1、2018-2019学年广东省广州市海珠区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Mx|0x+24，N2，3，则MN（）AB2C2D2，22（5分）已知i是虚数单位，复数z1在复平面内对应的向量，则复数的虚部为（）ABCD3（5分）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：经过计算，K26.110，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）面的临界值表供参考：A有97.5%的把握认为服药情况与是否患病之间有关系B有99%的把握认为服药情况与是否患病之间有关系C有9
2、9.5%的把握认为服药情况与是否患病之间有关系D没有理由认为服药情况与是否患病之间有关系4（5分）已知函数，则f（x）的零点为（）A1，2B1，2C2，2D1，2，25（5分）下列说法错误的是（）A相关关系是一种非确定性关系B线性回归方程对应的直线，至少经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）中的一个点C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好6（5分）函数yf（x）的图象如图所示，则导函数yf（x）的图象的大致形状是（）7（5分）已知，则（）ABCD8（5分）定义在R上的偶函
3、数f（x）满足：f（x）f（x2），若f（x）在区间0，1内单调递减，则的大小关系为（）9（5分）我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限转化过程，比如在表达式1+中，“”代表无限次重复，但该表达式是个定值，它可以通过方程1+x（x0）求得x类似上述过程，则（）AB3C2D210（5分）甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是（）A甲B乙C丙D无法预
4、测11（5分）已知正六边形ABCDEF中，G是AF的中点，则（）A+B+C+D+12（5分）已知，be1，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbcaCcabDbac二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.13（5分）已知，且为第二象限角，则tan 14（5分）已知i是虚数单位，复数z（1+i）（a+2i）（aR且a0），若|z|4，则a的值为 15（5分）观察下列等式：11+1+据此规律，第n个等式可为 16（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0，0），对任意xR，f（x+2）f（x），将函数f（x）的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数y
5、f（x）在0，1上的值域为 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值18（12分）已知函数f（x）cos2x2sinxcosxsin2x+1（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在0，上的单调递减区间19（12分）已知函数f（x）x3+ax2+bx1，曲线yf（x）在x1处的切线方程为y8x+1（1）求函
6、数f（x）的解析式；（2）求yf（x）在区间（1，4）上的极值20（12分）某种仪器随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加现对一批该仪器进行调查，得到这批仪器自购入使用之日起，前5年平均每台仪器每年的维护费用大致如表：年份x（年）12345维护费y（万元）0.71.21.62.12.4（1）根据表中所给数据，试建立y关于x的线性回归方程；（2）若该仪器的价格是每台12万元，你认为应该使用满五年换一次仪器，还是应该使用满八年换一次仪器？并说明理由参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：，21（12分）如图，在ABC中，点P在边BC上，PAC60，PC1，AP+AC2（1）求APC；（2
7、）若APB的面积是，求cosB22（12分）已知函数f（x）ax22ax+b（aR，bR，且a，b是常数），（1）若a0，函数f（x）在区间0，3上的最大值是5，最小值是1，求a，b的值；（2）用定义法证明g（x）在其定义域上是减函数；（3）设b2a，若对任意x11，2，x21，2，不等式f（x1）g（x2）恒成立，求实数a的取值范围2018-2019学年广东省广州市海珠区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Mx|0x+24，N2，3，则MN（）AB2C2D2，2【分析】
8、先求出集合M，N，由此能求出MN【解答】解：集合Mx|0x+24x|2x2，N2，3，MN2故选：B【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）已知i是虚数单位，复数z1在复平面内对应的向量，则复数的虚部为（）ABCD【分析】由已知求得z1，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由题意，z12+i，则，复数的虚部为故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5分）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：患病未患病总计服用药104555没服用药2030
