2.5.2 形形色色的函数模型 学案（含答案）

1、2.5.2形形色色的函数模型学习目标1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题预习导引1解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原这些步骤用框图表示如图：2数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述解决学生疑难点_题型一用已知函数模型解决问题例1通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后

2、学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f(x)(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5min与开讲后20min比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解(1)当0x10时，f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9.故f(x)在(0,10上单调递增，最大值为f(10)0.1(3)259.959；当1

3、6x30时，f(x)单调递减，f(x)31610759.因此，开讲后10min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6min.(2)f(5)0.1(513)259.959.96.453.5，f(20)3201074753.5f(5)因此，开讲后5min学生的接受能力比开讲后20min强一些(3)当0x10时，令f(x)55，则0.1(x13)24.9，(x13)249.所以x20或x6.但0x10，故x6.当16x30时，令f(x)55，则3x10755.所以x17.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为1761113(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲

4、授完这道难题规律方法解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读理解，审清题意读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题第二步：根据所给模型，列出函数关系式根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答跟踪演练1统计

5、表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？解当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了2.5(小时)，要耗油2.528.75(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油28.75升题型二建立函数模型解决实际问题例2提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度

6、为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)解(1)由题意：得当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201200；当20x200时，f(x)x(200x)x2x(x

7、2200x)(x100)2，所以当x100时，f(x)在区间20,200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时规律方法根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下能够根据原始数据、表格，绘出散点图通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的

8、拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据跟踪演练2某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式：M，Nt，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元(1)写出y关于x的函数表达式；(2)求总利润y的最大值解(1)当甲项目投资x亿元时，获得利润为M(亿元)，此时乙项目投资(3x)亿元，获得利润为N(3x)(亿元)，则有y(3x)，x0,3(2)令t，t0，则xt2，此

9、时yt(3t2)(t1)2.t0，当t1，即x1时，y有最大值.即总利润y的最大值是亿元. 课堂达标1某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A310元B300元C390元D280元答案B解析由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y500x300(x0)，当x0时，y300.2小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是()答案D3某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，

10、2个分裂成4个，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是()Ay2xBy2x1Cy2x Dy2x1答案D解析分裂一次后由2个变成2222个，分裂两次后4223个，分裂x次后y2x1个4长为3，宽为2的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为_答案解析S(3x)(2)6(x)2，x时，Smax.课堂小结1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题2在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求3在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化