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    2018-2019学年广东省珠海市高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

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    2018-2019学年广东省珠海市高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

    1、2018-2019学年广东省珠海市高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项1(5分)已知等差数列an中,a39,a93,则公差d的值为()AB1CD12(5分)命题xR,x2x0的否定是()AxR,x2x0BxR,x2x0CxR,x2x0DxR,x2x03(5分)若实数a,b满足ab0,则下列不等式成立的是()A1BCa2b2Da2ab4(5分)曲线f(x)x2+2xex在点(0,f(0)处的切线的方程为()Ayx1Byx+1Cy2x1Dy2x+15(5分)等比数列an中,a

    2、5、a7是函数f(x)x24x+3的两个零点,则a3a9等于()A3B3C4D46(5分)已知P为抛物线y24x上一个动点,Q点坐标(0,1),那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是()A1BC2D27(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z3x2y的最小值为()A5B4C2D38(5分)若mR,则“m4”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9(5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+b2c2)tanCab,则角C的值为()ABC或D或10(5分)已知F是椭圆1(ab0)的左焦点,A为右

    3、顶点,P是椭圆上的一点,PFx轴,若|PF|AF|,则该椭圆的离心率是()ABCD11(5分)已知数列an的各项均为正数,a12,an+1an,若数列的前n项和为5,则n()A119B121C120D122212(5分)设函数f(x)+2bx+c的两个极值点分别为x1,x2,若x1(0,1),x2(1,2),且存在a,b使得t2a+b成立,则实数t的取值范围为()A(54)B(4,2)C(4,+)D(5,+)二、填空题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,请将正确的答案写在答题卡上13(5分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且b2,c,cosA,则ABC的面积S  

    4、; 14(5分)函数f(x)sinx+ex(e为自然对数的底数),则f()的值为   15(5分)已知x1,函数y+x的最小值是   16(5分)甲、乙两种食物的维生素含量如表:维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合,且使混合物中维生素A,B的含量分别不低于100,120单位,则混合物质量的最小值为   kg17(5分)设函数f(x)x2bln(x+2)在1,+)上是增函数,则实数b的取值范围是   (注:ln(x+2)的导函数为)18(5分)在如图所示数表中,已知每行、每列中的数都构成等差数列,设表中第n行第

    5、n列的数为an,则数列的前100项的和为   19(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线1(a0,b0)的上支与交点为F的抛物线y22px(p0)交于M,N两点,若|MF|+|NF|3|OF|,则该双曲线的渐近线方程为   20(5分)定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f(x),若对任意的示数x,都有2f(x)+xf(x)2恒成立,则使x2f(x)f(1)x21成立的x的取值范围为   三、解答题:本大题共5小题,共50分解答须写出文字说明、证明过程和演算步湿21(10分)已知数列an的前程项和为Sn,且Snn(n+1)(1)求数列an的通项公式;(2)若bn

    6、,求数列bn的前n项和Tn22(10分)设p:方程x2+mx+10有两个不等的实根,q:不等式4x2+4(m2)x+10在R上恒成立,若p为真,pq为真,求实数m的取值范围23(10分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c+ccosBbsinC(1)求角B;(2)若a+c7,ABC的面积为3,求b24(10分)已知圆M:x2+y2+2x0,圆N:x2+y22x80,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程;(2)若A、B是曲线C上关于x轴对称的两点,点D(3,0),直线DB交曲线C于另一点E,求证:直线AE过定点,并求该定点的坐标25(10分)已知

    7、函数(1)判断f(x)在定义域上的单调性;(2)若f(x)在1,e上的最小值为2,求a的值2018-2019学年广东省珠海市高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项1(5分)已知等差数列an中,a39,a93,则公差d的值为()AB1CD1【分析】本题可由题意,构造方程组,解出该方程组即可得到答案【解答】解:等差数列an中,a39,a93,由等差数列的通项公式,可得解得,即等差数列的公差d1故选:D【点评】本题为等差数列的基本运算,只需构造方程组即可解决,数

