7.3 球的表面积和体积 学案（含答案）

1、7.3球的表面积和体积学习目标1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.2.会求解组合体的体积与表面积.知识点一球的截面用一个平面去截半径为R的球O的球面得到的是圆，有以下性质：(1)若平面过球心O，则截线是以O为圆心的球的大圆.(2)若平面不过球心O，如图，设OO，垂足为O，记OOd，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OOOP，则有OP，即此时截线是以O为圆心，以r为半径的球的小圆.知识点二球的切线1.定义：与球只有唯一公共点的直线叫作球的切线.如图，l为球O的切线，M为切点.2.性质：(1)球的切线垂直于过切点的半径；(2)过球外一点的所有切线的长度都相等.知识点

2、三球的表面积与体积公式条件球的半径为R表面积公式S4R2体积公式VR31.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.()2.两个球的半径之比为12，则其体积之比为14.()3.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.()4.球的体积是关于球半径的一个函数.()题型一球的表面积与体积例1(1)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_.答案3解析由三视图知该几何体为半球，则其表面积为412123.(2)已知球的表面积为64，求它的体积.解设球的半径为R，则4R264，解得R4，所以球的体积VR343.反思感悟(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.(

3、2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.此时要特别注意球的三视图都是直径相同的圆.跟踪训练1(1)已知球的体积为，则其表面积为_.答案100解析设球的的半径为R，则R3，解得R5，所以球的表面积S4R2452100.(2)某器物的三视图如图，根据图中数据可知该器物的体积是()A. B.C. D.考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体

4、积答案D解析由三视图可知，此几何体上部是直径为2的球，下部是底面直径为2，高为的圆锥，所以V1312.题型二球的截面例2在半径为R的球面上有A，B，C三点，且ABBCCA3，球心到ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.解依题意知，ABC是正三角形，ABC的外接圆半径r3.由R22()2，得R2.所以球的表面积S4R216.反思感悟(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题.(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2d2r2.跟踪训练2如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容

5、器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3答案A解析利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，BMAB84(cm).设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242，R5，V球53(cm3).与球有关的切、接问题典例(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A. B. C. D.考点球的体积题点与外接、内切有关球的体积计算问题答案A解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故

6、可得球的直径为2，故半径为1，其体积是13.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，则它的外接球表面积为_.考点球的表面积题点与外接、内切有关球的表面积计算问题答案9解析设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则解得外接球半径为，外接球表面积为429.素养评析(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1，过在一个平面上的四个切点作截面如图.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2a，如图.(3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的

7、直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3，如图.(4)借助几何直观和空间想象，认识事物的位置关系，分析数学问题，充分体现了直观想象的数学核心素养.1.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()A.R B.2R C.3R D.4R考点球的体积题点与截面有关的球的体积计算问题答案D解析设圆柱的高为h，则R2h3R3，得h4R.2.平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A. B.4 C.4 D.6考点球的体积题点与截面有关的球的体积计算问题答案B解析如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，

8、则OO，OM1.OM.即球的半径为.V()34.3.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A.9 B.10 C.11 D.12考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案D解析由三视图可知，该几何体的上部分是半径为1的球，下部分是底面半径为1，高为3的圆柱.由面积公式可得该几何体的表面积S41221221312.4.两个球的表面积之差为48，它们的大圆周长之和为12，则这两个球的半径之差为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析设两球半径分别为R1，R2，且R1R2，则4(RR)48，2(R1R2)12，所以R1R22.5.若球的

9、半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的_倍，表面积变为原来的_倍.答案84解析球的半径为R时，球的体积为V1R3，表面积为S14R2，半径增加为2R后，球的体积为V2(2R)3R3，表面积为S24(2R)216R2.所以8，4，即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.1.球的体积和表面积公式设球的半径为R(1)体积公式：VR3.(2)表面积公式：S4R2.2.用一个平面截球所得截面的特征(1)用一个平面去截球，截面是圆面.(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面.(3)球心到截面的距离d与球的半径R以及截面的半径r，有下面的关系r.3.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.