2019年中考数学真题分类训练——专题十九：二次函数综合题

1、2019年中考数学真题分类训练专题十九：二次函数综合题1（2019广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，CAD绕点C顺时针旋转得到CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PMx轴，点M为垂足，使得PAM与DD1A相似（不含全等）求出一个满足以上条件的点P的横坐标；直接回答这样的点P共有几个？解：（1）令=0，解得x1=1，x2=7A（1，0），B（7，0）

2、由y=得，D（3，2）；（2）DD1x轴于点D1，COF=DD1F=90，D1FD=CFO，DD1FCOF，D（3，2），D1D=2，OD=3，AC=CF，COAF，OF=OA=1，D1F=D1OOF=31=2，OC=，CA=CF=FA=2，ACF是等边三角形，AFC=ACF，CAD绕点C顺时针旋转得到CFE，ECF=AFC=60，ECBF，EC=DC=6，BF=6，EC=BF，四边形BFCE是平行四边形；（3）点P是抛物线上一动点，设P点（x，），当点P在B点的左侧时，PAM与DD1A相似，或，或，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=11或x1=1（不合题意舍去）x2=；当点P在A点的右侧

3、时，PAM与DD1A相似，或，或，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，PAM与DD1A相似，=或=，或，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=；综上所述，点P的横坐标为11或或；由得，这样的点P共有3个2（2019深圳）如图，抛物线经y=ax2+bx+c过点A（-1，0），点C（0，3），且OB=OC（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值（3）点P为抛物线上

4、一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为35两部分，求点P的坐标解：（1）OB=OC，点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3，对称轴为x=1（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC、DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=CD，取点A（-1，1），则AD=AE，故：CD+AE=AD+DC，则当A、D、C三点共线时，CD+AE=AD+DC最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=A

5、C+DE+CD+AEAD+DCAC（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为35两部分，又SPCBSPCAEB（yC-yP）AE（yC-yP）=BEAE，则BEAE=35或53，则AE或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3，联立并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）3.（2019雅安） 已知二次函数y=ax2(a0)的图象过点（2，-1），点P（P与O不重合）是图象上的一点，直线l过点（0，1）且平

6、行于x轴。PMl于点M，点F（0，-1）（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点P在线段MF的中垂线上；（3）设直线 PF交二次函数的图象于另一点Q，QNl于点N，线段MF的中垂线交l于点R，求的值； （4）试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系 解：（1）y=ax2(a0)的图象过点（2，-1），-1=a22，即a=，；（2）设的图象上的点P（x1,y1）,则M(x1，1)，即x12=-4y1，PM=1-y1，又PF=y1-1=PM，即PF=PM，点P在线段MF的中垂线上；（3）连接RF，R在线段MF的中垂线上，MR=FR，又PM=PF，PR=PR，PMRPFR，PFR=PMR=90，R

7、FPF，连接RQ，又在RtRFQ和RtRNQ中，Q 在的图象上，由（2）结论知QF=QN，RQ=RQ，RtRFQ RtRNQ，即RN=FR，即MR=FR=RN，；（4）在PQR中，由（3）知PR平分MRF，QR平分FRN，PRQ=（MRF+FRN）=90，点R在以线段PQ为直径的圆上4（2019南宁）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线如图1，已知抛物线C1：y1=x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，1）（1）直接写出A，B的坐

8、标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点F（6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1=0），ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2=0），令S=S1+S2，观察图象，当y1y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值解：（1）C1顶点在C2上，C2顶点也在C1上，由抛物线C1：y1=x2+x可得A（2，1），将A（2，1），D（6，1）代入y2=ax2+x+c得，解得 ，y2=

9、x2+x+2，B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：y=x+1，若B为直角的顶点，BEAB，kBEkAB=1，kBE=1，则直线BE的解析式为y=x+5联立，解得或，此时E（6，1）；若A为直角顶点，AEAB，kAEkAB=1，kAE=1，则直线AE的解析式为y=x3，联立，解得或，此时E（10，13）；若E为直角顶点，设E（m，m2+m+2）由AEBE得kBEkAE=1，即，解得m=2或2（不符合题意均舍去），存在，E（6，1）或E（10，13）；（3）y1y2，观察图形可得：x的取值范围为2x2，设M（t，t2+t），N（t，t2+t+2），且2t2，易求直线AF的解析式：y=x3，过

10、M作x轴的平行线MQ交AF于Q，由yQ=yM，得Q（t2t3，t2+t），S1=|QM|yFyA|=t2+4t+6，设AB交MN于点P，易知P坐标为（t，t+1），S2=|PN|xAxB|=2t2，S=S1+S2=4t+8，当t=2时，S的最大值为165（2019广州）已知抛物线G：y=mx2-2mx-3有最低点（1）求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数