9、50总计3075105经过计算，K26.110，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）面的临界值表供参考：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A有97.5%的把握认为服药情况与是否患病之间有关系B有99%的把握认为服药情况与是否患病之间有关系C有99.5%的把握认为服药情况与是否患病之间有关系D没有理由认为服药情况与是否患病之间有关系【分析】直接由K2的值结合临界值表得结论【解答】解：K26.110（5.024，6.635），有97.5%的把握认为服药情况与是否患病之间有关系故
10、选：A【点评】本题考查独立性检验，是基础题4（5分）已知函数，则f（x）的零点为（）A1，2B1，2C2，2D1，2，2【分析】分段求解指数方程与对数方程即可得到f（x）的零点【解答】解：当x2时，由ex110，解得x1；当x2时，由，得，即x213，解得x2f（x）的零点为1，2故选：A【点评】本题考查函数零点的判定及求法，考查指数方程与对数方程的解法，是中档题5（5分）下列说法错误的是（）A相关关系是一种非确定性关系B线性回归方程对应的直线，至少经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）中的一个点C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D在回
11、归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【分析】由相关关系是一种非确定关系可判断A；由线性回归直线方程经过样本中心，不一定过样本点，可判断B；由残差图的特点可判断C；由回归直线的特点可判断D【解答】解：相关关系是一种非确定性关系，故A正确；线性回归方程对应的直线，不一定经过其样本数据点，一定经过样本中心，故B错误；在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故C正确；回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，故D正确故选：B【点评】本题考查线性回归直线方程和残差图的特点、回归分析中拟合效果，考查判断能力，属于基础题6（5
12、分）函数yf（x）的图象如图所示，则导函数yf（x）的图象的大致形状是（）ABCD【分析】由原函数的单调性得到导函数的函数值的符号，由此逐一核对四个选项即可得到答案【解答】解：因为函数f（x）的图象先减后增然后为常数函数，所以对应的导函数的值先负后正，最后等于0，由此可得满足条件的图象是D故选：D【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的单调性和导函数的函数值符号间的关系，是基础题7（5分）已知，则（）ABCD【分析】把已知等式两边平方，求得sin2x，然后利用诱导公式求解的值【解答】解：由，得，即sin2xcos（）sin2x故选：B【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关
13、系式及诱导公式的应用，是基础题8（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x）f（x2），若f（x）在区间0，1内单调递减，则的大小关系为（）ABCD【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化，结合函数单调性的性质进行比较即可得到结论【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x）f（x2），f（x+2）f（x），则f（）f（+2）f（），f（）f（2）f（）f（），f（x）在区间0，1内单调递减，f（）f（）f（1），即f（）f（）f（1）故选：D【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性，周期性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键，考查了函数思想和转化思想，属基础题9（
14、5分）我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限转化过程，比如在表达式1+中，“”代表无限次重复，但该表达式是个定值，它可以通过方程1+x（x0）求得x类似上述过程，则（）AB3C2D2【分析】设x，x0，则x，从而2+xx2，由此能求出的值【解答】解：设x，x0，则x，2+xx2，解得x1（舍）或x22故选：C【点评】本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解答此题的关键是类比推理出x，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10（5分）甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具
15、体名次未知3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是（）A甲B乙C丙D无法预测【分析】若甲正确，则乙、丙均错误，从而可得甲为第三名，且乙、丙中必有一人正确，一人错误，再假设丙错误（则乙正确），可导出矛盾，从而可得丙为第二名，故得答案【解答】解：若甲正确，则乙、丙均错误，故丙是第一名，乙是第二名，甲是第三名，与“甲说：我不是第三名”正确相矛盾，故甲错误，因此，甲为第三名；于是乙、丙中必有一人正确，一人错误若丙错误（则乙正确），即丙是第一名，而甲是第三名，故乙是第二名，与乙正确“我是第三名”矛盾，故丙