    8、基础题2(5分)命题xR,x2x0的否定是()AxR,x2x0BxR,x2x0CxR,x2x0DxR,x2x0【分析】全称命题“xM,p(x)”的否定为特称命题“xM,p(x)”【解答】解:命题xR,x2x0的否定是xR,x2x0故选:D【点评】本题考查全称命题的否定形式3(5分)若实数a,b满足ab0,则下列不等式成立的是()A1BCa2b2Da2ab【分析】由不等式的性质可判断A和D;又y在x0递减,可判断B;由yx2在x0递减,可判断C【解答】解:实数a,b满足ab0,可得1,故A错;又y在x0递减,可得,故B错;由yx2在x0递减,可得a2b2,故C错;由a0,ab,可得a2ab,故D

    9、正确故选:D【点评】本题考查不等式的性质的运用,以及函数的单调性的运用:比较大小,考查运算能力,属于基础题4(5分)曲线f(x)x2+2xex在点(0,f(0)处的切线的方程为()Ayx1Byx+1Cy2x1Dy2x+1【分析】求出导数,求得切线的斜率,由斜截式方程,即可得到切线的方程【解答】解:f(x)x2+2xex的导数为f(x)2x+2ex,f(0)1f(0)1曲线f(x)x2+2xex在点(0,f(0)处的切线的方程为yx1故选:A【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,考查直线方程的运用,正确求导是解题的关键,属于基础题5(5分)等比数列an中,a5、a7是函数f(x)x24x+3

    10、的两个零点,则a3a9等于()A3B3C4D4【分析】利用根与系数的关系求得a5a73,再由等比数列的性质得答案【解答】解:a5、a7是函数f(x)x24x+3的两个零点,a5、a7是方程x24x+30的两个根,a5a73,由等比数列的性质可得:a3a9a5a73故选:B【点评】本题考查等比数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题6(5分)已知P为抛物线y24x上一个动点,Q点坐标(0,1),那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是()A1BC2D2【分析】依题意由抛物线的定义,结合图形求出P点到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值【解答】解:依题意,

    11、由抛物线的定义知,P点到准线的距离d等于P点到抛物线的焦点F(1,0)的距离,d+|PQ|PF|+|PQ|FQ|,即点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值为故选:B【点评】本题考查了抛物线的定义与应用问题,是基础题7(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z3x2y的最小值为()A5B4C2D3【分析】先画出线性约束条件对应的可行域,再将目标函数赋予几何意义,数形结合即可得目标函数的最小值【解答】解:画出可行域如图阴影区域:目标函数z3x2y可看做yxz,即斜率为,截距为z的动直线,数形结合可知,当动直线过点A时,z最小由得A(0,1)目标函数z3x2y的最小值为z3021

    12、2故选:C【点评】本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧,二元一次不等式组表示平面区域,数形结合的思想方法,属基础题8(5分)若mR,则“m4”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】结合双曲线的定义求出m的范围,结合不等式的关系即可得到结论【解答】解:若方程表示双曲线,则(m4)(m+1)0,解得m1或m4,故“m4”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件,故选:A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合双曲线方程的特点求出m的范围是解决本题的关键9(5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+b2c

    13、2)tanCab,则角C的值为()ABC或D或【分析】已知等式整理后,利用余弦定理,以及同角三角函数间基本关系化简,求出sinC的值,即可确定出C的度数【解答】解:在ABC中,由已知等式整理得:,即cosC,cosC0,sinC,C为ABC内角,C或,故选:C【点评】此题考查了余弦定理,同角三角函数间的基本关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键10(5分)已知F是椭圆1(ab0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上的一点,PFx轴,若|PF|AF|,则该椭圆的离心率是()ABCD【分析】由题意可得(a+c),再根据b2a2c2,即可得到4c2+3aca20,两边同除以a2得:

    14、4e2+3e10,解得即可【解答】解:根据椭圆几何性质可知|PF|,|AF|a+c,所以(a+c),即4b23a23ac,因为b2a2c2,所以有4a24c23a23ac,整理可得4c2+3aca20,两边同除以a2得:4e2+3e10,所以(4e1)(e+1)0,由于0e1,所以e故选:A【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,考查椭圆性质等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题11(5分)已知数列an的各项均为正数,a12,an+1an,若数列的前n项和为5,则n()A119B121C120D1222【分析】由已知推导出an.,由此能求出n【解答

