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    2018-2019学年广东省汕头市达二校联考高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

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    2018-2019学年广东省汕头市达二校联考高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

    1、2018-2019学年广东省汕头市达濠华侨中学、东厦中学高二(上)期末数学试卷(理科)一、单选题(每小题5分,共60分)1(5分)已知集合Ax|x2n1,nN,Bx|2x6,则AB()A1,3,5B1,1,3,5C1,5D(2,6)2(5分)已知函数f(x)Asin(x+)(0,0)的部分图象如图所示,则实数的值为()AB1C2D43(5分)等差数列an的前n项和为Sn,且S515,a2+a52,则公差d等于()A5B4C3D24(5分)已知直线l1;2x+y20,l2:ax+4y+10,若l1l2,则a的值为()A8B2CD25(5分)在下列四个正方体中,能得出ABCD的是()ABCD6(5

    2、分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是()A若mn,m,n,则B若m,n,则mnC若m,n,则mnD若mn,m,n,则7(5分)已知抛物线y22px上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,则该抛物线的准线方程为()Ax8Bx8Cx4Dx48(5分)若椭圆1与双曲线1有相同的焦点F1、F2,P是这两条曲线的一个交点,则F1PF2的面积是()A4B2C1D9(5分)椭圆:(ab0),左右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,若直线与椭圆交于M点,满足MF1F22MF2F1,则离心率是()ABCD10(5分)在如图的平面图形中,已知OM1,ON2,MON120,2,2,则的值为(

    3、)A15B9C6D011(5分)圆:x2+y2+2ax+a290和圆:x2+y24by1+4b20有三条公切线,若aR,bR,且ab0,则的最小值为()A1B3C4D512(5分)已知定义在R上的函数yf(x)对任意的x都满足f(x+1)f(x),当1x1时,f(x)x3,若函数g(x)f(x)loga|x|至少6个零点,则a取值范围是()ABCD二、填空题(每小题5分,共20分)13(5分)抛物线x28y的焦点到准线的距离是   14(5分)过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是   15(5分)已知下列命题:若直线l与平面内的一条直线平行,则l;命题“x(1,+),2

    4、x11”的否定是“x0(1,+),”;已知aR,则“a3”是“a29”的充分而不必要条件其中正确的命题是   (填序号)16(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为   三、解答题(共70分)17(10分)已知圆C:(x1)2+y29内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程; (写一般式)(2)当直线l的倾斜角为45时,求弦AB的长18(12分)在ABC中,a,b,c分别是A、B、C的对边,且bsinAcosB(1)求B的大小;(2)若b3,sinC2sinA,求a及c19(12分)已知数列an满足an+12

    5、an1(nN+),a12()求证:数列an1为等比数列,并求数列an的通项公式;()求数列nan的前n项和Sn(nN+)20(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PC底面ABCD,ABCD是直角梯形,ABAD,ABCD,AB2AD2CD2E是PB的中点()求证:平面EAC平面PBC;()若二面角PACE的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值21(12分)椭圆的离心率为,长轴端点与短轴端点间的距离为()求椭圆C的方程;()过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于两点E,F,O为坐标原点,若OEF为直角三角形,求直线l的斜率22(12分)设函数f(x)x2+(m2)x+2m(1)若y|f(x

    6、)|在1,0上是减函数,求实数m的取值范围;(2)是否存在整数a,b,使得af(x)b的解集恰好是a,b,若存在,求出a,b的值;若不存在,说明理由2018-2019学年广东省汕头市达濠华侨中学、东厦中学高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、单选题(每小题5分,共60分)1(5分)已知集合Ax|x2n1,nN,Bx|2x6,则AB()A1,3,5B1,1,3,5C1,5D(2,6)【分析】进行交集的运算即可【解答】解:Ax|x2n1,nN,Bx|2x6,AB1,1,3,5故选:B【点评】考查描述法、列举法的定义,以及交集的运算2(5分)已知函数f(x)Asin(x+)(0,0)的