16、正确，即丙不是第一名，为第二名；由得：获得第一名的是：乙故选：A【点评】本题考查简单的合情推理，逻辑性较强，要认真分析11（5分）已知正六边形ABCDEF中，G是AF的中点，则（）A+B+C+D+【分析】选，为基向量，将，用基向量表示后可得【解答】解：+2；2；（），+2故选：C【点评】本题考查了平面向量基本定理，属中档题12（5分）已知，be1，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbcaCcabDbac【分析】可以得出，可令，从而求出，从而判断出f（x）在e，+）上单调递减，这样即可得出f（e）f（5）f（8），从而得出a，b，c的大小关系【解答】解：；令，则，则f（x）在e，+）上单调递
17、减；f（e）f（5）f（8）；bac故选：D【点评】考查对数的运算性质，构造函数解决问题的方法，以及根据导数符号判断函数单调性的方法二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.13（5分）已知，且为第二象限角，则tan【分析】由已知求得sin，进一步得到cos，再由商的关系求得tan【解答】解：由知，得sin，即sin为第二象限角，cos则tan故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题14（5分）已知i是虚数单位，复数z（1+i）（a+2i）（aR且a0），若|z|4，则a的值为2【分析】利用复数代数形式的乘除
18、运算化简，再由复数模的计算公式列式求解【解答】解：z（1+i）（a+2i）（a2）+（a+2）i，且|z|4，解得a2，又a0，a2故答案为：2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题15（5分）观察下列等式：11+1+据此规律，第n个等式可为+【分析】由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为其等式右边为后n项的绝对值之和即可得出【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为其等式右边为后n项的绝对值之和第n个等式为：+【点评】本题考查了观察分析猜想归纳求数列的通项公式方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16（5分）已知函数
19、f（x）sin（x+）（0，0），对任意xR，f（x+2）f（x），将函数f（x）的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数yf（x）在0，1上的值域为【分析】先由周期性求得，由平移求得，再求三角函数在区间上的值域【解答】解：由任意xR，f（x+2）f（x），知函数f（x）的周期为4，即f（x）sin（x+）将函数f（x）的图象向右平移个单位后，所得：ysin（+），由其图象关于原点中心对称，故sin（）00，故f（x）sin（x+）x0，1，f（x），即函数f（x）在0，1上的值域为故答案为：【点评】本题考查三角函数的性质，求出三角函数的解析式是解题关键三、解答题：本大题共6小
20、题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值【分析】（1）直接把直线参数方程中此时t消去，可得直线的普通方程，把右边展开两角和的正弦，再两边同时乘以，得22cos+2sin，结合x2+y22，xcos，ysin，可得曲线C的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，然后利用根与系数的关系及此时t的几何意义求解【解答】解
21、：（1）由直线l的参数方程（t为参数），消去参数t得y2（x1），即直线l普通方程为2xy20对于曲线C，由，得2cos+2sin，22cos+2sin，x2+y22，xcos，ysin，曲线C的直角坐标方程为x2+y22x2y0；（2）将代入C的直角坐标方程x2+y22x2y0，整理得，【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是参数方程中此时t的几何意义的应用，是中档题18（12分）已知函数f（x）cos2x2sinxcosxsin2x+1（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在0，上的单调递减区间【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由
22、辅助角公式化积，则函数的周期与最大值可求；（2）直接利用复合函数的单调性求函数f（x）在0，上的单调递减区间【解答】解：（1）f（x）cos2x2sinxcosxsin2x+1cos2xsin2x2sinxcosx+1cos2xsin2x+1函数f（x）的最小正周期为T，函数f（x）的最大值为；（2）由，kZ，得，kZ函数f（x）的单调递减区间为，kZ；又x0，f（x）在0，上的单调递减区间为0，【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查yAsin（x+）型函数的图象和性质，是中档题19（12分）已知函数f（x）x3+ax2+bx1，曲线yf（x）在x1处的切线方程为y8x+1（1）求函数f（