    15、】解:数列an的各项均为正数,a12,an+1an,4,a12,2,2,42,由此猜想ana12,an+1an,数列的前n项和为5,解得n+1121,n120故选:C【点评】本题考查实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意数列的递推公式、累加法的合理运用12(5分)设函数f(x)+2bx+c的两个极值点分别为x1,x2,若x1(0,1),x2(1,2),且存在a,b使得t2a+b成立,则实数t的取值范围为()A(54)B(4,2)C(4,+)D(5,+)【分析】求出函数的导数,根据函数的极值点的范围得到,问题转化为线性规划问题,求出t的范围即可【解答】解:f(x)的两个极值点x1(0,1

    16、),x2(1,2),且f(x)x2+ax+2b开口向上,故,故,问题转化为线性规划问题,故52a+b2,根据题意存在a,b使得t2a+b,则t5,故选:D【点评】本题考查了函数的单调性,极值问题,考查线性规划问题,是一道综合题二、填空题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,请将正确的答案写在答题卡上13(5分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且b2,c,cosA,则ABC的面积S【分析】利用面积公式S直接计算【解答】解析:故答案为:【点评】本题考查了三角形面积公式,属于基础题14(5分)函数f(x)sinx+ex(e为自然对数的底数),则f()的值为e1【分析】求函数的导数

    17、,令x,代入即可【解答】解:f(x)sinx+exf'(x)cosx+exf'()cos+ee1,故答案为:e1【点评】本题主要考查函数的导数的计算,根据函数的导数公式进行求导是解决本题的关键比较基础15(5分)已知x1,函数y+x的最小值是5【分析】把式子变形为y+x+x1+1,利用均值定理可得:+x1+12+15,当x3时,等号成立【解答】解:因为x1,所以y+x+x1+12+15,当x3时,等号成立,故最小值为5【点评】考查了均值不等式的应用,难点是对式子合理变形,使得式子积为定值16(5分)甲、乙两种食物的维生素含量如表:维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲3

    18、5乙42分别取这两种食物若干并混合,且使混合物中维生素A,B的含量分别不低于100,120单位,则混合物质量的最小值为30kg【分析】由题意,设混合物中甲为xkg,乙为ykg,从而可得不等式组,zx+y;利用线性规划求解【解答】解:由题意,设混合物中甲为xkg,乙为ykg,混合物为zx+y;则,zx+y;做其平面区域如下,由解得x20,y10A(20,10)平移直线x+yz,可知当直线经过A时取得最小值zx+y30;故答案为:30【点评】本题考查了线性规划在实际问题中的应用,属于中档题17(5分)设函数f(x)x2bln(x+2)在1,+)上是增函数,则实数b的取值范围是(,1(注:ln(x+

    19、2)的导函数为)【分析】根据题意,求出函数的导数,分析可得f(x)x0在1,+)上恒成立,变形可得bx(x+2)在1,+)上恒成立,设tx(x+2),结合二次函数的性质分析可得t的最小值,分析可得b的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,函数,其导数为f(x)x,若f(x)在1,+)上是增函数,则有f(x)x0在1,+)上恒成立,即bx(x+2)在1,+)上恒成立,设tx(x+2),则tx2+2x,当x1,+)时,有t1,若bx(x+2)在1,+)上恒成立,必有b1,即b的取值范围是(,1;故答案为:(,1【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性,注意将原问题转化为函数值域的问题18(5分

    20、)在如图所示数表中,已知每行、每列中的数都构成等差数列,设表中第n行第n列的数为an,则数列的前100项的和为【分析】计算第一行、第二行和第三行的第n个数,归纳得到第n行第n个数的通项公式,再由裂项相消求和,化简可得所求和【解答】解:由题意可知,第一行的第n个数为2+(n1)n+1;第二行的第n个数为4+2(n1)2n+2;第三行的第n个数为6+3(n1)3n+3;第n行的第n个数为2+2(n1)+(n1)nn2+n;即,前100项的和为1+1,故答案为:【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用等差数列的通项公式和归纳法,考查数列的裂项相消求和,以及化简运算能力,属于基础题19(5分)在

