1、,第五章 分式与分式方程,章末复习,第五章 分式与分式方程,章末复习,知识框架,归纳整合,素养提升,中考链接,知识框架,【要点指导】分式有意义是解分式方程的前提条件 . 牢记：分母等于零时 , 分式无意义；分母不等于零时 , 分式有意义；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零 . 此部分在中考中多以选择题、填空题的形式出现 .,归纳整合,专题一 分式有意义、无意义和值为零的条件,分析 分式有意义应满足的条件是分母不为零；分式无意义应满足的条件是分母的值为零,例1 当 x 为何值时 , 分式 有意义？当 x 为何值 时 , 分式 无意义？,解: 要使分式 有意义 , 则应满足 ( x + 3)(
2、 x - 4) 0 , 解得 x - 3且 x 4 所以当 x - 3 且 x 4 时 , 分式 有意义 要使分式 无意义 , 则应满足 ( x + 3)( x - 4) = 0 , 解 得 x=- 3且 x = 4 所以当 x =- 3 且 x = 4 时 , 分式 无意义,相关题1 (1)在分式 中 , 当 x =- m时 , ( ) . A 分式的值为零 B 分式无意义 C 且 m 时 , 分式的值为零 D 以上均不正确,( 2 ) 当 x = _时 , 分式 的值为零,C,2,【要点指导】 准确理解分式的基本性质是解决问题的前提 , 利用分式的基本性质对分式变形时 , 分子、分母要同时
3、变化 , 而且分子、分母要作为一个整体变化 , 而不是只针对某一项 .,专题二 分式基本性质的运用,例2 分式 可变形为 ( ) .,分析 根据分式的基本性质 , 分子、分母都乘 ( - 1) , 分式的值不变 , 再 把分子的负号提到分式的前面 . .故选D.,D,相关题2 若分式 中的 x, y 的值都变为原来的 2 倍 , 则此分式的值 ( ) . A 不变 B 是原来的 2 倍 C 是原来的 D 无法确定,C,【要点指导】 分式化简求值的方法和技巧有很多 , 其常规的方法是先运用运算法则或运算律将分式化简 , 然后将未知字母或某一整体的值代入 , 并按照实数的运算法则计算出结果. 化简
4、分式的过程中 , 要特别注意分式加减运算中通分的五个技巧： (1) 统观全局 , 整体通分； (2) 把握特征 , 分组通分； (3) 寻找规律 , 逐项通分； (4) 分解约分 , 简化通分； (5) 拆项化简 , 便于通分 .,专题三 分式的化简与求值,分析 按照分式的混合运算顺序及运算法则 , 先算括号里面的 , 然后将除法运算转化成乘法运算 .,例3 先化简 , 再求值： , 其中 a =- 2 , b = 5.,相关题3 ( 1 ) 先化简 , 再求值 ： , 其中 x = 3 .,( 2 ) 先化简 分式 , 再取一个你喜欢的数作 为 x 的值 , 求出此时分式的值 .,【要点指导
5、】 解分式方程的思路是将分式方程转化为整式方程来解 , 体现了化归思想. 解分式方程的关键是去分母. 通过去分母可以使分式方程转化为整式方程 , 通过解整式方程确定分式方程的解. 和解整式方程不同的是 , 解分式方程可能产生增根 , 因此解分式方程的检验步骤必不可少.,专题四 分式方程的解法,分析 设因为该分式方程的最简公分母是 ( x - 1)( x + 3) , 所以可以在方程两边都乘 ( x - 1)( x + 3) , 将其转化为整式方程 .,例4 解分式方程：,解 方程两边都乘 (x-1)(x+3),得 x(x-1)=(x-1)(x+ 3)+2(x+3). 解这个方程 , 得 x =
6、- 经检验 , x =- 是原方程的根.,相关题4 ( 1 ) 解方程：,( 2 ) 若关于 x 的方程 有增根 , 求 m 的值 .,【要点指导】 分式方程的应用主要是列方程解应用题 , 列分式方程解应用题与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的 , 不同的是因为有了分式的概念 , 表示数与数的相互关系的代数式不再受整式的限制 . 一般地 , 列分式方程解应用题要按下列步骤进行：(1) 审题 , 了 解已知数与所求数各是什么； (2) 设未知数； (3) 找出题目 中包含的等量关系 , 列出分式方程； (4) 解这个分式方程； (5) 检验 , 看解出的根是否满足分式方程
7、, 并且是否符合题意； (6) 写出答案 .,专题五 分式方程的应用,例5 哈尔滨中考 甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务 , 甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用 10 天 , 且甲队单独施工 45 天和乙队单独施工 30 天的工作量相同 (1) 甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？ (2) 若甲、乙两队共同工作了 3 天后 , 乙队因设备检修停止施工 , 由甲队单独继续施工 , 为了不影响工程进度 , 甲队的工作效率提高到原来的 2 倍 , 要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的 2 倍 , 那么甲队需至少再单独施工多少天？,分析 设(1) 设乙队单独完成此项任务需
