1、2018-2019学年广东省深圳高中高二（下）期中数学试卷（理科）一选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1（5分）从某工厂生产的P，Q两种型号的玻璃中分别随机抽取8个样品进行检查，对其硬度系数进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），则P型号样本数据的中位数和Q型号样本数据的众数分别是（）A21.5和23B22和23C22和22D21.5和22.52（5分）已知某一随机变量的分布列如下，且E6.3，则a的值为（）A5B6C7D83（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S（）A74B83C177D1664（5分）抛掷2枚质地均匀的骰
2、子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（）ABCD5（5分）在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）x2+2axb2+有零点的概率为（）ABCD6（5分）港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图（如图）根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90km/h的概率分别为（）A85，0.25B90，0.35C87.5，0.25D87.5，0.357（5分）从6人中选出4人分别参加2018年
3、北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数共有（）A94B180C240D2868（5分）若（+）8（ax1）展开式中含x项的系数为21，则实数a的值为（）A3B3C2D29（5分）设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是（）ABCD10（5分）从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，则2需排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（）A9个B15个C45个D51个11（5分）已知双曲线C：（
4、a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2，P满足|PF1|PF2|2a，若PF1F2为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）ABCD12（5分）若函数f（x）ex（m+1）lnx+2（m+1）x1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（）A（e2，e）B（）C（）D（，e1）二填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）曲线f（x）exx+1在x1处的切线方程为 14（5分）已知，则x 15（5分）如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率是 16（5分）已知抛物线yx21上一定点B（1，0）和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BPPQ，则Q点的横坐标的取值范
5、围是 三、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22各12分，共70分）17（10分）从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如表：上一年出险次数012345次以上（含5次）下一年保费倍率85%100%125%150%175%200%连续两年没出险打7折，连续三年没出险打6折经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据（x，y）（其中x（单位：万元）表示购车价格，y（单位：元）表示商业车险保费）：（8，2150），（11，2400），
6、（18，3140），（25，3750），（25，4000），（31，4560），（37，5500），（45，6500），已知由这8组数据得到的回归直线方程为（1）求b的值；（2）广东李先生2017年1月购买了一辆价值20万元的新车，估计李先生购车时的商业车险保费；若该车2017年3月已出过一次险，5月又被刮花了，李先生到汽车维修4S店询价，预计修车费用为500元，理赔专员建议李先生自费维修（即不出险），你认为李先生是否应该接受该建议？请说明理由（假设车辆2017年与2018年都购买相同的商业车险产品）18（12分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcosC（3a2c）cos
7、B（1）求tanB的值；（2）若b4，且a2c，求ABC的面积19（12分）如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，ABC60，AE平面ABCD，AECF，ABAE1，AFBE（）求证：平面BAF平面BDE；（）求二面角BAFD的余弦值20（12分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记|x2|+|yx|（）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（）求随机变量的分布列和数学期望21（12分）已知点，P是圆N：上的一个动点，N为圆心，线段PM的垂直平分线与直线PN的交点为Q（1）求点Q的轨迹C的方程；（
