2020年北师大版九年级上册数学《第1章特殊的平行四边形》单元测试卷（解析版）

1、2020年北师大版九年级上册数学第1章 特殊的平行四边形单元测试卷一选择题（共10小题）1已知菱形ABCD中，ADC120，N为DB延长线上一点，E为DA延长线上一点，且BNDE，连CN、EN，点O为BD的中点，过O作OMAB交EN于M，若OM，AE1，则AB的长度为（）AB2CD +32如图，在ABCD中，对角线ACAB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：OEOA；EFAC；E为AD中点，正确的有个（）A0B1C2D33下列说法中，错误的是（）A如果一个四边形绕对角线的交点旋转90后，所得的图形能与原

2、图形重合，那么这个四边形是正方形B在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形C在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形D两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形4如图，AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，且AD交EF于点O，则AOF为（）A60B90C100D1105在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且BEBC，DEDC，CE交BD于F，下列结论：BD平分CDE；2AB+EF4AD；（1）CDDE；CF：AE（+1）：1其中正确的是（）ABCD6如图，矩形OABC的顶点O与原点重合，点A，

3、C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为（5，4），点D为边BC上一动点，连接OD，若线段OD绕点D顺时针旋转90后，点O恰好落在AB边上的点E处，则点E的坐标为（）A（5，3）B（5，4）C（5，）D（5，2）7如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点若AC2，AEO120，则EF的长度为（）A1B2CD8如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设PAD1，PBA2，PCB3，PDC4，若APB80，CPD50，则（）A（1+4）（2+3）30B（2+4）（1+3）40C（1+2）（3+4）70D（1+2）+（3+4）1809如图，已知A

4、BCDED，ADEB，BEDE，垂足为E，使四边形ABCD为矩形，可添加的一个条件是（）AA90BEBDADBCC90DDBC3010如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，ADBC，ACBD，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是（）AADBCBABCDCDABABCDDABDCB二填空题（共8小题）11三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知AOBAOE90，菱形的较短对角线长为2cm若点C落在AH的延长线上，则ABE的周长为 cm12已知菱形ABCD的边长为，ABC120，如果点T是菱形内一点，且TBTD2，那么AT的长为 13在矩形ABCD中，ABC的平分线交边A

5、D于点E，BED的平分线交直线CD于点F若AB3，CF1，则BC 14如图，已知矩形ABCD的边AB3，AD8，顶点A、D分别在x轴、y轴上滑动，在矩形滑动过程中，点C到原点O距离的最大值是 15如图，直角三角形ABC中，ACB90，AC3，BC4，点D是AB上的一个动点，过点D作DEAC于E点，DFBC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为 16如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，7），则点A的坐标为 17如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE平分ODA交OA于点E，若AB2+，则线段OE的长为 18如图，正方形ABCD的各边分别平行于x轴或者y轴，蚂

6、蚁甲和蚂蚁乙都由点（3，0）出发，同时沿正方形ABCD的边做环绕运动，蚂蚁甲按顺时针方向以3个单位长度秒的速度做匀速运动，蚂蚁乙按逆时针方向以1个单位长度秒的速度做匀速运动，则两只蚂蚁出发后第三次相遇点的坐标是 三解答题（共8小题）19如图，在菱形ABCD中，DAB与ABC的度数比为1：2，周长是48cm求：AC和BD的长度20如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC16cm，BD12cm（1）求菱形ABCD的边长；（2）求菱形ABCD的高DM21如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且BEBC（1）EC平分BED吗？证明你的结论（2）若AB1，ABE45，求BC的长22如图，A，B，C，D为

7、矩形的四个顶点，AB4cm，AD2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止（1）求四边形PBCQ的面积；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？23如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OAOB（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB2，AOB60，求BC的长24如图，在ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若AB6，BC4，DAB60，求四边形EFGH的面积25如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，AF平

