2019年中考数学真题分类训练——专题十四：图形的相似(解析版）

1、2019年中考数学真题分类训练专题十四：图形的相似一、选择题1（2019邵阳）如图，以点O为位似中心，把ABC放大为原图形的2倍得到ABC，以下说法中错误的是AABCABCB点C、点O、点C三点在同一直线上CAOAA=12DABAB【答案】C2（2019温州）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM=BC，作MNBG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在几何原本中利用该图解释了（a+b）（ab）=a2b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2若点A，L，G在

2、同一直线上，则的值为ABCD【答案】C3（2019淄博）如图，在ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且CAD=B若ADC的面积为a，则ABD的面积为A2aBaC3aDa【答案】C4（2019杭州）如图，在ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DEBC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则ABCD【答案】C5（2019玉林）如图，ABEFDC，ADBC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有A3对B5对C6对D8对【答案】C6（2019常德）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC的面积为42，则四边形

3、DBCE的面积是A20B22C24D26【答案】D7（2019凉山）如图，在ABC中，D在AC边上，ADDC=12，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BEEC=A12B13C14D23【答案】B8（2019赤峰）如图，D、E分别是ABC边AB，AC上的点，ADE=ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是A1B2C3D4【答案】C9（2019重庆）如图，ABOCDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是A2B3C4D5【答案】C10（2019连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”

4、、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似A处B处C处D处【答案】B11（2019安徽）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EFAC于点F，EGEF交AB于点G若EF=EG，则CD的长为A3.6B4C4.8D5【答案】B12（2019兰州）已知ABCABC，AB=8，AB=6，则=A2BC3D【答案】B13（2019常州）若ABCABC，相似比为12，则ABC与ABC的周长的比为A21B12C41D14【答案】B二、填空题14（2019吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3

5、m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为_m【答案】5415（2019台州）如图，直线l1l2l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若ABC=90，BD=4，且，则m+n的最大值为_【答案】16（2019南京）如图，在ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分ACB若AD=2，BD=3，则AC的长_【答案】17.(2019)烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABO的顶点坐标分别为A（-2，-1），B（-2，-3），O（

6、0，0），A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），ABO与A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为_【答案】（-5，-1）18.(2019)本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，得到A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为_【答案】（2，1）或（-2，-1）19（2019宜宾）如图，已知直角ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=_【答案】20（2019河池）如图，以点O为位似中心，将OAB放大后得到OCD，OA=2，AC=3，则=_【答案】2

7、1(2019淮安）如图，l1l2l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F若AB=3，DE=2，BC=6，则EF=_【答案】4三、解答题22（2019福建）已知ABC和点A，如图（1）以点A为一个顶点作ABC，使ABCABC，且ABC的面积等于ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是ABC三边AB、BC、AC的中点，D、E、F分别是你所作的ABC三边AB、BC、CA的中点，求证：DEFDEF解：（1）作线段AC=2AC、AB=2AB、BC=2BC，得ABC即可所求AC=2AC、AB=2AB、BC=2BC，ABCABC，（2

8、）如图，D、E、F分别是ABC三边AB、BC、AC的中点，DEFABC同理：DEFABC，由（1）可知：ABCABC，DEFDEF23（2019绍兴）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k=MN：EF（1）若a：b的值为1，当MNEF时，求k的值（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，MPE=60，MP=EF=3PE时，求a：b的值解：（1）如图1中，作FHBC于H，MQCD于Q，设EF交MN于点O四边形ABCD是正方形，FH=AB，MQ=BC，AB=CB，FH=M

9、Q，EFMN，EON=90，ECN=90，MNQ+CEO=180，FEH+CEO=180，FEH=MNQ，EHF=MQN=90，FHEMQN（ASA），MN=EF，k=MN：EF=1（2）a：b=1：2，b=2a，由题意：2aMNa，aEFa，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大，最大值为，当MN的长取最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为（3）连接FN，MEk=3，MP=EF=3PE，3，2，PNFPME，2，MENF，设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，NP=12m，如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与点B重合过点F作FHBD于点HMPE=FPH=60，PH=2

10、m，FH=2m，DH=10m，如图3中，当点N与点C重合，过点E作EHMN于点H则PH=m，HEm，HC=PH+PC=13m，tanHCE，MEFC，MEB=FCB=CFD，B=D，MEBCFD，2，综上所述，a：b的值为或24（2019凉山）如图，ABD=BCD=90，DB平分ADC，过点B作BMCD交AD于M连接CM交DB于N（1）求证：BD2=ADCD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的长解：（1）证明：DB平分ADC，ADB=CDB，且ABD=BCD=90，ABDBCD，BD2=ADCD（2）BMCD，MBD=BDC，ADB=MBD，且ABD=90，BM=MD，MAB=MBA，BM=