    7、部分图象如图所示,则实数的值为()AB1C2D4【分析】由三角函数f(x)的部分图象求出T的值,再计算的值【解答】解:由函数f(x)Asin(x+)(0,0)的部分图象知,T4(+),2,即的值为2故选:C【点评】本题考查了三角函数f(x)Asin(x+)的图象与性质的应用问题,是基础题3(5分)等差数列an的前n项和为Sn,且S515,a2+a52,则公差d等于()A5B4C3D2【分析】利用等差数列前n项和公式、通项公式列出方程组,由此能求出公差【解答】解:等差数列an的前n项和为Sn,且S515,a2+a52,解得a33,d4故选:B【点评】本题考查公差的求法,是基础题,解题时要认真审题

    8、,注意等差数列的性质的合理运用4(5分)已知直线l1;2x+y20,l2:ax+4y+10,若l1l2,则a的值为()A8B2CD2【分析】由直线方程分别求出l1、l2的斜率,再由l1l2得斜率之积为1,列出方程并求出a的值【解答】解:由题意得,l1:2x+y20,l2:ax+4y+10,则直线l1的斜率是2,l2的斜率是,l1l2,()(2)1,解得a2,故选:D【点评】本题考查直线垂直的条件应用,属于基础题5(5分)在下列四个正方体中,能得出ABCD的是()ABCD【分析】利用空间中线线间、线面间的位置关系及线线角定义直接求解【解答】解:如下图:在中,BECD,AECD,BEAEE,CD平

    9、面ABE,AB平面ABE,ABCD,故正确;在中,CDAE,ABE是等边三角形,AB与CD异面,且所成角为60,故错误;在中,CDBE,ABE45,AB与CD异面,且所成角为45,故错误;在中,CDBE,tanABE,AB与CD异面,且不垂直,故错误故选:A【点评】本题考查线线垂直的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题6(5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是()A若mn,m,n,则B若m,n,则mnC若m,n,则mnD若mn,m,n,则【分析】选项A,根据面面垂直的判定定理进行判定,选项B列举出所有可能,选项C根据面面

    10、平行的性质进行判定,选项D列举出所以可能即可【解答】解:选项A,若mn,m,n,则,该命题不正确,mn,m,n;选项B,若m,n,则mn,该命题不正确,m,n,m与n没有公共点,则也可能异面;选项C,根据m,则m,而n则mn,则该命题正确;选项D,若mn,m,n,则,该命题不正确,mn,m,n,与平行或相交故选:C【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系,同时考查了推理能力,属于基础题7(5分)已知抛物线y22px上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,则该抛物线的准线方程为()Ax8Bx8Cx4Dx4【分析】由题意得:抛物线焦点为F(,0),准线方程为x因为点M(1,m)到其焦点的

    11、距离为5,所以点M到抛物线的准线的距离为:,从而得到p8,得到该抛物线的准线方程【解答】解:抛物线方程为y22px抛物线焦点为F(,0),准线方程为x又点M(1,m)到其焦点的距离为5,p0,根据抛物线的定义,得,p8,所以准线方程为x4故选:D【点评】本题给出一个特殊的抛物线,在已知其上一点到焦点距离的情况下,求准线方程着重考查了抛物线的定义和标准方程,以及抛物线的基本概念,属于基础题8(5分)若椭圆1与双曲线1有相同的焦点F1、F2,P是这两条曲线的一个交点,则F1PF2的面积是()A4B2C1D【分析】不妨设P为双曲线右支上的点,由椭圆的定义可得,PF1+PF24,由双曲线的定义,可得,

    12、PF1PF22,解方程,再判断三角形PF1F2为直角三角形,由面积公式即可得到【解答】解:不妨设P为双曲线右支上的点,由椭圆的定义可得,PF1+PF24,由双曲线的定义,可得,PF1PF22,解得PF12+,PF22,F1F22,由于(2)2+(2)2(2)2,则三角形PF1F2为直角三角形,则面积为:1,故选:C【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和定义,考查三角形的面积计算,属于基础题9(5分)椭圆:(ab0),左右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,若直线与椭圆交于M点,满足MF1F22MF2F1,则离心率是()ABCD【分析】依题意知,直线y(x+c)经过椭圆的左焦点F1(c,0),且倾斜