8、分DAE，DFAE，AF与CD相交于点G（1）如图1，当AEC120，AE4时，求FG的长；（2）如图2，在AB边上截取点H，使得DHAE，DH与AF、AE，分别交于点M、N，求证：AEAH+DG26在正方形ABCD中，BD为正方形对角线，E，F是BD上两点，BE3，EF5，DF4，求BAE+DCF的度数2020年北师大版九年级上册数学第1章 特殊的平行四边形单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1已知菱形ABCD中，ADC120，N为DB延长线上一点，E为DA延长线上一点，且BNDE，连CN、EN，点O为BD的中点，过O作OMAB交EN于M，若OM，AE1，则AB的长度为（）AB

9、2CD +3【分析】解法1：连接CM，CO，CE，判定EDCNBC，即可得到DCEBCN，ECNC，进而得出ECN为等边三角形，依据CMOCED，CDECOM120，可得CDECOM，再根据相似三角形的性质，即可得到AD，AB的长解法2：延长BD至F，使得DFBNDE，连接EF，延长CD交EF于G，利用三角形中位线定理可得EF的长，依据等腰三角形的性质，即可得到EG的长，再根据DEG30，即可得到DE的长，进而得出AD的长【解答】解：如图，连接CM，CO，CE，菱形ABCD中，ADC120，N为DB延长线上一点，ADCNBC120，CDCB，而DEBN，EDCNBC（SAS），DCEBCN，E

10、CNC，又DCE+ECB60，BCN+ECB60，ECN60，ECN为等边三角形，CNM60，CNM+COM180，M，N，O，C四点共圆，CNBCMO，又CNBCED，CMOCED，又CDECOM120，CDECOM，即，解得DE1+，又AE1，ADAB，解法2：如图，延长BD至F，使得DFBNDE，连接EF，延长CD交EF于G，则EDG18012060，FDGCDB60，DG平分EDF，DGEF，OMAB，EFCD，ABCD，OMEF，又O是BD的中点，DFBN，O是FN的中点，M是EN的中点，FE2OM3+，GE，又DEG30，RtDEG中，DE+1，ADDEAE，AB，故选：C【点评】

11、本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理以及菱形的性质的综合运用，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形2如图，在ABCD中，对角线ACAB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：OEOA；EFAC；E为AD中点，正确的有个（）A0B1C2D3【分析】由在ABCD中，O为AC的中点，易证得四边形AFCE是平行四边形；然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求得答案【解答】解：四边形ABCD

12、是平行四边形，ADBC，AEOCFO，O为AC的中点，OAOC，在AOE和COF中，AOECOF（AAS），OEOF，四边形AFCE是平行四边形；OEOA，ACEF，四边形AFCE是矩形；故错误；EFAC，四边形AFCE是菱形；故正确；ACAB，ABCD，ACCD，E为AD中点，AECEAD，四边形AFCE是菱形；故正确故选：C【点评】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质首先证得四边形AFCE是平行四边形是解决问题的关键3下列说法中，错误的是（）A如果一个四边形绕对角线的交点旋转90后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形B在一个平行四边形中，如果

13、有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形C在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形D两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形【分析】依据正方形的判定方法、菱形的判定方法，即可得出结论【解答】解：A如果一个四边形绕对角线的交点旋转90后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形，本选项正确；B在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形，本选项正确；C在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形不一定是菱形，本选项错误；D两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形，本选项正确；故选：C【点评】本题主要考查了正方形的判

14、定方法、菱形的判定方法，解题时注意：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形4如图，AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，且AD交EF于点O，则AOF为（）A60B90C100D110【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形AEDF为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出13，故可得出AEDF为菱形，根据菱形的性质即可得出结论【解答】解：DEAC，DFAB，四边形AEDF为平行四边形，OAOD，OEOF，23，AD是ABC的角平分线，12，13，AEDEAEDF为菱形ADEF，即AOF90故选：B【点评】本题考查的是菱形的判定与性质，根据题意判断出

