1、3空间直角坐标系基础过关1.已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，1，0)，D(2，1，1)，则()A.|AB|CD| B.|AB|CD|C.|AB|CD| D.|AB|CD|解析|AB|，|CD|.因为(m3)20，所以|AB|CD|.答案D2.已知A(x，5x，2x1)，B(1，x2，2x)，当|AB|取最小值时，x的值为()A.19 B. C. D.解析|AB|，当x时，|AB|最小.答案C3.设点P在x轴上，它到点P1(0，3)的距离为到点P2(0，1，1)的距离的两倍，则点P的坐标为()A.(1，0，0) B.(1，0，0)C.(1，0，0)或(0，1，0) D.(1，0，
2、0)或(1，0，0)解析因为点P在x轴上，所以设点P的坐标为(x，0，0).由题意知|PP1|2|PP2|，所以2.解得x1.所以所求点为(1，0，0)或(1，0，0).答案D4.已知ABC的顶点为A(1，1，1)，B(0，1，3)，C(3，2，3)，则ABC的面积是_.解析|AB|3，|AC|3，|BC|3.因为|AB|2|AC|2|BC|2，所以ABC为直角三角形.所以SABC33.答案5.对于任意实数x，y，z则的最小值为_.解析设P(x，y，z)，M(1，2，1)，则|PM|PO|.由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，则|PM|PO|OM|，故所求的最小值为.答案6.已知在
3、三棱柱ABCA1B1C1中，所有的棱长都是1，且侧棱AA1底面ABC，建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标.解如图，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BOAC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.因为三棱柱各棱长均为1，所以|OA|OC|O1C1|O1A1|，|OB|.因为点A，B，C均在坐标轴上，所以A，B，C.又因为点A1，C1在yOz平面内，所以A1(0，1)，C1(0，1).又因为点B1在xOy平面内的射影为点B，且|BB1|1，所以B1.所以各顶点的坐标分别为A，B，C，A1，B1，C1.7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADA
4、A12，AB4，DEAC，垂足为E，求B1E的长.解如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.则D(0，0，0)，B1(2，4，2)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，设点E的坐标为(x，y，0)，在坐标平面xOy内，直线AC的方程为1，即2xy40，又DEAC，直线DE的方程为x2y0.由得E(，0).|B1E| ，即B1E的长为.能力提升8.已知正方体体对角线上的两个顶点A(1，2，1)，B(3，2，3)，则正方体的体积是()A.16 B.192 C.64 D.48解析|AB|4.设正方体的边长为a，则a4，即a4，所以正方体的体积为64
5、.答案C9.已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，5，1)，C(3，7，5)，则点D的坐标为()A. B.(2，3，1)C.(3，1，5) D.(5，13，3)解析设ABCD的对角线交点为M，点D的坐标为(x，y，z).A(4，1，3)，B(2，5，1)，C(3，7，5)，AC的中点坐标为M，BD的中点坐标为M，即x5，y13，z3.点D的坐标为(5，13，3).答案D10.如图，在空间直角坐标系中，|BC|2，原点O是BC的中点，点A(，0)，点D在平面yOz上，且BDC90，DCB30.则三棱锥DABC的体积为_.解析因为BDC90，DCB30，|BC|2.所以|BD
6、|1，|CD|BC|cos 30，所以SBCD|BD|CD|.因为A(，0)，即点A到平面BCD的距离为，所以三棱锥DABC的体积为V.答案11.在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号为的四个图，则该四面体的主视图和俯视图分别为_、_.解析由三视图可知，该几何体的主视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故主视图是；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(
7、1，2，0)，故俯视图是.答案12.在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)，B(1，0，3).在y轴上是否存在点M，使MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解假设在y轴上存在点M(0，y，0)，使MAB为等边三角形.设坐标原点为O，A，B都在平面xOz上，而y轴垂直于平面xOz，所以OAOM，OBOM，|MA|，|MB|.又因|OA|OB|，所以y轴上的所有点都能使|MA|MB|成立，所以只要再满足|MA|AB|，就可以使MAB为等边三角形.因为|MA|，|AB|2.于是2，解得y.故y轴上存在点M，使MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，0)或(0，0).创
8、新突破13.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在面对角线A1B上，点Q在面对角线B1C上.(1)当点P是面对角线A1B的中点，点Q在面对角线B1C上运动时，求|PQ|的最小值；(2)当点Q是面对角线B1C的中点，点P在面对角线A1B上运动时，求|PQ|的最小值；(3)当点P在面对角线A1B上运动，点Q在面对角线B1C上运动时，求|PQ|的最小值.解以顶点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，所以可得点A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，B(1，1，0)，C(0，
9、1，0).(1)因为点P是面对角线A1B的中点，所以由射影的概念得P.又因为点Q在面对角线B1C上运动，所以可设点Q(b，1，b)，b0，1.由空间两点间的距离公式得|PQ| .所以当b时，|PQ|取得最小值.此时Q.(2)因为点Q是面对角线B1C的中点，所以由射影的概念，得Q.又因为点P在面对角线A1B上运动，所以可设点P(1，a，1a)，a0，1.由空间两点间的距离公式，得|PQ| .所以当a时，|PQ|取得最小值，此时P.(3)因为点P在面对角线A1B上运动，点Q在面对角线B1C上运动，所以可设点P(1，a，1a)，Q(b，1，b)，a，b0，1.由空间两点间的距离公式得|PQ| .所以当b时，代入a10，得a，即当ab时，|PQ|取得最小值，此时P，Q.
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