8、2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：ykx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且ADBD证明：直线l经过定点，并写出该定点的坐标22（12分）（理科）已知函数f（x）（1+x）22ln（1+x）（1）若存在x00，1使不等式f（x0）m0能成立，求实数m的最小值；（2）若关于x的方程f（x）x2+x+a在0，2上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围2018-2019学年广东省深圳高中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1（5分）从某工厂生产的P，Q两种型号的玻璃中分别随机抽取8
9、个样品进行检查，对其硬度系数进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），则P型号样本数据的中位数和Q型号样本数据的众数分别是（）A21.5和23B22和23C22和22D21.5和22.5【分析】由茎叶图中的数据，写出P组数据的众数和Q组数据的中位数【解答】解：由茎叶图中数据知，P组数据是10，11，14，21，22，22，30，31，中位数是21.5，Q组数据是12，16，21，22，23，23，33，34，众数是23，故选：A【点评】本题考查了利用茎叶图求众数和中位数的应用问题，是基础题2（5分）已知某一随机变量的分布列如下，且E6.3，则a的值为（）4a9P0.50.1bA5B6C7D8
10、【分析】估计分布列中，所有的概率之和是1，得到关于b的方程，求出b的值，根据本组数据的期望值和分布列列出关于a，b的方程，代入b的值，求出a，得到结果【解答】解：由题意和概率的性质得0.5+0.1+b1，且E40.5+0.1a+9b6.3，b0.4，a7，故选：C【点评】本题考查离散型随机变量的期望公式的应用，考查分布列中概率的性质，考查利用方程的思想解决实际问题，是一个好题，运算量不大，但考查的内容比较全面3（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S（）A74B83C177D166【分析】由算法的程序框图，计算各次循环的结果，满足条件，结束程序，即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得S0，
11、i1S1不满足条件i10，执行循环体，i3，S5不满足条件i10，执行循环体，i5，S15不满足条件i10，执行循环体，i7，S37不满足条件i10，执行循环体，i9，S83不满足条件i10，执行循环体，i11，S177此时，满足条件i10，退出循环，输出S的值为177故选：C【点评】本题考查了应用程序框图进行简单的计算问题，是基础题4（5分）抛掷2枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（）ABCD【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有6636种结果，绝对值等于3的基本事件有6种结果，根据概率公式计算可得【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的
12、概率，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有6636种结果，绝对值为3的基本事件有（1，4），（2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3）六种结果，故所求概率P故选：C【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是列举出所有符合条件的事件，注意列举时做到不重不漏5（5分）在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）x2+2axb2+有零点的概率为（）ABCD【分析】先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）x2+2axb2+有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果【解答】
13、解：由题意知本题是一个几何概型，a，b使得函数f（x）x2+2axb2+有零点，0a2+b2试验发生时包含的所有事件是（a，b）|a，bS（2）242，而满足条件的事件是（a，b）|a2+b2，s42232，由几何概型公式得到P，故选：B【点评】高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到6（5分）港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通
14、行限速100km/h现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图（如图）根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90km/h的概率分别为（）A85，0.25B90，0.35C87.5，0.25D87.5，0.35【分析】由频率分布直方图能估计在此路段上汽车行驶速度的众数和在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的概率【解答】解：由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数为：87.5，由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的频率为：（0.05+0.02）50.35，由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的概率为：0.35