15、四边形AEDF是菱形是解答此题的关键5在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且BEBC，DEDC，CE交BD于F，下列结论：BD平分CDE；2AB+EF4AD；（1）CDDE；CF：AE（+1）：1其中正确的是（）ABCD【分析】如图1中，作BMCD于M，BNDE于N，由BCMBEN，推出BMBN，由BMCD，BNDE，可得BDNBDM，故正确，如图2中，延长ED交CG的延长线于K，作DHEC于H易证DAEDGK，可得DEDK，设ADDGa，则BCBECF2a，通过计算即可一一判断【解答】解：如图1中，作BMCD于M，BNDE于NBMDMDNN90，四边形BMDN是矩形，MBN

16、CBA90，CBMEBN，BCBE，BMCN，BCMBEN，BMBN，BMCD，BNDE，BDNBDM，故正确，如图2中，延长ED交CG的延长线于K，作DHEC于H易证DAEDGK，可得DEDK，CDEK，CECK，DCKDCE22.5，易证KAEDCEDEFDCBF67.5，DEDF，HFHE，BCCF，易证DEADEH，AEEHHF，设ADDGa，则BCBECF2a，EC2a，EF2a2a，AEEHHFaa，2AB+EF2（2a+aa）+2a2a4a4AD，故正确，（1）CD（1）a，DEa，（1）CDDE，故正确，2（+1），故错误，故选：B【点评】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判

17、定和性质、角平分线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题6如图，矩形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为（5，4），点D为边BC上一动点，连接OD，若线段OD绕点D顺时针旋转90后，点O恰好落在AB边上的点E处，则点E的坐标为（）A（5，3）B（5，4）C（5，）D（5，2）【分析】先判定DBEOCD，可得BDOC4，设AEx，则BE4xCD，依据BD+CD5，可得4+4x5，进而得到AE3，据此可得E（5，3）【解答】解：由题可得，AOBC5

18、，ABCO4，由旋转可得，DEOD，EDO90，又BOCD90，EDB+CDO90COD+CDO，EDBDOC，DBEOCD（AAS），BDOC4，设AEx，则BE4xCD，BD+CD5，4+4x5，解得x3，AE3，E（5，3），故选：A【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的运用，解题时注意：全等三角形的对应边相等7如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点若AC2，AEO120，则EF的长度为（）A1B2CD【分析】先根据矩形的性质，推理得到EDO30，再根据RtDOE求得OE的长，即可得到EF的长【解答】

19、解：AEO120，DOE90，EDO30，又AC2，DOBDAC，RtDOE中，OEtan30DO1，同理可得，RtBOF中，OF1，EF2，故选：B【点评】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分8如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设PAD1，PBA2，PCB3，PDC4，若APB80，CPD50，则（）A（1+4）（2+3）30B（2+4）（1+3）40C（1+2）（3+4）70D（1+2）+（3+4）180【分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得2110，4340，两式相减即可得到（1+4）（2+3）30【解答

20、】解：矩形ABCD，BADBCD90，BAP901，DCP903，ABP中，901+2+80180，即2110，DCP中，903+4+50180，即4340，由，可得（43）（21）30，即（1+4）（2+3）30，故选：A【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角9如图，已知ABCDED，ADEB，BEDE，垂足为E，使四边形ABCD为矩形，可添加的一个条件是（）AA90BEBDADBCC90DDBC30【分析】当C90时，即可判定BCDBED（HL），依据BCAD，ABCD，即可得出四边形ABCD是平行四边形，再根据C90，即可得

21、到四边形ABCD是矩形【解答】解：当A90或EBDADB或DBC30时，不能得到四边形ABCD为矩形；当C90时，BEDE，CE90，又BDBD，CDED，BCDBED（HL），BCBE，又ADEB，BCAD，又ABCD，四边形ABCD是平行四边形，又C90，四边形ABCD是矩形，故选：C【点评】本题主要考查了矩形的判定，解题时注意运用：有一个角是直角的平行四边形是矩形10如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，ADBC，ACBD，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是（）AADBCBABCDCDABABCDDABDCB【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的

