1、9.2等差数列(四)基础过关1若数列an的前n项和Snn21,则a4等于()A7B8C9D17答案A解析a4S4S3(421)(321)7.2在等差数列an和bn中,a125,b175,a100b100100,则数列anbn的前100项的和为()A10000B8000C9000D11000答案A解析由已知得anbn为等差数列,故其前100项的和为S10050(2575100)10000.3若an为等差数列,Sn为其前n项和,若首项a17,公差d2,则使Sn最大的序号n为()A2B3C4D5答案C解析等差数列an的首项为7、公差为2,Sn7n(2)n28n(n4)216,当n4时,前n项和Sn有
2、最大值故答案选C.4一个等差数列的项数为2n,若a1a3a2n190,a2a4a2n72,且a1a2n33,则该数列的公差是()A3B3C2D1答案B解析(a2a4a2n)(a1a3a2n1) nd729018.又a1a2n(2n1)d33,所以d3.5已知等差数列an中,|a5|a9|,公差d0,则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是_答案6或7解析由|a5|a9|且d0得,a50且a5a902a112d0a16d0,即a70,故S6S7且最小6设Sn为等差数列an的前n项和,若a41,S510,则当Sn取得最大值时,n的值为_答案4或5解析由解得a5a14d0,S4S5同时最大n4
3、或5.7.记Sn为等差数列an的前n项和,已知a17,S315.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解(1)设an的公差为d,由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以当n4时,Sn取得最小值,最小值为16.能力提升8已知数列an的前n项和Snn29n,第k项满足5ak8,则k为()A9B8C7D6答案B解析由anan2n10.由52k108,得7.5k0,a2 018a2 0190,a2 018a2 0190成立的最大自然数n是_.答案4 036解析由条件可知数列单调递减,且a2 0180,a2
4、 0190,S4 0374 037a2 0190成立的最大自然数n是4 036.11已知等差数列an中,若S216,S424,求数列|an|的前n项和Tn.解由S216,S424,得即解得所以等差数列an的通项公式为an112n (nN*)当n5时,Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n.当n6时,Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an2S5Sn2(52105)(n210n)n210n50,故Tn12数列an的各项都为正数,且满足Sn(nN*),求数列的通项公式解方法一(消Sn):由Sn(nN*),得4an14(Sn1Sn)(an11)2(an1)2化简得(an1an)(
5、an1an2)0,因为an0,an1an2,又4S14a1(a11)2得a11,故an是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an2n1.方法二(消an):由Sn(nN*),得2an1,2SnSn11(n2),化简可得(1)2Sn1,(1)(1)0,由4S1(S11)2得S1a11,又an的各项都为正数,所以22,所以1.即是以1为首项,以1为公差的等差数列,所以n,从而Snn2,所以anSnSn12n1(n2),而a11也适合,故an2n1.创新突破13已知数列an,anN*,Sn是其前n项和,Sn(an2)2.(1)求证an是等差数列;(2)设bnan30,求数列bn的前n项和的最小值(1)证明当n1时,a1S1(a12)2,解得a12.当n2时,anSnSn1(an2)2(an12)2,即8an(an2)2(an12)2,整理得,(an2)2(an12)20,即(anan1)(anan14)0.anN*,anan10,anan140,即anan14(n2)故an是以2为首项,4为公差的等差数列(2)解设bn的前n项和为Tn,bnan30,且由(1)知an2(n1)44n2,bn(4n2)302n31,故数列bn是单调递增的等差数列令2n310,得n15,nN*,当n15时,bn0,即b1b2b150b16b17,当n15时,Tn取得最小值,最小值为T1515225.