1、7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式,会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧.知识点一柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱、棱柱V柱体ShS柱体底面积,h柱体的高锥体圆锥、棱锥V锥体ShS锥体底面积,h锥体的高台体圆台、棱台V台体(S上S下)hS上、S下台体的上、下底面面积,h高知识点二柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系VShV(SS)hVSh.1.锥体的体积等于底面面积与高之积.()2.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()题型一多面体的体积例1如图是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1,D是棱B
2、C的中点.正三棱柱的主视图如图,求正三棱柱ABCA1B1C1的体积.解由主视图可知,在正三棱柱中,AD,AA13,从而在等边三角形ABC中,AB2,所以正三棱柱的体积VShBCADAA1233.反思感悟求几何体体积的四种常用方法(1)公式法:规则几何体直接代入公式求解.(2)等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.跟踪训练1一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.
3、 B. C. D.答案D解析如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,截去三棱锥A1AB1D1.设正方体的棱长为a,则a3a3,故剩余几何体的体积为a3a3a3,所以比值为,故选D.题型二旋转体的体积例2(1)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_m3.答案解析由所给三视图可知,该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成,底面半径为1 m,圆锥的高为1 m,圆柱的高为2 m,因此该几何体的体积V2121122(m3).(2)体积为52 cm3的圆台,一个底面面积是另一个底面面积的9倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积为()A.54 cm3 B.54 cm3 C.58 c
4、m3 D.58 cm3答案A解析由底面面积之比为19知,体积之比为127.截得的小圆锥与圆台体积比为126,小圆锥的体积为2 cm3,故原来圆锥的体积为54 cm3,故选A.反思感悟要充分利用旋转体的轴截面,将已知条件尽量归结到轴截面中求解,分析题中给出的数据,列出关系式后求出有关的量,再根据几何体的体积公式进行运算、解答.(1)求台体的体积,其关键在于求高,在圆台中,一般把高放在等腰梯形中求解.(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想,作出截面图,将空间问题平面化,是解决此类问题的关键.跟踪训练2设圆台的高为3,如图,在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60,轴截面中的一条对角
5、线垂直于腰,则圆台的体积为_.答案21解析设上,下底面半径,母线长分别为r,R,l.如图,作A1DAB于点D,则A1D3,A1AB60,又BA1A90,BA1D60,AD,Rr.BDA1Dtan 603,Rr3. R2,r,而h3.V圆台h(R2Rrr2)3(2)22()221.圆台的体积为21.等积变换法求几何体的体积典例如图,已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1D1EF的体积.考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积解由题可知 EA1A1D1a2,又三棱锥FA1D1E的高为CDa,aa2a3,a3.引申探究本例中条件改为点F为CC
6、1的中点,其他条件不变,如图,求四棱锥A1EBFD1的体积.解因为EBBFFD1D1Ea,D1FEB,所以四边形EBFD1是菱形.连接EF,则EFBFED1.因为三棱锥A1EFB与三棱锥A1FED1的高相等,所以又因为EA1ABa2,所以a3,所以a3.1.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则该棱台的体积是()A.186 B.62C.24 D.18答案B解析V(24)362.2.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图),则三棱锥B1ABC的体积为()A. B.C. D.考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案D解析VSh3.3.圆锥的轴截面是等腰直角三角
7、形,侧面积是16,则圆锥的体积是()A. B. C.64 D.128考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案B解析设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意知2r,即lr,S侧rlr216,解得r4.l4,圆锥的高h4,圆锥的体积为VSh424.4.某几何体的三视图如图所示,其体积为_.答案解析由三视图可知该几何体是半个圆锥,则该几何体的体积为122.5.如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6 cm,高为20 cm的圆锥形铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降_cm.答案0.6解析将铅锤取出后,水面下降部分实际是圆锥的体积.设水面下降的高度为x cm,则2x220,得x0.6 cm.1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V柱体ShV台体h(SS)V锥体Sh.2.在三棱锥ABCD中,若求点A到平面BCD的距离h,可以先求VABCD,h.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离,其中V一般用换顶点法求解,即VABCDVBACDVCABDVDABC,求解的原则是V易求,且BCD的面积易求.3.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.