5.1 平行关系的判定 学案（含答案）

1、5平行关系5.1平行关系的判定学习目标1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.知识点一直线与平面平行的判定定理表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行a思考如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在内)和平面有何位置关系？答案平行.知识点二平面与平面平行的判定

2、定理表示定理图形文字符号平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行1.若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.()2.若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线平行.()3.若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.()4.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.()题型一直线与平面平行的判定例1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF平面AD1G.证明连接BC1(图略)，在BCC1中，E，F分别为BC，CC

3、1的中点，EFBC1，又ABA1B1D1C1，且ABA1B1D1C1，四边形ABC1D1是平行四边形，BC1AD1，EFAD1，又EF平面AD1G，AD1平面AD1G，EF平面AD1G.反思感悟利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.跟踪训练1如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN平面PAD.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明如图，取PD的中点G，连接GA，GN.G，N分别是PDC的边PD，PC的中点，GNDC，GNDC.M为平行四

4、边形ABCD的边AB的中点，AMDC，AMDC，AMGN，AMGN，四边形AMNG为平行四边形，MNAG.又MN平面PAD，AG平面PAD，MN平面PAD.题型二平面与平面平行的判定例2如图，在四棱锥PABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DCAB，求证：平面PAB平面EFG.证明E，G分别是PC，BC的中点，EGPB， 又EG平面PAB，PB平面PAB，EG平面PAB，E，F分别是PC，PD的中点，EFCD，又ABCD，EFAB，EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB，又EFEGE，EF，EG平面EFG，平面EFG平面PAB.反思感悟两个平面平行的判定定理是确定面面平行

5、的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.跟踪训练2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面.(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1GEB且A1GEB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BC

6、HG，A1E平面BCHG.A1EEFE，A1E，EF平面EFA1，平面EFA1平面BCHG.平行中探索存在性问题典例在三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明解如图，取线段AB的中点为M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点.由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以MDAC且MDAC，OEAC且OEAC，因此MDOE且MDOE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO.因

7、为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.素养评析(1)平行中探索存在性问题的判定，多出现在解答题中.证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系.(2)掌握推理的基本形式和规则，探索和表述论证过程，有逻辑地表达与交流是逻辑推理的数学核心素养.1.在正方体ABCDABCD中，E，F分别为底面ABCD和底面ABCD的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个考点直线与平面平行的

8、判定题点直线与平面平行的判定答案D解析由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB，平面BC，平面CD，平面AD均平行.故与EF平行的平面有4个.2.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面()A.有且只有一个 B.有无数多个C.至多一个 D.不存在考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案A解析在直线a上任选一点A，过点A作bb，则b是唯一的，因为abA，所以a与b确定一个平面并且只有一个平面.3.在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1H

9、G1与平面EH1G考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案A解析如图，EGE1G1，EG平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，EG平面E1FG1.又G1FH1E，同理可证H1E平面E1FG1，又H1EEGE，H1E，EG平面EGH1，平面E1FG1EGH1.4.经过平面外两点，作与平行的平面，则这样的平面可以作()A.1个或2个 B.0个或1个C.1个 D.0个考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案B解析当经过两点的直线与平面平行时，可作出一个平面，使.当经过两点的直线与平面相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面相交，不能作出与平面平行的

10、平面.故满足条件的平面有0个或1个.5.已知在三棱锥PABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是_.考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案平行解析在PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DEAB.又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE平面ABC.同理可证EF平面ABC.又DEEFE，DE，EF平面DEF，所以平面DEF平面ABC.1.判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作).(2)判定定理法：a，b，aba.(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内.2.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.