1、9.3等比数列(二)学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断是否成等比数列的方法知识链接在等差数列an中,通项公式可推广为aman(mn)d,并且若mnpq,则anamapaq(n,m,p,qN*),特别地,若mn2p,则anam2ap.那么,在等比数列中又有哪些类似的性质?预习导引1等比数列的第二通项公式等比数列的通项公式为:ana1qn1,推广形式为:anamqnm(n,mN*)2等比数列的性质(1)如果mnkl,则有amanakal,(2)如果mn2k时,amana.(3)若m,n,p成等差数列,am,an,ap成等比数列(4)在等比数列
2、an中,每隔k项(kN*)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列(5)如果an,bn均为等比数列,且公比分别为q1,q2,那么数列,anbn,|an|仍是等比数列,且公比分别为,q1q2,|q1|.(6)等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1ana2an1akank1.题型一等比数列性质的应用例1已知数列an为等比数列(1)若an0,且a2a42a3a5a4a636,求a3a5的值;(2)若前三项的和为168,a2a542,求a5,a7的等比中项解(1)a2a42a3a5a4a636,a2a3a5a36,(a3a5)236,
3、又an0,a3a56.(2)设该等比数列的公比为q,首项为a1,a2a542,q1.由已知,得1q3(1q)(1qq2)由除以,得q(1q),q.a196.若G是a5,a7的等比中项,则应有G2a5a7a1q4a1q6aq10962()109.a5,a7的等比中项是3.规律方法在等比数列的有关运算中,常常涉及次数较高的指数运算若按常规解法,往往是建立a1,q的方程组,这样解起来很麻烦,通过本例可以看出:结合等比数列的性质进行整体变换,会起到化繁为简的效果跟踪演练1在等比数列an中,a6a15a9a1230,则前20项的积等于_答案1510解析数列an成等比数列,a6a15a9a1215,a1a
4、2a3a4a20(a1a20)10(a6a15)101510.题型二灵活设项求解等比数列例2有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数解方法一设四个数依次为ad,a,ad,由条件得解得或所以,当a4,d4时,所求四个数为0,4,8,16;当a9,d6时,所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二设四个数依次为a,a,aq(a0,q0),由条件得解得或当a8,q2时,所求四个数为0,4,8,16;当a3,q时,所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,1
5、6或15,9,3,1.规律方法合理地设出所求数中的三个,根据题意得出另一个是解决这类问题的关键,一般地,三个数成等比数列,可设为,a,aq;三个数成等差数列,可设为ad,a,ad.跟踪演练2三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2,则新的三个数成等差数列,求这三个数解设三个数依次为,a,aq,aaq512,a8.(aq2)2a,2q25q20,q2或q,这三个数为4,8,16或16,8,4.题型三等比数列的实际应用例3某市2010年新建住房400万平方米,其中250万平方米是中低价房,预计今年后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中
6、低价房的面积比上一年增加50万平方米,那么到哪一年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.解(1)设中低价房面积构成数列an,由题意可知,an是等差数列,其中a1250,d50,则Sn250n5025n2225n;令25n2225n4 750,即n29n1900,解得n19或n10,而n是正整数n10.故到2019年年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米(2)设新建住房面积构成数列bn,由题意可知,bn是等比数列,其中b1400,q1.0
7、8,则bn400(1.08)n1,由题意可知an0.85bn,即250(n1)50400(1.08)n10.85满足上述不等式的最小正整数n6.故到2015年年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.规律方法本题将实际问题抽象出一个数列问题,解决数列应用题的关键是读懂题意,建立数学模型,弄清问题的哪一部分是数列问题,是哪种数列在求解过程中应注意首项的确立,时间的推算不要在运算中出现问题跟踪演练3始于2007年初的美国金融危机,至2008年中期,已经演变为全球金融危机受此拖累,国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌,9月跌至每桶97美元你能求出7
8、月到9月平均每月下降的百分比吗?若按此计算,到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解设每月平均下降的百分比为x,则每月的价格构成了等比数列an,记:a1147(7月份价格),则8月份价格:a2a1(1x)147(1x);9月份价格:a3a2(1x)147(1x)2.147(1x)297,解得x18.8%.an147(118.8%)n1,又a734,a80,且a1a1027,log3a2log3a9等于()A9 B6 C3 D2答案C解析因为a2a9a1a1027,log3a2log3a9log3273.3在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为_答案8解析设这8个数
9、组成的等比数列为an,则a11,a82. 插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a1a8)3238.4已知an2n3n,判断数列an是否是等比数列?解不是等比数列a121315,a2223213,a3233335,a1a3a,数列an不是等比数列课堂小结1判断一个数列是否是等比数列的常用方法有:(1)定义法;(2)等比中项法; (3)通项公式法2等比数列的单调性(1)当q1,a10或0q1,a11,a10或0q0时,等比数列an是递减数列(3)当q1时,等比数列an是常数列(4)当q0时,等比数列an是摆动数列3巧用等比数列的性质,减少计算量,这一点在解题中也非常重要