1、74几何问题的代数解法基础过关1已知ABC的三个顶点是A(5，5)，B(1，4)和C(4，1)，则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案B解析|AB|，|BC|3，|AC|，|AB|AC|，ABC为等腰三角形2方程y表示的曲线是()A一条射线 B一个圆 C两条射线 D半个圆答案D解析由y得x2y225.y0, 曲线表示半个圆3点M，N在x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线xy10对称，则该圆的半径为()A2 B. C1 D3答案D解析由M，N两点关于直线xy10对称，可知直线xy10过圆心(，1)，k4，圆的方程即为(x2)2(y1)29，r3.4
2、点P是直线2xy100上的动点，直线PA，PB分别与圆x2y24相切于A，B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值为()A24 B16 C8 D4答案C解析四边形PAOB的面积S2|PA|OA|22，当直线OP垂直直线2xy100时，|OP|min2.此时，四边形PAOB的面积的最小值为28.5已知直线x2y30与圆(x2)2(y3)29相交于E，F两点，圆心为C，则CEF的面积为_答案2解析圆心(2，3)到直线x2y30的距离为d，|EF|224，SCEF42.6已知xy10，那么的最小值是_答案2解析表示点P(x，y)和点(2，3)的距离，则的最小值为点(2，3)到直线xy1
3、0的距离d2.7有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A，B两地距离10 km，顾客选A或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A，B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点解如图，以A，B所确定的直线为x轴，线段AB中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则A(5，0)，B(5，0)，设某地P的坐标为(x，y)，假设居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费3a元/千米，B地的运费为a元/千米，则价格xA地运费价格xB地运费，3aa.a0，3.
4、化简为(x)2y2()2.以点C为圆心，为半径的圆是这两条购货区域的分界线圆C内的居民，从A地购货便宜，圆C外的居民，从B地购货便宜，圆C上的居民，从A，B两地购货的总费用相等，因此可随便从A，B两地之一购货能力提升8台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心不超过30 km地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间是()A0.5 h B1 hC1.5 h D2 h答案B解析如图所示，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40，0)，以B为圆心，30为半径的圆的方程为(x40)2y2302，台风中心移动到圆B内时，B城市将
5、处于危险区，台风移动所在直线方程为yx，它与圆B的相交弦为MN，则可求得|MN|220 (km)，1 (h)，所以B城市位于危险区内的时间为1 h.9一束光线从点A(1，1)出发经x轴反射到圆(x2)2(y3)21上的最短距离为_答案4解析A关于x轴的对称点为A(1，1)，A与圆心的距离为5，故所求最短距离为514.10两圆相交于两点(1，3)和(m，1)，两圆圆心都在直线xyc0上，则mc的值为_答案3解析由平面几何性质知：两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，则1，得m5，弦中点坐标为(3，1)，31c0，得c2，mc3.11已知x，y满足x2y22x4y0，求x2y的最大
6、值解设x2yb，则点(x，y)既在直线x2yb上，又在圆x2y22x4y0上，即直线x2yb和圆(x1)2(y2)25有公共点，故圆心(1，2)到x2yb0的距离小于或等于半径，所以，即|b5|5，所以0b10，即x2y的最大值是10.创新突破12若圆x2y24x4y100上至少有三个不同点到直线l：axby0(b0)的距离为2，求直线l斜率的取值范围解圆x2y24x4y100可整理为(x2)2(y2)2(3)2，圆心坐标为C(2，2)，半径为r3.要使圆上至少有三个不同的点到直线l：axby0的距离为2，则圆心到直线的距离d满足d，()24()10，22.k，2k2，直线axby0的斜率范围
7、是2，213已知点P(x，y)在圆x2y26x6y140上(1)求的最大值和最小值；(2)求x2y22x3的最大值与最小值；(3)求xy的最大值与最小值解圆x2y26x6y140变形为(x3)2(y3)24，故圆心为C(3，3)，半径r2.如图所示(1)表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小设切线方程为ykx，即kxy0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得2，解得k，所以，的最大值为，最小值为.(2)x2y22x3(x1)2y22，它表示圆上的点P到E(1，0)的距离的平方再加2，所以，当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P与点E的距离的最大值为|CE|2，点P与点E距离的最小值为|CE|2，又|CE|5，所以x2y22x3的最大值为(52)2251，最小值为(52)2211.(3)设xyb，则b表示动直线yxb的纵截距，显然当动直线yxb与圆(x3)2(y3)24相切时，b取最大值或最小值此时圆心C(3，3)到切线xyb的距离等于圆的半径2，则2，即|b6|2，解得b62，所以，xy的最大值为62，最小值为62.
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