11、H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围解：（1）y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3（2）抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3，抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3），x=m+1，y=-m-3，x+y=m+1-m-3=-2，即x+y=-2，变形得y=-x-2，m0，m=x-1，x-10，x1，y与x的函数关系式为y=-x-2（x1）（3）法一：如图，函数H：y=-x-2（x1）图象为射线，x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4，函数

12、H的图象恒过点B（2，-4），抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3，抛物线G恒过点A（2，-3），由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yByPyA，点P纵坐标的取值范围为-4yP1，且x=2时，方程为0=-1不成立，x2，即x2-2x=x（x-2）0，m0，x1，1-x0，x（x-2）0，x-20，x2，即1x2，yP=-x-2，-4yP-3，6（2019海南）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（5，0），B（4，3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（

13、与点B、C不重合），设点P的横坐标为t当点P在直线BC的下方运动时，求PBC的面积的最大值；该抛物线上是否存在点P，使得PBC=BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5（2）如图1，过点P作PEx轴于点E，交直线BC于点F.在抛物线y=x2+6x+5中，令y=0，则x2+6x+5=0，解得x=5，x=1，点C的坐标为（1，0）.由点B（4，3）和C（1，0），可得直线BC的表达式为y=x+1.设点P的坐标为（t，t2+6t+5），由题知4t1，则点F（t，t+1），FP=（t+1）（t2

14、+6t+5）=t25t4，SPBC=SFPB+SFPC=FP3=.41，当t=时，PBC的面积的最大值为存在y=x2+6r+5=（x+3）24，抛物线的顶点D的坐标为（3，4）.由点C（l，0）和D（3，4），可得直线CD的表达式为y=2x+2.分两种情况讨论：（i）当点P在直线BC上方时，有PBC=BCD，如图2.若PBC=BCD，则PBCD，设直线PB的表达式为y=2x+b.把B（4，3）代入y=2x+b，得b=5，直线PB的表达式为y=2x+5.由x2+6x+5=2x+5，解得x1=0，x2=4（舍去），点P的坐标为（0，5）.（ii）当点P在直线BC下方时，有PBC=BCD，如图3.设

15、直线BP与CD交于点M，则MB=MC.过点B作BNx轴于点N，则点N（4，0），NB=NC=3，MN垂直平分线段BC.设直线MN与BC交于点G，则线段BC的中点G的坐标为，由点N（4，0）和G，得直线NG的表达式为y=x4.直线CD:y=2x+2与直线NG:y=x4交于点M，由2x+2=x4，解得x=2，点M的坐标为（2，2）.由B（4，3）和M（2.2），得直线BM的表达式为y=由x2+6x+5=，解得x1=，x2=4（含去），点P的坐标为（，）.综上所述，存在满足条件的点P的坐标为（0，5）和（，）.7. （2019镇江）如图，二次函数图象的顶点为，对称轴是直线1，一次函数的图象与轴交于点

16、，且与直线关于的对称直线交于点（1）点的坐标是；（2）直线与直线交于点，是线段上一点（不与点、重合），点的纵坐标为过点作直线与线段、分别交于点、，使得与相似当时，求的长；若对于每一个确定的的值，有且只有一个与相似，请直接写出的取值范围解：（1）顶点为；故答案为；（2）对称轴，由已知可求，点关于对称点为，则关于对称的直线为，当时，当时，；当与不平行时，；综上所述，；当，时，有且只有一个与相似时，；故答案为；8（2019陕西）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y=ax2+（ca）x+c经过点A（3，0）和点B（0，6），L关于原点O对称的抛物线为L（1）求抛物线L的表达式；（2）点P在抛物线L上，

17、且位于第一象限，过点P作PDy轴，垂足为D若POD与AOB相似，求符合条件的点P的坐标解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，L：y=x25x6（2）点A、B在L上的对应点分别为A（3，0）、B（0，6），设抛物线L的表达式y=x2+bx+6，将A（3，0）代入y=x2+bx+6，得b=5，抛物线L的表达式为y=x25x+6，A（3，0），B（0，6），AO=3，OB=6，设：P（m，m25m+6）（m0），PDy轴，点D的坐标为（0，m25m+6），PD=m，OD=m25m+6，RtPOD与RtAOB相似.PDOBOA时，=，即m=2（m25m+6），解得：m=或4；当ODPA