15、，故选：D【点评】本题考查众数和概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题7（5分）从6人中选出4人分别参加2018年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数共有（）A94B180C240D286【分析】先看化学比赛，甲、乙两人都不能参加化学比赛有4种选法，然后看其余三个，可以在剩余的五人中任意选，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，先看化学比赛，甲、乙两人都不能参加化学比赛有4种选法，然后看其余三个，可以在剩余的五人中任意选共有4
16、543240，故选：C【点评】本题考查分步计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几种方法，看清思路，把几个步骤中数字相乘得到结果8（5分）若（+）8（ax1）展开式中含x项的系数为21，则实数a的值为（）A3B3C2D2【分析】在二项展开式（+）8的通项公式中，令x的幂指数分别等于 和，求出r的值，即可求得展开式中含x项的系数，再根据展开式中含x项的系数为21，求得a的值【解答】解：（+）8的展开式的通项公式为Tr+1，令，求得r3；令，求得r，不合题意，舍去故展开式中含x项的系数为a21，则实数a3，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二
17、项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题9（5分）设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是（）ABCD【分析】活到15岁的概率是在活到10岁的概率的情况下发生的，故可用条件概率来求解这个题【解答】解：记该动物从出生起活到10岁为事件A，从出生起活到15岁的为事件AB，而所求的事件为B|A，由题意可得P（A）0.9，P（AB）0.6，由条件概率公式可得P（B|A）故选：C【点评】本题考点是条件概率，理清楚解事件之间的关系是解决问题的关键，属中档题10（5分）从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字
18、的三位数，当三个数字有2和3时，则2需排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（）A9个B15个C45个D51个【分析】当这个三位数中，数字2和3都有时，这样的三位数的个数有3个；当这个三位数中，2和3只有一个时，这样的三位数的个数为 当这个三位数中，2和3都没有时，这样的三位数的个数为 ，再把求得的这三个数相加，即得所求【解答】解：当这个三位数中，数字2和3都有时，需从剩余3个数中再选一个数，方法有3种，再把这3个数进行排列，方法有种，故含有数字2和3的三位数共有318个其中满足2排在3的前面的三位数占总数的一半，故满足条件的三位数共有 189个当这个三位数中，2和3只有一个时，这样的三位
19、数的个数为 36当这个三位数中，2和3都没有时，这样的三位数的个数为 6综上可得，满足条件的三位数的个数为 9+36+651，故选：D【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题11（5分）已知双曲线C：（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2，P满足|PF1|PF2|2a，若PF1F2为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）ABCD【分析】判断P的位置和横坐标，由题意可得|PF2|F1F2|，即为2c，由离心率公式计算可得所求值【解答】解：P满足|PF1|PF2|2a，可得P在双曲线的右支上，由yP，解得xPc，PF1F2为等腰三角形，可得|PF2|F1F2|，
20、即为2c，即有c22aca20，由e，可得e22e10，解得e1+（负的舍去），故选：B【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰三角形的性质，化简运算能力，属于基础题12（5分）若函数f（x）ex（m+1）lnx+2（m+1）x1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（）A（e2，e）B（）C（）D（，e1）【分析】求函数的导数，结合函数有两个极值，等价为f（x）0有两个不同的根，利用参数分离法转化为两个函数图象交点问题进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）ex+2（m+1），x0因为函数f（x）恰有两个极值点，所以函数f（x）有两个不同的零点令f（x）ex+2（m+
21、1）0，得m+1有两个不同的实数根，记：h（x），所以h（x），当x（0，）时，h（x）0，此时函数h（x）在此区间上递增，当x（，1）时，h（x）0，此时函数h（x）在此区间上递增，当x（1，+）时，h（x）0，此时函数h（x）在此区间上递减，即当x1时，h（x）取得极大值h（1）e作出h（x）的简图如下：要使得h（x）m+1有两个不同的实数根，则m+1e，即me1故选：D【点评】本题主要考查了极值点与导数的关系，还考查了转化思想及计算能力，考查了函数图象与导数的关系，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点问题是解决本题的关键二填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）曲线
22、f（x）exx+1在x1处的切线方程为（e1）xy+10【分析】求出函数的导数，计算f（1），f（1）的值，求出切线方程即可【解答】解：f（x）ex1，f（1）e1，f（1）e，故切线方程是：ye（e1）（x1），即（e1）xy+10，故答案为：（e1）xy+10【点评】本题考查了导数的应用，考查切线方程问题，是一道基础题14（5分）已知，则x11【分析】直接展开组合数与排列数公式，求解关于x的一元二次方程得答案【解答】解：由，得，即，解得：x11故答案为：11【点评】本题考查了组合及组合数公式，考查了排列及排列数公式，是基础题15（5分）如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中至少