    13、角为60,从而知MF2F130,设|MF1|x,利用椭圆的定义即可求得其离心率【解答】解:椭圆的方程为+1(ab0),作图如右图:椭圆的焦距为2c,直线y(x+c)经过椭圆的左焦点F1(c,0),又直线y(x+c)与椭圆交于M点,倾斜角MF1F260,又MF1F22MF2F1,MF2F130,F1MF290设|MF1|x,则|MF2|x,|F1F2|2c2x,故xc|MF1|+|MF2|(+1)x(+1)c,又|MF1|+|MF2|2a,2a(+1)c,该椭圆的离心率e1故选:B【点评】本题考查椭圆的简单性质,着重考查直线与椭圆的位置关系,突出椭圆定义的考查,理解得到直线y(x+c)经过椭圆的

    14、左焦点F1(c,0)是关键,属于中档题10(5分)在如图的平面图形中,已知OM1,ON2,MON120,2,2,则的值为()A15B9C6D0【分析】解法,由题意判断BCMN,且BC3MN,再利用余弦定理求出MN和OMN的余弦值,计算即可解法:用特殊值法,不妨设四边形OMAN是平行四边形,由题意求得的值【解答】解:解法,由题意,2,2,2,BCMN,且BC3MN,又MN2OM2+ON22OMONcos1201+4212()7,MN;BC3,cosOMN,|cos(OMN)31()6解题:不妨设四边形OMAN是平行四边形,由OM1,ON2,MON120,2,2,知333+3,(3+3)3+331

    15、2+321cos1206故选:C【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题,是中档题11(5分)圆:x2+y2+2ax+a290和圆:x2+y24by1+4b20有三条公切线,若aR,bR,且ab0,则的最小值为()A1B3C4D5【分析】由题意可得两圆相外切,根据两圆的标准方程求出圆心和半径,得到a2+4b216,使用基本不等式求得最小值【解答】解:由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为 (x+a)2+y29,x2+(y2b)21,圆心分别为(a,0),(0,2b),半径分别为3和1,故有a2+4b216,()(a2+4b2)(8+)(8+8)1,当且仅当时,等号成立,故选:A

    16、【点评】本题考查两圆的位置关系,两圆相外切的性质,圆的标准方程的特征,基本不等式的应用,得到a2+4b216是解题的关键和难点12(5分)已知定义在R上的函数yf(x)对任意的x都满足f(x+1)f(x),当1x1时,f(x)x3,若函数g(x)f(x)loga|x|至少6个零点,则a取值范围是()ABCD【分析】函数g(x)f(x)loga|x|的零点个数,即函数yf(x)与ylog5|x|的交点的个数,由函数图象的变换,分别做出yf(x)与yloga|x|的图象,结合图象可得loga51 或 loga51,由此求得a的取值范围【解答】解:函数g(x)f(x)loga|x|的零点个数,即函数

    17、yf(x)与yloga|x|的交点的个数;由f(x+1)f(x),可得f(x+2)f(x+1+1)f(x+1)f(x),故函数f(x)是周期为2的周期函数,又由当1x1时,f(x)x3,据此可以做出f(x)的图象,yloga|x|是偶函数,当x0时,ylogax,则当x0时,yloga(x),做出yloga|x|的图象,结合图象分析可得:要使函数yf(x)与yloga|x|至少有6个交点,则loga51或loga51,解得a5,或 0a,当a5时,恰好有6个交点,左边4个,右边2个故选:A【点评】本题考查函数图象的变化与运用,涉及函数的周期性,对数函数的图象等知识点,关键是作出函数的图象,由此

    18、分析两个函数图象交点的个数二、填空题(每小题5分,共20分)13(5分)抛物线x28y的焦点到准线的距离是4【分析】直接利用抛物线的性质写出结果即可【解答】解:抛物线x28y,所以p4,抛物线x28y的焦点到准线的距离是:4故答案为:4【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,考查计算能力14(5分)过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是【分析】设所求双曲线为,把(,2)代入方程求出,可得到所求的双曲线方程【解答】解:设所求的双曲线为,把(,2)代入方程所求双曲线为,解得3由此可求得所求双曲线的方程为故答案为:【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,相同渐近线的双曲线方程的设法,解题时要注意公

