1）2f（1）1211，2f（x）x+1F（x）2f（x）x1F（1）即x1故满足2f（x）x+1的x的集合为为x|x1故选：B
11、【点评】本题主要考查了导数的运算，以及构造法的应用，解题的关键是令F（x）2f（x）x后利用单调性解不等式，属于中档题8（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）ABCD【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）（2，0，1），（2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量co
12、s，BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题9（5分）函数f（x）的图象大致是（）ABCD【分析】本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）1可知图象经过（0，1），以及根据当x0，x2时原函数值的符号情况，从而可以进行判定【解答】解：因为f（0）1，说明函数的图象过（0，1），排除D；因为当x2时，2x0，2ex0，所以f（x）0恒成立，即当x2时，函数图象在x轴下方，排除A因为当x0时，2x0，2ex0，所以f（x）0恒成立，即
13、当x0时，函数图象在x轴上方，排除C故选：B【点评】本题主要考查了通过特殊点研究函数的图象，以及函数的图象等基础知识，属于基础题10（5分）若函数f（x）lnx+在区间1，e上最小值为，则实数a的值为（）ABCD非上述答案【分析】由于f（x），x1，e，对a分a1与1ae、ae三类讨论，分别求得f（x）min，利用f（x）min即可求得答案【解答】解：f（x）lnx+，f（x），x1，e，当a1时，f（x）0，f（x）lnx+在区间1，e上单调递增，f（x）minf（1）a与a0矛盾，故a1不成立，a1若1ae，f（x），在区间1，a）上，f'（x）0，函数f（x）单调递减，在区间（a
14、，e上，f'（x）0，函数f（x）单调递增，当xa时，f（x）lnx+在区间1，e上取得极小值f（a），也是最小值，f（x）minf（a）1na+1，解得：a1，e，满足题意；若ae，f（x）0，f（x）lnx+在区间1，e上单调递减，f（x）minf（e）1+，解得：ae与ae矛盾，故a，综上所述，实数a的值为故选：B【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出考查利用导数求函数的极值与最值的应用，考查分类讨论思想与综合运算能力，属于难题11（5分）如图，过抛物线y22px（p0）焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的
15、方程为（）Ay23xBy29xCy2xDy2x【分析】根据过抛物线y22px（p0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|2|BF|，且|AF|3，和抛物线的定义，可得NCB30，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|x，而x1+3，x2+1，且x1x2，即有（3）（1），可求得p的值，即求得抛物线的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|BF|，又|BC|2|BF|，得|BC|2|BN|，NCB30，有|AC|2|AM|6，设|BF|x，则2x+x+36x1，而x1+3，x2+1，且x1
16、x2，（3）（1），解得p得y23x故选：A【点评】此题是个中档题考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算12（5分）已知f（x）lnx+2，若对x1（0，1，x21，1，都有f（x1）g（x2），则a的取值范围为（）A（，2eB（2，2eCD【分析】f（x）lnx+2，若对x1（0，1，x21，1，都有f（x1）g（x2），只需求出g（x）在定义域内的最大值，然后分离参数a，axlnx+ex22x在（0，1恒成立，进而求解；【解答】解：g（x）x（x2），1x0时，g（x）0，0x1时，g（x）0，g（x）m
17、axg（0）2，f（x）lnx+ex2在（0，1恒成立，即axlnx+ex22x在（0，1恒成立，令h（x）xlnx+ex22x（0x1），h（x）lnx+2ex1，h+2e恒成立，h（x）在x（0，1单调递增，又x0时，h（x），h（1）e20，故存在x0（0，1，使得0xx0，h（x）0，x0x1，h（x）0，即h（x0）lnx0+2ex010，解得x0，h（x）minh（）+e（）22，a，故选：D【点评】考查不等式的恒成立，函数的最值，一阶导函数，二阶导函数，二分法，属于较难题目；二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13（5分）函数f（x）lnxx
18、的单调递增区间为（0，1）【分析】先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间【解答】解：函数的定义域是x0，f（x）1令f（x）0得0x1所以函数f（x）lnxx的单调递增区间是（0，1）故答案为：（0，1）【点评】求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间14（5分）已知函数f（x）x3+ax22若函数yf（x）的图象在点P（1，f（1）处的切线的倾斜角为，a的值为2【分析】求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，由直线的斜率公式，解方程可得a的值【解答】解：函数f（x）x3+ax
19、22的导数为f（x）3x2+2ax，可得函数yf（x）的图象在点P（1，f（1）处的切线的斜率为3+2a，由切线的倾斜角为，可得3+2atan1，解得a2，故答案为：2【点评】本题考查导数的几何意义，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题15（5分）已知直线l交椭圆1于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若MBN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l方程为6x5y280【分析】利用重心坐标公式求出弦MN的中点，利用点M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上，利用点差法，求出斜率，即可求出直线l方程【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），又B（0，4），
20、F（2，0），由重心坐标得2，0所以弦MN的中点为（3，2）因为点M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上，所以，作差得4（x1+x2）（x1x2）+5（y1+y2）（y1y2）0，将和代入得k，所以，直线l为：y+2（x3），即6x5y280故答案为：6x5y280【点评】本题考查直线l方程，考查点差法，考查重心坐标公式，属于中档题16（5分）已知函数f（x）xlnxmx2有两个极值点，则实数m的取值范围是（0，）【分析】先求导函数，函数f（x）x（lnxmx）有两个极值点，等价于f（x）lnx2mx+1有两个零点，等价于函数ylnx与y2mx1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的