23、有2个女孩的概率是0.5【分析】利用列举法求出基本事件总数n8，其中至少有2个女孩包含的基本事件有4个，由此能求出有3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率【解答】解：生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中存在的基本事件有：男男男，男女女，女男女，女女男，男男女，男女男，女男男，女女女，共8个，其中至少有2个女孩包含的基本事件有4个，故有3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率是P故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（5分）已知抛物线yx21上一定点B（1，0）和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BPPQ，则Q点的横坐标的取值
24、范围是（，31，+）【分析】先假设P，Q的坐标，利用BPPQ，可得斜率之积为1，从而可得方程，再利用方程根的判别式大于等于0，即可求得Q点的横坐标的取值范围【解答】解：设P（t，t21），Q（s，s21）BPPQ，即t2+（s1）ts+10tR，P，Q是抛物线上两个不同的点必须有（s1）2+4（s1）0即s2+2s30，解得s3或s1Q点的横坐标的取值范围是 （，31，+）故答案为：（，31，+）【点评】本题重点考考查取值范围问题，解题的关键是利用斜率之积为1构建方程，再利用方程根的判别式大于等于0进行求解三、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22各12分，共70分）17
25、（10分）从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如表：上一年出险次数012345次以上（含5次）下一年保费倍率85%100%125%150%175%200%连续两年没出险打7折，连续三年没出险打6折经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据（x，y）（其中x（单位：万元）表示购车价格，y（单位：元）表示商业车险保费）：（8，2150），（11，2400），（18，3140），（25，3750），（25，4000），（31，4560），（37，550
26、0），（45，6500），已知由这8组数据得到的回归直线方程为（1）求b的值；（2）广东李先生2017年1月购买了一辆价值20万元的新车，估计李先生购车时的商业车险保费；若该车2017年3月已出过一次险，5月又被刮花了，李先生到汽车维修4S店询价，预计修车费用为500元，理赔专员建议李先生自费维修（即不出险），你认为李先生是否应该接受该建议？请说明理由（假设车辆2017年与2018年都购买相同的商业车险产品）【分析】（1）由已知数据求得样本点的中心的坐标，代入回归方程即可求b；（2）在（1）中求得的回归方程中，取x20即可求得李先生购车时的商业车险保费；求出该车再出险一次增加的保费，与500比
27、较大小得结论【解答】解：（1）（万元），（元），由于回归直线经过样本点的中心，即（25，4000），400025b+1055，解得b117.8；（2）价值为20万元的车辆的商业车险保费预报值为117.820+10553411元由于该车已出险一次，若再出险一次，则保费要增加25%，即保费增加341125%852.75元852.75500，若出险，2018年增加的保费大于500元，李先生应接受理赔专员的建议【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题18（12分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcosC（3a2c）cosB（1）求tanB的值；（2）若b4，且a
28、2c，求ABC的面积【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得3sinAcosB2sinA，结合sinA0，可求cosB，利用同角三角函数基本关系式即可解得sinB，tanB的值（2）在ABC中，由余弦定理可得c2的值，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）2bcosC（3a2c）cosB，2sinBcosC（3sinA2sinC）cosB，2分3sinAcosB2sinBcosC+2sinCcosB2sin（B+C）2sinA，sinA0，cosB，4分0B，sinB，tanB6分（2）在ABC中，由余弦定理可得：b2a2+c2ac32，又a
29、2c，c2，9分ABC的面积SacsinBc2sinB12分【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（12分）如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，ABC60，AE平面ABCD，AECF，ABAE1，AFBE（）求证：平面BAF平面BDE；（）求二面角BAFD的余弦值【分析】（I）由AECF，可得四点ACFE共面如图所示，连接AC，BD，相交于点O，利用菱形对角线的性质及其线面垂直的判定及其性质可得：AE平面ABCD，可得BD平面ACFE，BDAF，可得AF平
30、面BDE，即可证明（II）取BC的中点M，由ABC60，ABBC，可得ABC是等边三角形，AMBC，AMAD，建立空间直角坐标系，利用AFBE，可得F坐标设平面ABF的法向量为（x，y，z），则，可得取同理可得：平面AFD的法向量，利用向量夹角公式即可得出【解答】（I）证明：AECF，四点ACFE共面如图所示，连接AC，BD，相交于点O，四边形ABCD是菱形，对角线BDAC，AE平面ABCD，AEBD，又AEACA，BD平面ACFE，BDAF，又AFBE，BEBDB，AF平面BDE，AF平面BAF，平面BAF平面BDE（II）解：取BC的中点M，ABC60，ABBC，ABC是等边三角形，AMB