    21、平面直角坐标系xOy中,双曲线1(a0,b0)的上支与交点为F的抛物线y22px(p0)交于M,N两点,若|MF|+|NF|3|OF|,则该双曲线的渐近线方程为y2x【分析】把y22px(p0)代入双曲线,可得:a2x22pb2y+a2b20,利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出【解答】解析:,整理即得:,又把y22px(p0)代入双曲线1可得:a2x22pb2y+a2b20,xM+xN,a24b2即,所以渐近线为y2x故答案为:y2x【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题20(5分)定义在R上的偶

    22、函数f(x)的导函数为f(x),若对任意的示数x,都有2f(x)+xf(x)2恒成立,则使x2f(x)f(1)x21成立的x的取值范围为x1或x1【分析】根据已知构造合适的函数,对函数求导,根据函数的单调性,求出函数的取值范围,并根据偶函数的性质的对称性,求出x0的取值范围【解答】解:当x0时,由2f(x)+xf(x)20可知:两边同乘以x得:2xf(x)+x2f(x)2x0,设:g(x)x2f(x)x2,则g(x)2xf(x)+x2f(x)2x0,恒成立:g(x)在(0,+)单调递减,由x2f(x)f(1)x21x2f(x)x2f(1)1即g(x)g(1)即x1;当x0时,函数是偶函数,同理

    23、得:x1综上可知:实数x的取值范围为(,1)(1,+),故答案为:x1或x1【点评】主要根据已知构造合适的函数,函数求导,并应用导数法判断函数的单调性,偶函数的性质,难度中档三、解答题:本大题共5小题,共50分解答须写出文字说明、证明过程和演算步湿21(10分)已知数列an的前程项和为Sn,且Snn(n+1)(1)求数列an的通项公式;(2)若bn,求数列bn的前n项和Tn【分析】(1)运用数列的递推式:当n1时,a1S1,当n2时,anSnSn1,计算即可得到所求通项公式;(2)求得bn,结合等比数列的求和公式,计算可得所求和【解答】解:(1)当n1时,a1S12,当n2时,anSnSn1n

    24、(n+1)(n1)n2n,则当n1时,a12符合,;(2),bn是首项为2,公比为2的等比数列,【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式及求和公式的运用,考查化简运算能力,属于基础题22(10分)设p:方程x2+mx+10有两个不等的实根,q:不等式4x2+4(m2)x+10在R上恒成立,若p为真,pq为真,求实数m的取值范围【分析】由P为真,Pq为真,可得P为假,q为真,求出P为假、q为真时,m的取值范围,再求交集【解答】解:P为真,Pq为真P为假,q为真              (2分)P为真命题,则,m2或

    25、m2(4分)P为假时,2m2(5分)若q为真命题,则(7分)即1m3(8分)由可知m的取值范围为1m2     (10分)【点评】本题考查了命题真假的应用,涉及到了方程的根的分布、恒成立问题,属于中档题23(10分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c+ccosBbsinC(1)求角B;(2)若a+c7,ABC的面积为3,求b【分析】【法一】:(1)由正弦定理化简已知等式可得,结合sinC0,可求,利用同角三角函数基本关系式解得cosB的值,结合范围B(0,),可得B的值(2)利用三角形的面积公式可求ac12,根据余弦定理及已知即可解得b的值【法二】:(1)

    26、由正弦定理化简已知等式可得,结合sinC0,可得,利用二倍角公式及,可得,进而可求B的值(2)利用三角形面积公式可求ac12,与a+c7联立方程得a,b的值,根据余弦定理可求b的值【解答】(本题满分10分)解:【法一】:(1)由正弦定理,得:,(1分)ABC中sinC0,(2分)与sin2B+cos2B1联立方程,消掉sinB得方程:2cos2B+cosB10,(4分)计算得:,(5分)由B(0,),可得:(6分)(2),ac12,(7分)b2a2+c22accosBa2+c2ac(a+c)23ac,(8分)把ac12和a+c7代入计算得b213(9分)(10分)【法二】:(1)由正弦定理,得