22、四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，依据矩形的判定进行判断即可【解答】解：A当ADBC，ADBC时，四边形ABCD是平行四边形，再依据ACBD，可得四边形ABCD是矩形；B当ABCD，ADBC时，四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形；C当DABABC，ADBC时，DABCBA90，再根据ACBD，可得ABDBAC，进而得到ADBC，即可得到四边形ABCD是矩形；D当DABDCB，ADBC时，ABC+BCD180，即可得出四边形ABCD是平行四边形，再依据ACBD，可得四边形ABCD是矩形；故选：B【点评】本题主要考查了矩形的判定，证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边

23、形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形二填空题（共8小题）11三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知AOBAOE90，菱形的较短对角线长为2cm若点C落在AH的延长线上，则ABE的周长为12+8cm【分析】连接IC，连接CH交OI于K，则A，H，C在同一直线上，CI2，根据COH是等腰直角三角形，即可得到CKO90，即CKIO，设CKOKx，则COIOx，IKxx，根据勾股定理即可得出x22+，再根据S菱形BCOIIOCKICBO，即可得出BO2+2，进而得到ABE的周长【解答】解：如图所示，连接IC，连接

24、CH交OI于K，则A，H，C在同一直线上，CI2，三个菱形全等，COHO，AOHBOC，又AOBAOH+BOH90，COHBOC+BOH90，即COH是等腰直角三角形，HCOCHO45HOGCOK，CKO90，即CKIO，设CKOKx，则COIOx，IKxx，RtCIK中，（ xx）2+x222，解得x22+，又S菱形BCOIIOCKICBO，x22BO，BO2+2，BE2BO4+4，ABAEBO4+2，ABE的周长4+4+2（4+2）12+8，故答案为：12+8【点评】本题主要考查了菱形的性质，解题时注意：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积

25、等于两条对角线长的乘积的一半12已知菱形ABCD的边长为，ABC120，如果点T是菱形内一点，且TBTD2，那么AT的长为2或4【分析】由菱形的性质可得ABOABC60，ACBD，AOCO，BODO，由线段垂直平分线的判定可得点T在AC上，由勾股定理可求OT的长，依据点T可能在BD的两侧，分两种情况进行讨论，可求AT的长【解答】解：如图所示，连接AC，BD交于点O，菱形ABCD的边长为，ABC120，BD，BODO，AO3，TBTD2，点T在AC上，RtBOT中，TO1，当T在AO上时，ATAOTO312；当T在CO上时，ATAO+TO3+14；综上所述，AT2或4，故答案为：2或4【点评】本

26、题主要考查了菱形的性质和线段垂直平分线的性质，分情况讨论，利用勾股定理求OT的长是解决问题的关键13在矩形ABCD中，ABC的平分线交边AD于点E，BED的平分线交直线CD于点F若AB3，CF1，则BC+1或41【分析】当点F交在CD上时，如图1所示，由角平分线得ABECBE，平行线ADBC得ABEBEA，可证明ABAE3，BE3；同理可得BEBG，因DEFCFG可求出ED2x，最后矩形的性质和线段的和差可求出BC2+1； 当点F交在CD的延长线时，如图2所示，同理可得BC41【解答】解：延长EF交BC点G，设CGx，如图1所示：B的角平分线BE与AD交于点E，ABECBE45，又ADBC，C

27、BEBEA，GDEFABEBEA，ABAE，又AB3，AE3，EF平分BED，BEGDEF又，GDEF，BEGGBGBE在Rt三角形ABE中，由勾股定理得：BE3，BG，在DEF和CFG中，DEFCFG（AA），又CF1，CF+DFCDAB，DF2，ED2x，又ADBC，ADAE+DE，BC3+2x，又BGBC+CG，BG3+2x+x3+3x，3+3x3，xBC2+1，延长EH交DC的延长线于点F，设CHy，如图2所示：四边形ABCD是矩形，ADBC23，CBEAEB，又BF平分BED，12，13，BEBH，又BE是ABC的角平分线，ABECBE，ABEAEB，ABAE，在RtABE中，AB3