21、图象由图可求得实数m的取值范围【解答】解：由题意，ylnx+12mx令f（x）lnx2mx+10得lnx2mx1，函数yxlnxmx2有两个极值点，等价于f（x）lnx2mx+1有两个零点，等价于函数ylnx与y2mx1的图象有两个交点，当m时，直线y2mx1与ylnx的图象相切，由图可知，当0m时，ylnx与y2mx1的图象有两个交点，则实数m的取值范围是（0，），故答案为：（0，）【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷三、简答题17
22、（10分）已知函数（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在0，3上的最大值和最小值【分析】（1）求导，判断单调性得出即可；（2）根据（1）的单调性，求出最值即可【解答】解：（1）f'（x）x24（x2）（x+2），当x（，2），（2，+），f'（x）0，f（x）递增，当x（2，2）函数递减，故递增区间为（，2），（2，+），递减区间为（2，2）；（2）由（1）f（x）在0，2递减，2，3递增，由f（0）2，f（2），f（3）1，故当x2时，f（x）最小值为，当x0时，f（x）最大值为2【点评】本题考查函数的单调性和最值的求法，用到导数法，中档题18（12分）如图，在四面体
23、ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2，ABAD（）求证：AO平面BCD；（）求AE与平面ACD所成角的正弦值【分析】（）由已知证明AOBD，求解三角形可得AOOC，再由线面垂直的判定可得AO平面BCD；（）以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD的一个法向量，再求出，由空间向量求解AE与平面ACD所成角的正弦值【解答】（）证明：连接OC，BODO，ABAD，AOBD，BODO，BCCD，COBD，在AOC中，由已知可得OA1，OC，而AC2，AO2+CO2AC2，即AOOC，BDOCO，AO平面BCD；（）以O为坐标
24、原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，0），E（，1），D（1，0，0），设平面ACD的一个法向量为，由，取z，得设AE与平面ACD所成角为，则sin|cos|【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题19（12分）已知抛物线C：y22px（p0）上一点M（3，t）到焦点F的距离为4（1）求t，p的值（2）过焦点F作直线L交抛物线C于A，B两点，交y轴于P点，且，证明：1+2为定值【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，解方程可得p，以
25、及抛物线方程，求得t；（2）求得抛物线的焦点F的坐标，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为xmy+1，求得P的坐标，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，化简整理即可得证【解答】解：（1）抛物线C：y22px的焦点F（，0），准线方程为x，由M（3，t）到焦点F的距离为4，以及抛物线的定义可得3+4，解得p2，抛物线的方程为y24x，t243，则t2；（2）证明：可得抛物线y24x的焦点F（1，0），直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为xmy+1，可得P（0，），联立抛物线方程可得y24my40，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y24m，y1y24，即为（1
26、，）1（x11，y1）2（x21，y2），可得1y12y2，即1，2，则1+2（+）11+2为定值1【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题20（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，E是BC中点ABACAA12（）求证：A1B平面AEC1；（）求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值【分析】（） 连接A1C交AC1于点O，连接EO，易得EOA1B，进而得证；（）建立空间直角坐标系，运用向量公式求解【解答】解：（I） 连接A1C交AC1于点O，连接EO，如图所
27、示，由于四边形ACC1A1为正方形，所以O为A1C中点，又E为CB中点，所以EOA1B，又EO平面AEC1，A1B平面AEC1，A1B平面AEC1；（）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，1，0），设平面AEC1的法向量为，则有，所以，令y1，则x1，z1，所以是平面AEC1的一个法向量，又AC平面ABB1A1，则是平面ABB1A1的一个法向量，则，所以所求余弦值为【点评】本题考查线面平行的判定及利用空间向量求空间角，考查逻辑推
28、理能力及数形结合思想，属于常规题目21（12分）已知椭圆的焦距与椭圆的矩轴长相等，且W与的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A，直线l与直线OA（O为坐标原点）垂直，且l与W交于M，N两点（1）求W的方程；（2）求MON的面积的最大值【分析】（1）由题意可得，进而得到椭圆方程；（2）故可设l的方程为y3x+m联立，得31x218mx+3m2120，根据韦达定理和弦长公式以及点到直线的距离和表示出面积，结合基本不等式即可得到所求最大值【解答】解：（1）由题意可得，故W的方程为（2）联立，得，又A在第一象限，故可设l的方程为y3x+m联立，得31x218mx+3m2120，设M（x1，y1）
29、，N（x2，y2），则，又O到直线l的距离为，则MON的面积，当且仅当m231m2，即，满足0，故MON的面积的最大值为【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查了直线和椭的位置关系，弦长公式，基本不等式求最值的方法，是中档题22（12分）已知函数f（x）（x1）2+alnx，（a0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，当f（x1）mx2+1恒成立时，求m的取值范围【分析】（1）先对函数求导，然后结合a的范围及二次函数的性质讨论导数的正负，进而可判断函数的单调性，（2）结合（1）得，0，x1，x2是2x22x+a0的两个根，然后根据方程的根与系数关系可求
30、x2与x1的关系，利用函数的恒成立与最值的相互转化思想即可求解【解答】解：（1）f（x），令h（x）2x22x+a，48a，当a时，48a0，f（x）0恒成立，函数单调递增，当0时，48a0，令f（x）0可得，x1，x2，令f（x）0可得，0xx1，或xx2，f（x）0可得，x1xx2，综上可得，当a时，函数f（x）在（0，+）单调递增，当0时，f（x）在（0，），（，+）上单调递增，在（，）上单调递减（2）由（1）得，0，x1，x2是2x22x+a0的两个根，x1+x21，x21x1，a2x1（1x1），x1，由f（x1）mx2+1可得，+alnx1mx2+1，m（1x1）+1，1x1+2x1 lnx1 m，令g（x1）（），g（x1），g（x1）0，所以，g（x1）为减函数，所以mln2【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题，注意判别式的应用
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