1、2017-2018学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设a，bR，且ab，则下列判断一定正确的是（）ABa2b2CD|a|b|2（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是（）ABy21Cx21Dy213（5分）在ABC中，已知a，b，B45，那么角A等于（）A30B30或150C60D60或1204（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），点B（1，1），P是动点，且直线AP与BP的斜之积等于，则动点P的轨迹方程为（）Ax23y22Bx23y22（x1）Cx
2、23y22Dx23y22（x1）5（5分）设变量x，y满足线性约束条件，则目标函数z3x+y的最大值是（）A12B11C3D16（5分）已知命题：pq为真，则下列命题是真命题的是（）A（p）（q）B（p）（q）Cp（q）D（p）q7（5分）已知点P是椭圆+1（a2）上的一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且PF1F2的周长为12，则椭圆的离心率为（）ABCD8（5分）在ABC中，三个角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，若，则角A等于（）ABCD9（5分）设xR，则“x24x50”是“x2+6x+50”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件10（5分）设f
3、（n）2+24+27+210+23n+10（nN），则f（n）等于（）ABCD11（5分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，则角B的取值范围是（）A（0，B，）C（0，D，）12（5分）以椭圆上的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x00，y00），满足，则的值为（）AB1C2D4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知an为等差数列，a4+a518，则S8 14（5分）过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点
4、，若x1+x26，则|AB| 15（5分）若命题“对x1，都有”是假命题，则实数a的取值范围是 16（5分）过双曲线的右焦点F作一条直线l，直线l与双曲线相交于A，B两点，若有且仅有三条直线l，使得弦AB的长度恰好等于2，则双曲线离心率的取值范围为 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知等差数列an满足a1+a210，a4a32（）求数列an的通项公式；（）设等比数列bn满足b2a3，b3a7问：b5与数列an的第几项相等？18（12分）在如图所示四边形ABCD中，ADDC，AC5，BC，ADC120，BCD75，求四边形ABCD的面
5、积19（12分）甲乙两地相距100km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：圆）由可变本和固定组成组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元（1）将全程匀速匀速成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）若a400，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？20（12分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l：yk（x+2）（1）若抛物线C和直线l没有公共点，求k的取值范围；（2）若k0，且抛物线C和直线l只有一个公共点M时，求|MF|的值21（12分）已知an为等比数列，其前n项和为Sn，且（1）求a的值
6、及数列an的通项公式；（2）若bn（2n1）an，求数列bn的前n项和Tn22（12分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且（1）求椭圆C的离心率；（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由2017-2018学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共
7、60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设a，bR，且ab，则下列判断一定正确的是（）ABa2b2CD|a|b|【分析】根据特殊值法判断即可【解答】解：令a1，b2，显然B，C，D错误，A正确，故选：A【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题2（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是（）ABy21Cx21Dy21【分析】把曲线的方程化为标准方程，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程【解答】解：A，曲线方程是：，其渐近线方程是0，整理得y2x正确；B，曲线方程是：y21，其渐近线方程是y20，整理得yx错误；C，曲线方程是：
8、x21，其渐近线方程是x20，整理得yx错误；D，曲线方程是：y21，其渐近线方程是y20，整理得yx错误；故选：A【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程3（5分）在ABC中，已知a，b，B45，那么角A等于（）A30B30或150C60D60或120【分析】由已知利用正弦定理可求sinA，利用大边对大角可求A的范围，结合特殊角的三角函数值即可得解【解答】解：a，b，B45，由正弦定理，可得：sinA，ab，可得：A（45，180），A60或120故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角
9、形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题4（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），点B（1，1），P是动点，且直线AP与BP的斜之积等于，则动点P的轨迹方程为（）Ax23y22Bx23y22（x1）Cx23y22Dx23y22（x1）【分析】设P（x，y），结合已知写出直线AP，BP的斜率，由列式求解动点P的轨迹方程【解答】解：设P（x，y），A（1，1），B（1，1），（x1），（x1），由，得（x1）即x23y22（x1）动点P的轨迹方程为x23y22（x1）故选：B【点评】本题考查轨迹方程的求法，训练了由直线上两点坐标求直线的斜率，是中档题5（5分）设变量x，y满足