    19、式的灵活运用15(5分)已知下列命题:若直线l与平面内的一条直线平行,则l;命题“x(1,+),2x11”的否定是“x0(1,+),”;已知aR,则“a3”是“a29”的充分而不必要条件其中正确的命题是(填序号)【分析】根据线面平行的定义进行判断;根据全称命题的否定是特称命题进行判断;根据充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解:若直线l与平面内的一条直线平行,则l或l;直线必须是平面外的直线,故错误,命题“x(1,+),2x11”的否定是“x0(1,+),”,故正确,由a29得3a3,则“a3”是“a29”的必要不充分条件,故错误,故答案为:【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及线面平行

    20、的判断,含有量词的命题的否定以及充分条件和必要条件的判断,涉及知识点较多,但难度不大16(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为【分析】由三视图还原原几何体,该几何体为三棱锥,底面三角形ABC为直角三角形,面PAC为等边三角形,且面PAC底面ABC,取BC中点G,则G为三角形ABC的外心,过G作平面ABC的垂线,取等边三角形PAC的外心为H,过H作平面PAC的垂线,则两垂线交于点O,O为三棱锥PABC外接球的球心,求解三角形求得OC,即三棱锥外接球的半径,代入球的表面积公式得答案【解答】解:由三视图还原原几何体如图:该几何体为三棱锥,底面三角形ABC为直角三角形,面PAC为等边三

    21、角形,且面PAC底面ABC,取BC中点G,则G为三角形ABC的外心,过G作平面ABC的垂线,取等边三角形PAC的外心为H,过H作平面PAC的垂线,则两垂线交于点O,O为三棱锥PABC外接球的球心,OG,GC,OC,三棱锥外接球表面积为4故答案为:【点评】本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题三、解答题(共70分)17(10分)已知圆C:(x1)2+y29内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程; (写一般式)(2)当直线l的倾斜角为45时,求弦AB的长【分析】(1)先求出圆的圆心坐标,从而可求得直线l的斜率,再由点

    22、斜式方程可得到直线l的方程,最后化简为一般式即可(2)先根据点斜式方程求出方程,再由点到线的距离公式求出圆心到直线l的距离,进而根据勾股定理可求出弦长【解答】解:(1)圆C:(x1)2+y29的圆心为C(1,0),因直线过点P、C,所以直线l的斜率为2,直线l的方程为y2(x1),即2xy20(2)当直线l的倾斜角为45时,斜率为1,直线l的方程为y2x2,即xy0圆心C到直线l的距离为,圆的半径为3,弦AB的长为【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系,高考中对直线与圆的方程的考查以基础题为主,故平时就要注意基础知识的积累和应用,在考试中才不会手忙脚乱18(12分)在ABC中,a,b,c分别是

    23、A、B、C的对边,且bsinAcosB(1)求B的大小;(2)若b3,sinC2sinA,求a及c【分析】(1)利用已知条件通过正弦定理,转化求解即可(2)利用正弦定理推出a、c关系,利用余弦定理得到第二个方程,然后求解即可【解答】解:(1)由及正弦定理,得,所以,所以;(2)由sinC2sinA及得c2a,由b3及余弦b2a2+c22accosB,得9a2+c2ac,;【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,考查方程思想的应用,是基本知识的考查19(12分)已知数列an满足an+12an1(nN+),a12()求证:数列an1为等比数列,并求数列an的通项公式;()求数列nan的前n项和

    24、Sn(nN+)【分析】()通过对an+12an1(nN+)变形可知数列an1是首项为1、公比为2的等比数列,进而可得结论;()通过an2n1+1可知nann2n1+n,利用错位相减法计算即得结论【解答】()证明:an+12an1(nN+),an+112(an1)(nN+),又a11211,数列an1是首项为1、公比为2的等比数列,an112n12n1,an2n1+1;()解:an2n1+1,nann2n1+n,设Tn120+221+322+n2n1,2Tn121+222+323+(n1)2n1+n2n,两式相减得:Tn(1+21+22+23+2n1)n2nn2n(1n)2n1,Tn(n1)2n