8、x 天 , 则甲队单独完成此项任务需 ( x + 10) 天 , 所以乙队的工作效率为 , 单独施工 30 天的工作量为 , 甲队的工作效率为 , 单独施工 45 天的工作量 , 根据等量关系构造方程求解 (2) 根据题意有不等关系：甲队的工作量 乙队的工作量 2 . 分别表示出甲、乙两队的工作量构造不等式求解,解 (1) 设乙队单独完成此项任务需x天 , 则甲队单独完成此项任务需(x+10)天,根据题意,得 .解这个方程,得x=20. 经检验,x=20是所列方程的根,且符合题意 . 20+10=30(天) 所以,甲队单独完成此项任务需30天,乙队单独完成此项任务需 20天. (2) 设甲队再
9、单独施工a天,根据题意,得 .解得a3. 所以,甲队需至少再单独施工 3 天,相关题5 ( 1 )小明 7 : 20 离开家步行去上学 , 走到距离家 500 米的商店时 , 买学习用品用了 5 分钟 . 从商店出来 , 小明发现要按原来的速度还要用30 分钟才能到学校 . 为了在8 : 00 之前赶到学校 , 小明加快了速度 , 每分钟平均比原来多走 25 米 , 最后他到校的时间是 7 : 55 . 求小明从商店到学校的平均速度 .,【要点指导】 当题目按常规解法不易求解或不能求解时 , 可以利用整体代入法解题 , 也就是说先把条件和待求的式子进行整理 , 寻求两者相同的部分 , 把相同的
10、部分看作一个整体代入求解.解答的关键是确定合适的整体 , 然后整体代入求值. 在求分式的值时 , 可以恰当运用整体思想 , 把复杂问题简单化 .,素养提升,专题 运用“整体思想”求分式的值,例 若 x2- x - 2020 = 0 , 求分式 的值.,解 x2- x - 2020 = 0 , x2- x = 2020 . 两边同乘 x , 得 x3 x2= 2020 x ,相关题 已知 =2，求 的值.,中考链接,母题1 (教材P109随堂练习第1题 ) 当 x 取什么值时 , 下列分式有意义？,考点：分式的概念 . 考情：求分式有意义的条件和分式值为零的条件 , 此类题单独考查较少 , 多与
11、其他知识综合考查 . 策略：( 1 ) 分式有意义的条件是分式的分母不为零； ( 2 ) 当分式的分母为零时 , 分式无意义； ( 3 ) 分式值为零的条件是分子为零 , 同时分母不为零 .,链接1 武汉中考若分式 在实数范围内有意义 , 则实数 x 的取值范围是 ( ) . A x - 2 B x - 2 C x =- 2 D x - 2,分析 分式 在实数范围内有意义 , x + 2 0 , 解得 x - 2 .,D,链接2 淄博中考若分式 在实数范围内有意义 , 则实数 x 的取值范围是 ( ) . A 1 B - 1 C 1 D 2,分析 分式的值为零 , 应同时满足两个条件：分子等于
12、零、分母不为零 . 即 | x |- 1 = 0 且 x + 1 0 , 所以 x = 1 .,A,母题2 (教材P112随堂练习第2题 ) 化简下列分式：,考点：分式的基本性质 . 考情：分式的基本性质及分式的化简是中考中的一般考点 , 常以选择题、填空题的形式出现 . 策略：解题的关键是分式中分子与分母同时乘( 或除以 ) 同一个不等于零的整式 , 分式的值不变 .,链接3 淄博中考 下列运算错误的是 ( ) .,分析 根据分式的基本性质即可得出答案 .,D,链接4 淄博中考 计算 的结果是_ .,分析 =1-2a.,1-2a,母题3 (教材P124随堂练习第2题 ) 先化简 , 再求值：
13、 ( 1 ) 当 a = 时，求 的值； ( 2 ) 设 x = 3 y, 求 的值.,考点：分式的化简求值 . 考情：分式的混合运算和化简求值是现在各地中考的必考考点 , 能很好地考查学生的计算能力 . 题型多样 , 常与方程、不等式等知识综合考查 . 策略： ( 1 ) 在计算和化简的过程中 , 要特别注意运算顺序：先算乘方 , 再算乘除 , 最后算加减；同一级运算 , 应按从左到右的顺序依次进行；如有括号 , 先算括号里面的 , 一般按照小括号、中括号、大括号的顺序依次进行 . ( 2 ) 在运算过程中 , 要注意运算符号 , 其结果必须化成最简分式或整式 . ( 3 ) 注意分式化简求
14、值中“整体思想”的运用 .,链接5 来宾中考若 a2- ab = 0( b 0) , 则 =（ ） A 0 B C 0 或 D 1 或 2,分析 a 2 - ab = 0( b 0) , a ( a - b ) = 0 , a = 0或 a - b = 0 , 即 a = 0 或 a = b, = 0 或 .,C,分析 先将括号内的式子通分 , 注意 - x + 1 的符号变化 , 注意选取 x 的值时要保证原分式有意义 .,链接6 威海中考 先化简： ，然后从 - x 的范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代入求值,解 满足 - x 的整数有 - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 ,