10、线性约束条件，则目标函数z3x+y的最大值是（）A12B11C3D1【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出变量x，y满足线性约束条件对应的平面区域如图，由z3x+y平移z3x+y，由图象可知当z3x+y经过点B时，直线z3x+y取得最大值，由，得A（3，2）此时z的最大值为z33+211，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义6（5分）已知命题：pq为真，则下列命题是真命题的是（）A（p）（q）B（p）（q）Cp（q）D（p）q【分析】直接利用真值表求出命题的真
11、假【解答】解：利用排除法：已知命题：pq为真，则：p真，q真故：p为假，q为假，所以：A：Pq为，B：（p）（q）为假D：pq为假故选：C【点评】本题考查的知识要点：真值表的应用，真假命题的判断，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型7（5分）已知点P是椭圆+1（a2）上的一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且PF1F2的周长为12，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得c的值，又由PF1F2的周长为12分析可得a+c6，即a+6，解可得a的值，由椭圆的几何性质分析可得c的值，由椭圆的离心率公式分析可得答案【解答】解：根据题意，椭圆+1（a2）中，焦
12、点在x轴上，则c，PF1F2的周长l|PF1|+|PF2|+|F1F2|2a+2c12，即a+c6，则有a+6，解可得：a，则c，则椭圆的离心率e；故选：A【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是由椭圆的性质，用a、c表示PF1F2的周长8（5分）在ABC中，三个角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，若，则角A等于（）ABCD【分析】由正弦定理化简已知等式可得b2+c2a2bc，由余弦定理可得cosA的值，结合范围A（0，），可求A的值【解答】解：，由正弦定理可得：b2a2bcc2，可得：b2+c2a2bc，由余弦定理可得：cosA，A（0，），A故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定
13、理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题9（5分）设xR，则“x24x50”是“x2+6x+50”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】分别解出关于p，q的不等式的解集，从而判断出p，q的关系【解答】解：由x24x50，解得：1x5，故p对应的集合A（1，5），由x2+6x+50，解得：x1或x5，故q对应的集合为B（，5）（1，+）AB，pq，而q推不出p，p是q的充分不必要条件故选：B【点评】本题考查了充分必要条件，考查了解不等式问题，是基础题10（5分）设f（n）2+24+27+210+23n+10（nN），则f（n）等于（）ABCD【分析
14、】首先根据题意分析出f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，然后由等比数列前n项和公式求之即可【解答】解：由题意知，f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，所以f（n）故选：D【点评】本题考查等比数列的定义及前n项和公式11（5分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，则角B的取值范围是（）A（0，B，）C（0，D，）【分析】由a，b，c成等比数列，得b2ac，利用余弦定理、基本不等式可求cosB的范围，由此可得答案【解答】解：a，b，c成等比数列，b2ac，由余弦定理，得cosB，又B（0，），B（0，故选：C【点评】该题考查等比
15、中项、余弦定理以及基本不等式，属基础题，注意利用基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”12（5分）以椭圆上的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x00，y00），满足，则的值为（）AB1C2D4【分析】根据条件可得M在F1PF2的角平分线上，利用内心性质可知M为F1PF2的内心，从而得出结论【解答】解：F1（3，0），F2（3，0），双曲线C的方程为PF1PF22a4，过M作PF1，PF2的垂线MA，MB，则|，|，PAPB，RtPMARtPMB，PM平分F1PF2，设F1PF2的内心坐标为（x，y），则（
16、x+3）（3x）2a4，解得x2，M为F1PF2的内心MAyM1，（PF1PF2）MA2故选：C【点评】本题考查了椭圆与双曲线的性质，平面向量的数量积，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知an为等差数列，a4+a518，则S872【分析】由已知利用等差数列的性质求得a1+a8，代入等差数列的前n项和公式求解【解答】解：在等差数列an中，由a4+a518，得S818472故答案为：72【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础的计算题14（5分）过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x
17、26，则|AB|8【分析】抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|x1+x2+2，由此易得弦长值【解答】解：由题意，p2，故抛物线的准线方程是x1，抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点|AB|x1+x2+2，又x1+x26|AB|x1+x2+28故答案为8【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度15（5分）若命题“对x1，都有”是假命题，则实数a的取值范围是（2+1，+）【分析】若命题“对x1，都有”
18、是假命题，推出x1，都有，进而得到实数a的取值范围【解答】解：若命题“对x1，都有”是假命题，则x1，都有，2+12+1当且仅当x+1，等式成立综上可得：实数a的取值范围是：a2+1，故答案为：（2+1，+）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了基本不等式的应用，难度中档16（5分）过双曲线的右焦点F作一条直线l，直线l与双曲线相交于A，B两点，若有且仅有三条直线l，使得弦AB的长度恰好等于2，则双曲线离心率的取值范围为【分析】求出过焦点且与x轴垂直的直线与双曲线相交的弦长，令弦长小于2即可得出c的范围，从而得出结论【解答】解：双曲线的右焦点为F（c，0），实轴长为2a2，显然x轴所