11、MD=AM=4，BD2=ADCD，且CD=6，AD=8，BD2=48，BC2=BD2-CD2=12，MC2=MB2+BC2=28，MC=，BMCD，MNBCND，且MC=，MN=25（2019舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展（1）温故：如图1，在ABC中，ADBC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=a，AD=h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）（2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？如图2，小波画出了图1的ABC，然后按数学家波利亚在怎样解题中的方法进行操作：先在AB上任取一点P，画正方形PQMN，使点Q，

12、M在BC边上，点N在ABC内，然后连结BN，并延长交AC于点N，画NMBC于点M，NPNM交AB于点P，PQBC于点Q，得到四边形PQMN（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形（4）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE=NM，连结EQ，EM（如图3），当QEM=90时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题解：（1）证明：如图1，由正方形PQMN得PNBC，APNABC，即，解得PN（3）证明：由画法得，QMN=PNM=POM=90，四边形PQMN为矩形，NMBC，NMBC，NMNM，BNMBNM，同理可得，.

13、NM=PN，NM=PN，四边形PQMN为正方形（4）如图2，过点N作NRME于点RNE=NM，NEM=NME，ER=RM=EM，又EQM+EMQ=EMQ+EMN=90，EQM=EMN.又QEM=NRM=90，NM=QM，EQMRMN（AAS），EQ=RM，EQ=EM，QEM=90，BEQ+NEM=90，BEQ=EMB，又EBM=QBE，BEQBME，设BQ=x，则BE=2x，BM=4x，QM=BMBQ=3x=MN=NE，BN=BE+NE=5x，BN=NM=26（2019巴中）ABC在边长为1的正方形网格中如图所示以点C为位似中心，作出ABC的位似图形A1B1C，使其位似比为12且A1B1C位于

14、点C的异侧，并表示出A1的坐标作出ABC绕点C顺时针旋转90后的图形A2B2C在的条件下求出点B经过的路径长解：如图，A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，-3）如图，A2B2C为所作OB=，点B经过的路径长=27（2019衢州）如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BAC=60，AD平分BAC交BC于点D，过点D作DEAC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G（1）求CD的长（2）若点M是线段AD的中点，求的值（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得CPG=60？解：（1）AD平分BAC，BAC=60，DACBAC=30

15、，在RtADC中，DC=ACtan30=62（2）由题意易知：BC=6，BD=4，DEAC，EDA=DAC，DFM=AGM，AM=DM，DFMAGM（ASA），DF=AG，由DEAC，得BFEBGA，（3）CPG=60，过C，P，G作外接圆，圆心为Q，CQG是顶角为120的等腰三角形当Q与DE相切时，如图1，过点Q作QHAC于H，并延长HQ与DE交于点P连结QC，QG设Q的半径QP=r则QHr，rr=2，解得r，CG4，AG=2，易知DFMAGM，可得，DM，DM当Q经过点E时，如图2，过点C作CKAB，垂足为K，设Q的半径QC=QE=r则QK=3r.在RtEQK中，12+（3r）2=r2，解

16、得r，CG，易知DFMAGM，可得DM当Q经过点D时，如图3中，此时点M与点G重合，且恰好在点A处，可得DM=4综上所述，当DM或DM4时，满足条件的点P只有一个28（2019荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC=2 m，BD=2.1 m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE解：如图，设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，G

17、FAC，MACMFG，即：，OE=32，答：楼的高度OE为32米29（2019安徽）如图，RtABC中，ACB=90，AC=BC，P为ABC内部一点，且APB=BPC=135（1）求证：PABPBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2h3证明：（1）ACB=90，AB=BC，ABC=45=PBA+PBC，又APB=135，PAB+PBA=45，PBC=PAB，又APB=BPC=135，PABPBC（2）PABPBC，在RtABC中，AB=AC，PA=2PC（3）如图，过点P作PDBC，PEAC交BC、AC于点D，E，

18、PF=h1，PD=h2，PE=h3，CPB+APB=135+135=270，APC=90，EAP+ACP=90，又ACB=ACP+PCD=90，EAP=PCD，RtAEPRtCDP，即，h3=2h2，PABPBC，即h12=h2h330（2019长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形相似四边形对应边的比叫做相似比（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）四条边成比例的两个凸四边形相似；（_命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（_命题）两个大小不同的正方形相似（_命题）（2）

19、如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，ABC=A1B1C1，BCD=B1C1D1，=求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似（3）如图2，四边形ABCD中，ABCD，AC与BD相交于点O，过点O作EFAB分别交AD，BC于点E，F记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值解：（1）四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例两个大小不同的正方形相似是真命题故答案为：假，假，真（2）证明：如图1中，连接BD，B1D1BCD=B1C1D1，且，BCDB1C1D1，CDB=C1D1B1，C1B1D1=CBD，ABC=A1B1C1，ABD=A1B1D1，ABDA1B1D1，A=A1，ADB=A1D1B1，ADC=A1D1C1，A=A1，ABC=A1B1C1，BCD=B1C1D1，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似（3）证明：四边形ABCD与四边形EFCD相似，EF=OE+OF，EFABCD，AD=DE+AE，2AE=DE+AE，AE=DE，=1