28、，由勾股定理得：，BH；又CHED，FCHFDE，又CF1，CHy，DE4y，又ADBC，ADAE+DE，BCBH+CH，3+4y，解得：y，BC；故答案为2+1或【点评】本题综合考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质和勾股定理等相关知识，重点是掌握矩形的性质，角平分线和平行线的性质综合运用构建等腰三角形，难点是作辅助线，根据等腰三角形两腰相等或矩形的对边相等建立方程14如图，已知矩形ABCD的边AB3，AD8，顶点A、D分别在x轴、y轴上滑动，在矩形滑动过程中，点C到原点O距离的最大值是9【分析】取AD的中点E，连接OE，CE，OC，求

29、得CE5，OE4，再根据OCCE+OE9，即可得到点C到原点O距离的最大值是9【解答】解：如图，取AD的中点E，连接OE，CE，OC，AOD90，RtAOD中，OEAD4，又ADC90，ABCD3，DE4，RtCDE中，CE5，又OCCE+OE9，OC的最大值为9，即点C到原点O距离的最大值是9，故答案为：9【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半15如图，直角三角形ABC中，ACB90，AC3，BC4，点D是AB上的一个动点，过点D作DEAC于E点，DFBC于F点，连接EF，则线段EF

30、长的最小值为2.4【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EFCD，再根据垂线段最短可得CDAB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可【解答】解：如图，连接CDACB90，AC3，BC4，AB5，DEAC，DFBC，ACB90，四边形CFDE是矩形，EFCD，由垂线段最短，可得当CDAB时，CD最短，即线段EF的值最小，此时，SABCBCACABCD，即435CD，解得CD2.4，线段EF长的最小值为2.4故答案为：2.4【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CDAB时，线段EF的值

31、最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程16如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，7），则点A的坐标为（4，3）【分析】作ADx轴于D，AEy轴于E，BFAE于F，证明BAFOAD，根据全等三角形的性质得到BFOD，AFAD，根据题意列式计算即可【解答】解：作ADx轴于D，AEy轴于E，BFAE于F，则四边形EODA是矩形，EAD90，又BAO90，BAFOAD，在BAF和OAD中，BAFOAD，BFOD，AFAD，点B的坐标是（1，7），解得，OD4，AD3，点A的坐标为（4，3）【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理

32、和性质定理是解题的关键17如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE平分ODA交OA于点E，若AB2+，则线段OE的长为1【分析】先过E作EHAD于H，设OEx，则EHAHx，AE+1x，根据RtAEH中AEH45，即可得到线段OE的长【解答】解：如图，过E作EHAD于H，则AEH是等腰直角三角形，AB2+，AOB是等腰直角三角形，AOABcos45（2+）+1，DE平分ODA，EODO，EHDH，OEHE，设OEx，则EHAHx，AE+1x，等腰RtAEH中，AEH45，cosAEH，即，解得x1，线段OE的长为1故答案为：1【点评】此题考查正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线

33、构造等腰直角三角形，运用特殊角的三角函数值进行计算18如图，正方形ABCD的各边分别平行于x轴或者y轴，蚂蚁甲和蚂蚁乙都由点（3，0）出发，同时沿正方形ABCD的边做环绕运动，蚂蚁甲按顺时针方向以3个单位长度秒的速度做匀速运动，蚂蚁乙按逆时针方向以1个单位长度秒的速度做匀速运动，则两只蚂蚁出发后第三次相遇点的坐标是（0，3）【分析】根据两只蚂蚁运动速度和正方形周长，得到两只蚂蚁的相遇时间间隔，进而得到两只蚂蚁相遇的位置规律【解答】解：由已知，正方形周长为4624，甲、乙速度分别为3单位/秒，1单位/秒，则两只蚂蚁每次相遇时间间隔为6秒，则两只蚂蚁相遇点依次为（0，3）、（3，0）、（0，3），