18、OB时，同理可得：m=1或6；P1、P2、P3、P4均在第一象限，符合条件的点P的坐标为（1，2）或（6，12）或（，）或（4，2）9. （2019常州）如图，二次函数yx2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上（1）b ；（2）若点P在第一象限，过点P作PHx轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N是否存在这样的点P，使得PMMNNH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQBD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且SPQB2SQRB，求点P的坐标解：（1）二次函数yx2

19、+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0）1b+3解得：b2故答案为：2（2）存在满足条件呢的点P，使得PMMNNH二次函数解析式为yx2+2x+3当x0时y3，C（0，3）当y0时，x2+2x+30解得：x11，x23A（1，0），B（3，0）直线BC的解析式为yx+3点D为OC的中点，D（0，32）直线BD的解析式为y=-12x+32，设P（t，t2+2t+3）（0t3），则M（t，t+3），N（t，-12t+32），H（t，0）PMt2+2t+3（t+3）t2+3t，MNt+3（-12x+32）=-12t+32，NH=-12t+32MNNHPMMNt2+3t=-12t+32解得：t1=12

20、，t23（舍去）P（12，154）P的坐标为（12，154），使得PMMNNH（3）过点P作PFx轴于F，交直线BD于EOB3，OD=32，BOD90BD=OB2+OD2=352cosOBD=OBBD=3352=255PQBD于点Q，PFx轴于点FPQEBQRPFR90PRF+OBDPRF+EPQ90EPQOBD，即cosEPQcosOBD=255在RtPQE中，cosEPQ=PQPE=255PQ=255PE在RtPFR中，cosRPF=PFPR=255PR=PF255=52PFSPQB2SQRB，SPQB=12BQPQ，SQRB=12BQQRPQ2QR设直线BD与抛物线交于点G-12x+32

21、=-x2+2x+3，解得：x13（即点B横坐标），x2=-12点G横坐标为-12设P（t，t2+2t+3）（t3），则E（t，-12t+32）PF|t2+2t+3|，PE|t2+2t+3（-12t+32）|t2+52t+32|若-12t3，则点P在直线BD上方，如图2，PFt2+2t+3，PEt2+52t+32PQ2QRPQ=23PR255PE=2352PF，即6PE5PF6（t2+52t+32）5（t2+2t+3）解得：t12，t23（舍去）P（2，3）若1t-12，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQQR，即SPQB2SQRB不成立若t1，则点P在x轴下方，如图4，PF（t2

22、+2t+3）t22t3，PE=-12t+32-（t2+2t+3）t2-52t-32PQ2QRPQ2PR255PE252PF，即2PE5PF2（t2-52t-32）5（t22t3）解得：t1=-43，t23（舍去）P（-43，-139）综上所述，点P坐标为（2，3）或（-43，-139）10（2019河北）如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=xb与y轴交于点B；抛物线L：y=x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D（1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；（3）设x00，点（x0，y1），（x0，y2）

23、，（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数解：（1）当x=0吋，y=xb=b，B（0，b），AB=8，而A（0，b），b（b）=8，b=4L：y=x2+4x，L的对称轴x=2，当x=2时，y=x4=2，L的对称轴与a的交点为（2，2）；（2）y=（x）2+，L的顶点C（，），点C在l下方，C与l的距离为b=（b2）2+11，点C与l距离的最大值为1；（3）由題意得，即y1+y2=2y3，得b+x0b=2（x

24、02+bx0），解得x0=0或x0=b但x00，取x0=b，对于L，当y=0时，0=x2+bx，即0=x（xb），解得x1=0，x2=b，b0，右交点D（b，0）点（x0，0）与点D间的距离为b（b）=.（4）当b=2019时，抛物线解析式L：y=x2+2019x，直线解析式a：y=x2019，联立上述两个解析式可得：x1=1，x2=2019，可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，且1和2019之间（包括1和2019），共有2021个整数；另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，线段和抛物线上各有2021个整数点，总计4042个点，这两段图象交点有2个点重复重复，美点”的个

25、数：40422=4040（个）；当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=x2+2019.5x，直线解析式a：y=x2019.5，联立上述两个解析式可得：x1=1，x2=2019.5，当x取整数时，在一次函数y=x2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y=x+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知1到2019.5之间有1009个偶数，并且在1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合，条件，因此“美点”共有1010个故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个11. （2019邵阳）如图，二次

26、函数的图象过原点，与轴的另一个交点为（1）求该二次函数的解析式；（2）在轴上方作轴的平行线，交二次函数图象于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点当矩形为正方形时，求的值；（3）在（2）的条件下，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，问：以、四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形若能，请求出的值；若不能，请说明理由解：（1）将，代入，得：，解得：，该二次函数的解析式为（2）当时，解得：，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标