31、C，又BCAD，AMAD，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B，F，D（0，1，0），E（0，0，1），（0，1，0），AFBE+z0，解得z设平面ABF的法向量为（x，y，z），则，取同理可得：平面AFD的法向量由图可知：二面角BAFD的平面角为钝角，二面角BAFD的余弦值为【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记|x2|+|yx|（）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（）求随机变量的分布
32、列和数学期望【分析】（I）由题意知x、y可能的取值为1、2、3，做出要用的变量的可能取得的最大值，根据等可能事件的概率写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，求得概率（II）由题意知的所有取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式得到概率，当1时，有x1，y1或x2，y1或x2，y3或x3，y3四种情况，这个情况比较多，容易出错，写出分布列和期望【解答】解：（）x、y可能的取值为1、2、3，|x2|1，|yx|2，3，且当x1，y3或x3，y1时，3因此，随机变量的最大值为3有放回抽两张卡片的所有情况有339种，即随机变量的最大值为3，事件“取得最大值”的概率为（）由题
33、意知的所有取值为0，1，2，30时，只有x2，y2这一种情况，1时，有x1，y1或x2，y1或x2，y3或x3，y3四种情况，2时，有x1，y2或x3，y2两种情况，随机变量的分布列为：0123P数学期望【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查利用概率知识解决实际问题，本题是一个比较好的题目，难易程度适当21（12分）已知点，P是圆N：上的一个动点，N为圆心，线段PM的垂直平分线与直线PN的交点为Q（1）求点Q的轨迹C的方程；（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：ykx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且ADBD证明：直线l经过定点，并写出该定点的坐标
34、【分析】（1）求出圆N的圆心，半径r4，由垂直平分线性质知：|QP|QN|，由椭圆定义知，点Q的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，设，焦距为2c，转化求解即可（2）由已知得D（0，1），由得（1+4k2）x2+8kmx+4m240，利用韦达定理，由ADBD转化求解即可【解答】解：（1）圆N的圆心，半径r4，由垂直平分线性质知：|QP|QN|，故|QM|+|QN|QM|+|QP|r4|MN|，由椭圆定义知，点Q的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，设，焦距为2c，则2a4，a2，所以C的方程为 （5分）（2）由已知得D（0，1），由得（1+4k2）x2+8kmx+4m240，当0时，设A（x1，y1），B
35、（x2，y2），则，（8分）由ADBD得x1x2+（y11）（y21）0，即，所以5m22m30，解得m1或，（10分）当m1时，直线l经过点D，不符合题意，舍去当时，显然有0，直线l经过定点（12分）【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力22（12分）（理科）已知函数f（x）（1+x）22ln（1+x）（1）若存在x00，1使不等式f（x0）m0能成立，求实数m的最小值；（2）若关于x的方程f（x）x2+x+a在0，2上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围【分析】（1）要存在x00，1使得不等式f（x0）m0能成立，只需x0，1时，mf（x）min，利用导数研究函数的
36、单调性，可以得到f（x）在（1，0）上为减函数，f（x）在（0，+）为增函数，即f（x）的最小值为f（0）1，所以m的最小值为1（2）原题设即方程1+x2ln（1+x）a在区间0，2上恰有两个相异实根，令h（x）1+x2ln（1+x），这时只需解出h（x）在0，2上的值域，就可以得出a的取值范围【解答】解：（1）要存在x00，1使得不等式f（x0）m0能成立，只需x0，1时，mf（x）min求导得f（x）2（1+x），定义域为（1，+），当x（1，0）时，f（x）0，函数f（x）在区间（1，0）上是减函数；当x（0，+）时，f（x）0，函数f（x）在区间（0，+）上是增函数f（x）minf（0
37、）1，m1故实数m的最小值为1（2）关于x的方程f（x）x2+x+a在0，2上恰有两个相异实根，即方程1+x2ln（1+x）a在区间0，2上恰有两个相异实根设h（x）（1+x）2ln（1+x），则h（x）由h（x）0，得x1或x1（舍去）；由h（x）0，得1x1h（x）在0，1上递减，在1，2上递增h（）h（2），且h（x）在0，2上连续方程1+x2ln（1+x）a在区间0，2上恰有两个相异实根时，h（1）ah（2）22ln2a32ln3，实数a的取值范围是（22ln2，32ln3）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，本题比较新颖的地方是，求解（2）中的a的取值范围，经过等价变换，只需求h（x）（1+x）2ln（1+x）的值域，从而解出a的取值范围
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