    27、,(1分)ABC中sinC0,(2分),(3分)ABC中,(4分),即,(6分)(2),ac12,(7分)与a+c7联立方程得,(8分)b2a2+c22accosBa2+c2ac13,(9分)(10分)【点评】本题主要考查了正弦定理,同角三角函数基本关系式,三角形的面积公式,余弦定理,二倍角公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题24(10分)已知圆M:x2+y2+2x0,圆N:x2+y22x80,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程;(2)若A、B是曲线C上关于x轴对称的两点,点D(3,0),直线DB交曲线C于另一点E,求证:直线AE

    28、过定点,并求该定点的坐标【分析】(1)求出圆M、圆N的圆心和半径,由题意知|PM|+|PN|4,曲线C是椭圆,写出椭圆的方程即可;(2)设出直线AE的方程,代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系,结合题意求出直线AE方程所过的定点坐标【解答】解:(1)圆M:x2+y2+2x0的圆心为M(1,0),半径r11,圆N:x2+y22x80的圆心为N(1,0),半径r23,(2分)设动圆P的半径为R,圆P与圆M外切,与圆N内切,|PM|R+1,|PN|3R,|PM|+|PN|4,(4分)曲线C是以M,N为左右焦点,长半轴长为2的椭圆(左顶点除外),其方程为;(6分)(2)设A(x1,

    29、y1),E(x2,y2),则B(x1,y1),由题意知直线AE的斜率存在,设直线AE为:ykx+m,代入,得到(4k2+3)x2+8kmx+4m2120,则(8km)24(4k2+3)(4m212)0,整理得m24k2+3,(8分),D、B、E共线,kPBkPA,即,整理得2kx1x2+(m3k)(x1+x2)6m0,整理得,满足判别式;直线AE的方程是,过定点(12分)【点评】本题考查了圆与圆的位置关系以及直线与椭圆的方程应用问题,是综合题25(10分)已知函数(1)判断f(x)在定义域上的单调性;(2)若f(x)在1,e上的最小值为2,求a的值【分析】(1)先确定f(x)的定义域为(0,+

    30、),再求导,由“f'(x)0,f(x)为增函数f'(x)0,f(x)在为减函数”判断,要注意定义域和分类讨论(2)因为,x0由(1)可知当a0时,f(x)在(0,+)上为增函数,f(x)minf(1)当0a1时,即a1时,f(x)在(0,+)上也是增函数,f(x)minf(1)当1ae时,即ea1时,f(x)在1,a上是减函数,在(a,e上是增函数,f(x)minf(a)当ae时,即ae时,f(x)在1,e上是减函数,f(x)minf(e)最后取并集【解答】解:(1)由题意得f(x)的定义域为(0,+),(0,+)当a0时,f'(x)0,故f(x)在上为增函数;当a0时

    31、,由f'(x)0得xa;由f'(x)0得xa;由f'(x)0得xa;f(x)在(0,a上为减函数;在(a,+)上为增函数所以,当a0时,f(x)在(0,+)上是增函数;当a0时,f(x)在(0,a上是减函数,在(a,+)上是增函数(2),x0由(1)可知:当a0时,f(x)在(0,+)上为增函数,f(x)minf(1)a2,得a2,矛盾!当0a1时,即a1时,f(x)在(0,+)上也是增函数,f(x)minf(1)a2,a2(舍去)当1ae时,即ea1时,f(x)在1,a上是减函数,在(a,e上是增函数,f(x)minf(a)ln(a)+12,得ae(舍去)当ae时,即ae时,f(x)在1,e上是减函数,有,ae综上可知:ae【点评】本题主要考查用导数法研究函数的单调性,基本思路是:当函数为增函数时,导数大于等于零;当函数为减函数时,导数小于等于零,已知单调性求参数的范围时,往往转化为求相应函数的最值问题


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