34、故答案为：（0，3）【点评】本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解答关键是找到两只蚂蚁相遇的位置的变化规律三解答题（共8小题）19如图，在菱形ABCD中，DAB与ABC的度数比为1：2，周长是48cm求：AC和BD的长度【分析】首先根据菱形的性质可得菱形的边长为48412cm，然后再证明ABD是等边三角形，进而得到BDAB12cm，然后再根据勾股定理得出AO的长，进而可得AC的长即可【解答】解：菱形ABCD的周长为48cm，菱形的边长为48412cmDAB与ABC的度数比为1：2，ABC+BAD180（菱形的邻角互补），ABC120，BAD60，ABD是等边三角形，BDAB12cm，菱

35、形ABCD对角线AC、BD相交于点O，AOCO，BODO且ACBD，AO6（cm），AC12（cm）【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的周长计算，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角20如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC16cm，BD12cm（1）求菱形ABCD的边长；（2）求菱形ABCD的高DM【分析】（1）直接利用菱形的性质结合勾股定理得出其边长即可；（2）利用菱形的面积公式即可求出答案【解答】解：（1）菱形ABCD的对角线交于点O，AC16cm，BD12cm，AOCO8cm，BODO6cm，菱形的边长AB为：10（cm）；（2

36、）由题意可得：ABDM1612，菱形的高DM9.6cm【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，掌握菱形对角线垂直且互相平分是解题关键21如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且BEBC（1）EC平分BED吗？证明你的结论（2）若AB1，ABE45，求BC的长【分析】（1）由矩形的性质得出DECECB，由BEBC得出ECBBEC，即可得出DECBEC，结论得证；（2）求出AEAB1，根据勾股定理求出BE即可【解答】解：（1）EC平分BED，证明如下：四边形ABCD是矩形，ADBC，DECBCE，BEBC，BECBCE，BECDEC，EC平分BED（2）四边形ABCD是矩形，A90，ABE4

37、5，ABEAEB45，AEAB1，由勾股定理得：BE，BCBE【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，证出DECECB是解决问题（1）的关键22如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB4cm，AD2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止（1）求四边形PBCQ的面积；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？【分析】（1）设运动时间为t，则APt，CQt，根据矩形的面积公式即可得到结论；（2）设P、Q两点从出发开始到t秒时，点P、Q、D

38、组成的三角形是等腰三角形，求得CQt，DQ4t，当PQDQ4t时，当PQPD时，当DQPD时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论【解答】解：（1）设运动时间为t，则APt，CQt，四边形ABCD是矩形，CDAB4cm，BCAD2cm，BC90，BP4t，四边形PBCQ的面积（PB+CQ）BC424（cm）2；（2）设P、Q两点从出发开始到t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形，CQt，DQ4t，当PQDQ4t时，如图1，过P作PHDQ于H，则PHAD2，DHAPt，CQt，HQ42t，PH2+HQ2PQ2，22+（42t）2（4t）2，解得：t2，t，当PQPD时，如图2，过P作PH

39、DQ于H，则PHAD2，DHAPHQt，CQt，HQ42t，42tt，t，当DQPD时，DQ4t，PDDQ4t，AP2+AD2PD2，t2+22（4t）2，t，综上所述，当t2秒或t秒或t秒或t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，分类思想的运用是解题的关键23如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OAOB（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB2，AOB60，求BC的长【分析】（1）证法一就根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”由OAOBOCOD得ACBD，所以四边形ABCD是矩形；证法二则是根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”由，得ABD是以BAD为直角的直角三角形，得BAD90，根据矩形的定义知，四边形ABCD是矩形；（2）由题意知OAOB，AOB60AOB是等边三角形，易知AC4，根据勾股定理，有AB2+BC2AC