15、 而x = 1 或 x = 0 时 , 分母或除式的值为 0 , x 只能取 - 2 或 2 . 当 x =- 2 时 , 原式 = ；或当 x = 2 时 , 原式 =- .,分析 先化简 , 再代入计算 , 注意整体代入求值方法的运用 .,链接7 莱芜中考 先化简，再求值： ，其中a满足 a2+ 3a -1= 0,解 = a + 3 a + 2 . a2+ 3 a - 1 = 0 , a2+ 3 a = 1 , 原式 = 1 + 2 = 3 .,母题4 (教材P128习题5.8第1题 ) 解方程：,考点：分式方程的解法 . 考情：分式方程的解法是中考的重要考点 , 题型选择比较灵活 , 选
16、择题、填空题和解答题都有出现 , 一般会独立考查 . 策略：解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程 , 其关键是去掉分式方程中的分母 . 解分式方程的具体过程： ( 1 ) 去分母 , 在方程的两边都乘最简公分母 , 把分式方程化为整式方程；( 2 ) 解这个整式方程； ( 3 ) 验根 .,链接8 连云港中考解方程：,解 方程两边都乘 x ( x - 1) , 得3 x - 2( x - 1) = 0 . 解这个方程 , 得 x =- 2 . 经检验 , x =- 2 是原方程的根 .,解 方程两边都乘 ( x + 1)( x - 1) , 得 3 + ( x + 1)( x - 1
17、) = x ( x + 1) . 解这个方程 , 得 x = 2 . 经检验 , x = 2 是原方程的根 .,链接9 随州中考解分式方程：,分析 先去分母 , 将分式方程转化为整式方程 , 再解整式方程 , 最后注意要检验,母题5 (教材P130习题5.9第1题 ) 利用分式方程解决下列问题： 甲种原料与乙种原料的单价比为 2 3 , 将价值2000 元的甲种原料与价值 1000 元的乙种原料混合后 , 单价为 9 元 , 求甲种原料的单价 .,考点：分式方程的应用 . 考情：分式方程的应用是中考的重要考点 , 题型选择比较灵活 , 选择题、填空题和解答题都有出现 , 一般会独立考查 , 也
18、会和方程组、不等式组、 一次函数等综合考查 . 策略：列分式方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答 . 弄清题意并找出题中的数量关系是解题的关键 .,链接10 宜宾中考我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产 300 万部智能手机的订单 , 为了尽快交货 , 增开了一条生产线 , 实际每月生产能力比原计划提高了50% , 结果比原计划提 前 5 个月完成交货 , 求实际每月生产智能手机多少万部 .,解 设原计划每月生产智能手机 x 万部 , 则实际每月生产智能手机 (1 + 50 % ) x 万部 , 根据题意 , 得 解这个方程 , 得 x = 20 . 经检验 , x = 20
19、 是原方程的解 , 且符合题意 . (1 + 50 % ) x = 30 . 所以 , 实际每月生产智能手机 30 万部,链接11 泰安中考端午节是我国的传统节日 , 人们素有吃粽子的习俗 . 某商场在端午节来临之际 , 用 3000 元购进 A , B 两种粽子 1100 个 , 购买 A 种粽子与购买 B 种粽子的费用相同 . 已知 A 种粽子的单价是 B 种粽子单价的 1 . 2 倍 . (1) 求 A , B 两种粽子的单价各是多少； (2) 若计划用不超过 7000 元的资金再次购进 A , B 两种粽子共 2600 个 , 已知 A , B 两种粽子的进价不变 , 求 A 种粽子最
20、多能购进多少个 .,分析 (1) 设 B 种粽子的单价为 x 元 / 个 , 则 A 种粽子的单价为 1 . 2 x 元 / 个 , 根据“数量 = 总价单价”结合用 3000 元购进 A , B 两种粽子 1100 个 , 即可得出关于 x 的分式方程 , 解之经检验后即可得出结论； (2) 设购进 A 种粽子 m 个 , 则购进 B 种粽子(2600 - m ) 个 , 根据总价 = 单价 数量结合总价不超 7000 元 , 即可得出关于 m 的一元一次不等式 , 解取其中的最大值即可得出结论 .,解 (1) 设 B 种粽子的单价为 x 元 / 个 , 则 A 种粽子的单价为 1 . 2 x 元 / 个 , 根据题意 , 得 = =1100. 解这个方程 , 得 x = 2 . 5 . 经检验 , x = 2 . 5 是原方程的解 , 且符合题意 . 2.51.2 = 3(元/个) . 所以 , A 种粽子的单价为 3 元 / 个 , B 种粽子的单价为 2 . 5 元/个 . (2) 设购进 A 种粽子 m 个 , 则购进 B 种粽子 (2600 - m ) 个 , 根据题意 , 得 3 m + 2 . 5(2600 - m ) 7000 . 解得 m 1000 . 所以 , A 种粽子最多能购进 1000 个 .,谢 谢 观 看！,
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