19、在直线为符合条件的一条直线当A，B均在双曲线右支上时，符合条件的直线有两条，把xc代入双曲线可得ybb2，2b22，即0b1，01，解得1c双曲线的离心率ec的范围是故答案为：【点评】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知等差数列an满足a1+a210，a4a32（）求数列an的通项公式；（）设等比数列bn满足b2a3，b3a7问：b5与数列an的第几项相等？【分析】（）设公差为d的等差数列an，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求；（）设公比为q的等比数
20、列bn，运用等比数列的通项公式可得公比和首项，即可得到所求b5，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求值【解答】解：（）设公差为d的等差数列an满足a1+a210，a4a32，可得2a1+d10，d2，解得a14，则an4+2（n1）2n+2；（）设公比为q的等比数列bn满足b2a3，b3a7，可得b28，b316，则公比q2，b14，则bn42n12n+1，由2n+2b526，解得n31，则b5与数列an的第31项相等【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题18（12分）在如图所示四边形ABCD中，ADDC，AC5，BC，ADC120，BCD
21、75，求四边形ABCD的面积【分析】连接对角线AC，可求ACD的值，由正弦定理，解得AD的值，由已知可求BCA的值，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：由ADDC，得，连接对角线AC，在ADC中，由正弦定理，得，即，解得AD5，在ABC中，BCABCDACD75300450，则【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形面积公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于基础题19（12分）甲乙两地相距100km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：圆）由可变本和固定组成组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元（1）将全程匀
22、速匀速成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）若a400，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？【分析】（1）利用已知条件，通过可变成本是速度平方的倍，列出函数的解析式，写出函数的定义域（2）利用函数的解析式，通过基本不等式转化求解函数的最值即可【解答】解：（1）可变成本为，固定成本为a元，所用时间为，所以，即，定义域为（0，80（2），当且仅当，即v60时，等号成立，所以当v60时，答：当货车以60km/h的速度行驶，全程运输成本最小【点评】本题考查函数的实际应用，基本不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力20（12分）已知抛物线C：y24
23、x的焦点为F，直线l：yk（x+2）（1）若抛物线C和直线l没有公共点，求k的取值范围；（2）若k0，且抛物线C和直线l只有一个公共点M时，求|MF|的值【分析】（1）联立方程，通过0，求解即可（2）当抛物线C和直线l只有一个公共点时，记公共点坐标为M（x0，y0），由0，解得k1或，利用抛物线的性质求解即可【解答】解：（1）联立方程，整理得ky24y+4（2k+1）0，由抛物线C和直线l没有公共点，则0，即16（2k2+k1）0，解得k1或（2）当抛物线C和直线l只有一个公共点时，记公共点坐标为M（x0，y0），由0，即16（2k2+k1）0，解得k1或，因为k0，故k1，将yx1代入y24
24、x得x22x+10，解得x01，由抛物线的定义知：【点评】本题考查仔细与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力21（12分）已知an为等比数列，其前n项和为Sn，且（1）求a的值及数列an的通项公式；（2）若bn（2n1）an，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）当n1时，S1a12+a，利用an是等比数列，求出a，然后求解数列的通项公式（2）化简，利用错位相减法求解数列的和即可【解答】解：（1）当n1时，S1a12+a，当n2时，因为an是等比数列，所以，即a11，a1，所以数列an通项公式为（2）由（1）得，则，2，两式相减可得1+2（2+22+23+2n1）（2n1）2n
25、1+4（2n11）（2n1）2n3+（32n）2n，所以【点评】本题考查数列的应用，数列求和的方法错位相减法的应用，考查转化思想以及计算能力22（12分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且（1）求椭圆C的离心率；（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由【分析】（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b
26、）结合向量条件及向量运算得出关于a，c的等式，从而求得椭圆的离心率即可；（2）由（1）知a，c的一个方程，再利用AQF的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（3）由（）知直线l：yk（x1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点P且m的取值范围【解答】解：（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）知，由于即F1为F2Q中点故b23c2a2c2，故椭圆的离心率，（3分）（2）由（1）知，得于是F2（a，0）Q，AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r|FQ|a所以，解得a2，c1，
27、b，所求椭圆方程为，（6分）（3）由（）知F2（1，0）l：yk（x1）代入得（3+4k2）x28k2x+4k2120设M（x1，y1），N（x2，y2）则，y1+y2k（x1+x22），（8分）（x1+x22m，y1+y2）由于菱形对角线垂直，则故k（y1+y2）+x1+x22m0则k2（x1+x22）+x1+x22m0k2（10分）由已知条件知k0且kR故存在满足题意的点P且m的取值范围是（12分）【点评】当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍
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