1、2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.知识点直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离为ddr代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式000，该方程组有两组不同的实数解，即直线l与圆C相交.方法二(几何法)圆心(7,1)到直线l的距离为d2.d1，所以点A在圆外.若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x
2、4)，即kxy4k30.设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切线方程为xy30，即15x8y360.若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离为1，这时直线x4与圆相切，所以另一条切线方程为x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.引申探究若本例的条件不变，求其切线长.解因为圆心C的坐标为(3,1)，设切点为B，则ABC为直角三角形，|AC|，又|BC|r1，则|AB|4，所以切线长为4.反思感悟求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目.(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆
3、的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为yy0或xx0.(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.跟踪训练2(1)过圆x2y22x4y0上一点P(3,3)的切线方程为()A.2xy90 B.2xy90C.2xy90 D.2xy90考点圆的切线问题题点求圆的切
4、线方程答案B解析x2y22x4y0的圆心为C(1,2)，kPC，切线的斜率k2，切线方程为y32(x3)，即2xy90.(2)由直线yx1上任一点向圆(x3)2y21引切线，则该切线长的最小值为()A.1 B.2 C. D.3答案C解析圆心C(3,0)到yx1的距离d2.所以切线的最小值为l.(3)过点P(2,3)且与圆(x1)2(y2)21相切的直线的方程为_.考点圆的切线问题题点求圆的切线方程答案x2或y3解析P(2,3)在圆(x1)2(y2)21外，过点P(2,3)与圆(x1)2(y2)21相切的直线有两条.当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y3k(x2)即kxy32k0，1，
5、k0，切线方程为y3，当斜率不存在时，切线方程为x2.弦长问题典例(1)过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135，则弦AB的长为_.考点圆的弦长问题题点求圆的弦长答案解析由题意知直线l的方程为y2(x1)，即xy10，圆心O(0,0)到直线l的距离为d，则有|AB|22.(2)圆心为C(2，1)，截直线yx1的弦长为2的圆的方程为_.考点圆的弦长问题题点直线和圆相交求圆的方程答案(x2)2(y1)24解析设圆的半径为r，由条件，得圆心到直线yx1的距离为d.又直线yx1被圆截得的弦长为2，即半弦长为，r2224，得r2，所求圆的方程为(x2)2(y1)
6、24.(3)如果一条直线经过点M且被圆x2y225所截得的弦长为8，求这条直线的方程.考点圆的弦长问题题点直线和圆相交求直线方程解圆x2y225的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l8，所以弦心距d3.因为圆心O(0,0)到直线x3的距离恰为3，所以直线x3是符合题意的一条直线.设直线yk(x3)也符合题意，即圆心到直线kxy0的距离等于3，于是3，解得k.故直线的方程为3x4y150.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x3和3x4y150.素养评析(1)求直线与圆相交时的弦长有三种方法交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|求解.弦
7、长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|(直线l的斜率k存在且不为0).几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2d2r2，即|AB|2.通常采用几何法较为简便.(2)对于弦长的计算要充分利用圆的几何性质，所以这类题目充分考查了数学运算与直观想象的数学核心素养.1.直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A.相切 B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心 D.相离考点直线与圆的位置关系题点判断直线与圆的位置关系答案B解析圆心(0,0)到直线yx1的距离d1，
8、直线与圆x2y21相交，又圆心(0,0)不在yx1上，直线与圆相交但直线不过圆心.2.若直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是()A.2或12 B.2或12C.2或12 D.2或12考点直线与圆的位置关系题点根据直线与圆的位置关系求参数的值答案D解析圆的方程为x2y22x2y10，可化为(x1)2(y1)21，由圆心(1,1)到直线3x4yb0的距离为1，得b2或12，故选D.3.对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是()A.相离 B.相切C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心考点直线与圆的位置关系题点判断直线与圆的位置关系答案C解析直线ykx1恒过定
9、点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2y22内，知直线ykx1与圆x2y22一定相交.又直线ykx1不过圆心(0,0)，则位置关系是相交但直线不过圆心，故选C.4.过原点的直线与圆x2y22x4y40相交所得弦的长为2，则该直线的方程为_.考点圆的弦长问题题点直线和圆相交求直线方程答案2xy0解析由题意知，直线斜率存在.设所求直线方程为ykx，即kxy0.由于直线kxy0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于0，即圆心(1,2)位于直线kxy0上.于是有k20，即k2，因此所求直线方程是2xy0.5.过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦长为_.考点圆的弦长问题题点求圆的弦长答案2解析设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|.半弦长.最短弦长为2.1.判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数.两者相比较，前者较形象、直观，便于运算.2.与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解.
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