    25、+1,SnTn+(n1)2n+1+【点评】本题考查等比数列的判定,考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题20(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PC底面ABCD,ABCD是直角梯形,ABAD,ABCD,AB2AD2CD2E是PB的中点()求证:平面EAC平面PBC;()若二面角PACE的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值【分析】()证明平面EAC平面PBC,只需证明AC平面PBC,即证ACPC,ACBC;()根据题意,建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出面PAC的法向量(1,1,0),面EAC的法向量(a,a,2),利用二面角PA CE

    26、的余弦值为,可求a的值,从而可求(2,2,2),(1,1,2),即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值【解答】()证明:PC平面ABCD,AC平面ABCD,ACPC,AB2,ADCD1,ACBC,AC2+BC2AB2,ACBC,又BCPCC,AC平面PBC,AC平面EAC,平面EAC平面PBC(4分)()如图,以C为原点,取AB中点F,、分别为x轴、y轴、z轴正向,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,1,0)设P(0,0,a)(a0),则E(,),(6分)(1,1,0),(0,0,a),(,),取(1,1,0),则0,为面PAC的法向量设(x,y,z)为面EA

    27、C的法向量,则0,即取xa,ya,z2,则(a,a,2),依题意,|cos,|,则a2(10分)于是(2,2,2),(1,1,2)设直线PA与平面EAC所成角为,则sin|cos,|,即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为(12分)【点评】本题考查面面垂直,考查线面角,解题的关键是掌握面面垂直的判定,利用向量的方法研究线面角,属于中档题21(12分)椭圆的离心率为,长轴端点与短轴端点间的距离为()求椭圆C的方程;()过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于两点E,F,O为坐标原点,若OEF为直角三角形,求直线l的斜率【分析】()由已知,a2+b25,由此能够求出椭圆C的方程()根据题意,过点D(0

    28、,4)满足题意的直线斜率存在,设l:ykx+4,联立,再由根与系数的关系求解【解答】解:()由已知,a2+b25,又a2b2+c2,解得a24,b21,所以椭圆C的方程为;()根据题意,过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设l:ykx+4,联立,消去y得(1+4k2)x2+32kx+600,(32k)2240(1+4k2)64k2240,令0,解得设E,F两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),()当EOF为直角时,则,因为EOF为直角,所以,即x1x2+y1y20,所以(1+k2)x1x2+4k(x1+x2)+160,所以,解得()当OEF或OFE为直角时,不妨设OEF为直角,此

    29、时,kOEk1,所以,即x124y1y12,又;,将代入,消去x1得3y12+4y140,解得或y12(舍去),将代入,得,所以,经检验,所求k值均符合题意,综上,k的值为和【点评】本题是椭圆问题的综合题,解题时要认真审题,仔细解答22(12分)设函数f(x)x2+(m2)x+2m(1)若y|f(x)|在1,0上是减函数,求实数m的取值范围;(2)是否存在整数a,b,使得af(x)b的解集恰好是a,b,若存在,求出a,b的值;若不存在,说明理由【分析】(1)求出函数的对称轴,由于y|f(x)|在1,0上是减函数,则讨论区间在对称轴的右边,且f(0)不小于0,区间在对称轴的左边,且f(0)不大于

    30、0解出它们即可;(2)假设存在整数a,b,使得af(x)b的解集恰好是a,b则f(a)a,f(b)a,af()b,由f(a)f(b)a,解出整数a,b,再代入不等式检验即可【解答】解:(1)函数f(x)x2+(m2)x+2m的对称轴为x,由于y|f(x)|在1,0上是减函数,则即有,即有m2综上,m0或m2;(2)假设存在整数a,b,使得af(x)b的解集恰好是a,b则f(a)a,f(b)a,af()b,即有a2+(m2)a+2ma,b2+(m2)b+2ma,ab可得a+bm2,代入得a2+a(a+b)(a+b)a,再化简得(a1)(b2)2,因为a、b均为整数,所以a2,b4或a1,b1当a2,b4时,即24成立;当a1,b1时,即11成立故存在整数a,b,使得af(x)b的解集恰好是a,b,且a2,b4或a1,b1【点评】本题考查二次函数的单调性及运用,以及含绝对值的二次函数的单调性,考查分类讨论的思想方法,以及不等式的解法,考查运算能力,属于中档题


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