23、x）的解析式；（2）求yf（x）在区间（1，4）上的极值【分析】（1）求出函数的导数，利用切线的斜率列出方程，切点在切线上也在曲线上，列出方程，求解a，b即可（2）利用导函数切线极值点，判断函数的单调性推出函数的极值即可【解答】解：（1）因为f（x）x3+ax2+bx1，所以，f（x）3x2+2ax+b所以，曲线yf（x）在x1处的切线方程的斜率又因为k8，所以，2a+b11又因为f（1）1+a+b181+1所以，a+b7联立解得a4，b3所以，f（x）x34x23x1（2）由（1）知，令f（x）0得，当，f（x）0，f（x）单调递增；当，f（x）0，f（x）单调递减；当3x4，f（x）0，f
24、（x）单调递增所以f（x）在区间（1，4）上的极小值为f（3）19，极大值为【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的切线方程的应用，考查转化思想以及计算能力20（12分）某种仪器随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加现对一批该仪器进行调查，得到这批仪器自购入使用之日起，前5年平均每台仪器每年的维护费用大致如表：年份x（年）12345维护费y（万元）0.71.21.62.12.4（1）根据表中所给数据，试建立y关于x的线性回归方程；（2）若该仪器的价格是每台12万元，你认为应该使用满五年换一次仪器，还是应该使用满八年换一次仪器？并说明理由参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数
25、公式：，【分析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；（2）分别求出使用满五年换一次仪器与使用满八年换一次仪器每年每台设备的平均费用，半径大小得答案【解答】解：（1），回归方程为；（2）若满五年换一次仪器，则每年每台仪器的平均费用为：（万元）若满八年换一次设备，则每年每台设备的平均费用为：（万元）y1y2，满八年换一次仪器更有道理【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，是中档题21（12分）如图，在ABC中，点P在边BC上，PAC60，PC1，AP+AC2（1）求APC；（2）若APB的面积是，求cosB【分析】（1）在APC中，由已知利用余弦定理得AP22AP+10，解得AP1，结
26、合AC1，可得APC是等边三角形，即可得解APC60（2）法1：由APC60，可得APB120利用三角形的面积公式可求PB2，在APB中，由余弦定理可求，在APB中，由正弦定理得可求sinB，根据同角三角函数基本关系式可求cosB；法2：作ADBC，垂足为D，由APC是边长为1的等边三角形，可求，利用三角形的面积公式，勾股定理，三角函数的定义即可求解【解答】解：（1）在APC中，因为PAC60，PC1，AP+AC2由余弦定理得PC2AP2+AC22APACcosPAC，12AP2+（2AP）22AP（2AP）cos60，整理得AP22AP+10，解得AP1，所以，AC1，所以，APC是等边三角
27、形，所以，APC60（2）法1：因为APC60，所以APB120因为APB的面积是，所以，所以，PB2，在APB中，AB2AP2+PB22APPBcosAPB12+22212cos1207所以，在APB中，由正弦定理得，易知角B为锐角，法2：作ADBC，垂足为D，因为APC是边长为1的等边三角形，所以，因为APB的面积是，所以，得PB2，在RtADB中，所以，在RtADB中，【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，勾股定理以及三角函数的定义在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题22（12分）已知函数f（x）ax22ax+b（aR
28、，bR，且a，b是常数），（1）若a0，函数f（x）在区间0，3上的最大值是5，最小值是1，求a，b的值；（2）用定义法证明g（x）在其定义域上是减函数；（3）设b2a，若对任意x11，2，x21，2，不等式f（x1）g（x2）恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）可得f（x）maxf（1）a+b5f（x）minf（3）3a+b1.解得a1，b4即可（2）设x11，x21，且x1x2g（x1）g（x2）0，即g（x1）g（x2）即可证明（3）对任意x11，2，x21，2，不等式f（x1）g（x2）恒成立，等价于f（x）ming（x）max 分a0，a0，a0体力即可，【解答】解：（1）函数f
29、（x）ax22ax+b（a0）的对称轴是x1因为a0，所以，函数f（x）ax22ax+b在区间0，1上是增函数，在区间1，3上是减函数所以，f（x）maxf（1）a+b5又分析知，f（x）minf（3）3a+b1.联立解得a1，b4（2）函数g（x）的定义域为（1，+）设x11，x21，且x1x2g（x1）g（x2）因为x11，x21，且x1x2，又有，所以，所以，g（x1）g（x2）0，即g（x1）g（x2）所以，函数g（x）在其定义域上是减函数（3）对任意x11，2，x21，2，不等式f（x1）g（x2）恒成立，所以，f（x）ming（x）max由（2）知在区间1，2上是减函数，且若a0，则f（x）ax22ax+2a在区间1，2上是增函数，所以，f（x）minf（1）a，所以，a0若a0，则f（x）0，f（x）minh（x）max显然成立；若a0，则f（x）ax22ax+2a在区间1，2上是减函数，所以，f（x）minf（2）2a，综上，实数a的取值范围是【点评】本题考查了二次函数的性质应用，考查了函数的单调性属于难题
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