27、为，点的坐标为，矩形为正方形，解得：（舍去），当矩形为正方形时，的值为4（3）以、四点为顶点构成的四边形能为平行四边形由（2）可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为当时，点的坐标为，点的坐标为以、四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且，分三种情况考虑：当时，如图1所示，解得：（舍去），；当时，如图2所示，解得：（舍去），；当时，解得：（舍去），（舍去）综上所述：当以、四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，的值为4或612（2019河南）如图，抛物线y=ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线y=x2经过点A，C（1

28、）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m当PCM是直角三角形时，求点P的坐标；作点B关于点C的对称点B，则平面内存在直线l，使点M，B，B到该直线的距离都相等当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y=kx+b的解析式（k，b可用含m的式子表示）解：（1）直线y=x2交x轴于点A，交y轴于点C，A（-4，0），C（0，-2）.抛物线y=ax2+x+c经过点A，C， 抛物线的解析式为y=x2+x2（2）点P的横坐标为m，点P的坐标为（m，m2+m2）.当PCM是直角三角形时，有以下两种情况：（i）当CPM=9

29、0时，PCx轴，x2+x2=-2.解得m1=0（舍去），m2=-2.当m=-2时，m2+m2=-2.点P的坐标为（-2，-2）.（ii）当PCM=90时，过点P作PNy轴于点N，CNP=AOC=90. NCP+ACO=OAC+ACO=90，：NCP=OAC，GNPAOC，C（0，-2），N（0，m2+m2），CN=，PN=m.即，解得a3=0（含去），m4=6.当m=6时，m2+m2=10，点P的坐标为（6，10）.综上所述，点P的坐标为（-2，-2）或（6，10）.当y=0时，x2+x2=0，解得x1=4，x2=2，点B的坐标为（2，0）点C的坐标为（0，2），点B，B关于点C对称，点B的坐

30、标为（2，4）点P的横坐标为m（m0且m2），点M的坐标为（m，m2）利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y=x+，直线BM的解析式为y=x，直线BB的解析式为y=x2分三种情况考虑，如图2所示：当直线lBM且过点C时，直线l的解析式为y=x2；当直线lBM且过点C时，直线l的解析式为y=x2；当直线lBB且过线段CM的中点N（m，m2）时，直线l的解析式为y=xm2综上所述：直线l的解析式为y=x2，y=x2或y=xm213. （2019荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，

31、0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由解：（1）平行四边形OABC中，A（6，0），C（4，3）BCOA6，BCx轴xBxC+610，yByC3，即B（10，3）设抛物线yax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）100a+10b+c=316a+4b+c=3a+b+c=0

32、解得：a=-19b=149c=-139抛物线解析式为y=-19x2+149x-139（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E，连接EF交x轴于点PC（4，3）OC=42+32=5BCOAOECAOEOE平分AOCAOECOEOECCOECEOC5xExC+59，即E（9，3）直线OE解析式为y=13x直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x=-1492(-19)7F（7，73）点E与点E关于x轴对称，点P在x轴上E（9，3），PEPE当点F、P、E在同一直线上时，PE+PFPE+PFFE最小设直线EF解析式为ykx+h9k+h=-37k+h=73 解得：k=-83h=21直线EF：y=-8

33、3x+21当-83x+210时，解得：x=638当PE+PF的值最小时，点P坐标为（638，0）（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形设AH与OE相交于点G（t，13t），如图2，AHOE于点G，A（6，0）AGO90AG2+OG2OA2（6t）2+（13t）2+t2+（13t）262解得：t10（舍去），t2=275G（275，95）设直线AG解析式为ydx+e6d+e=0275d+e=95 解得：d=-3e=18直线AG：y3x+18当y3时，3x+183，解得：x5H（5，3）HE954，点H、E关于直线x7对称当HE为以点M，N，H，E为顶点的平

34、行四边形的边时，如图2则HEMN，MNHE4点N在抛物线对称轴：直线x7上xM7+4或74，即xM11或3当x3时，yM=-199+1499-139=209M（3，209）或（11，209）当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3则HE、MN互相平分直线x7平分HE，点F在直线x7上点M在直线x7上，即M为抛物线顶点yM=-1949+1497-139=4M（7，4）综上所述，点M坐标为（3，209）、（11，209）或（7，4）14. （2019梧州）如图，已知的圆心为点，抛物线过点，与交于、两点，连接、，且，、两点的纵坐标分别是2、1（1）请直接写出点的坐标，并求、的值

35、；（2）直线经过点，与轴交于点点（与点不重合）在该直线上，且，请判断点是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线与相切，请直接写出满足此条件的直线解析式解：（1）过点、分别作轴的垂线交于点、，又，故点、的坐标分别为、，将点、坐标代入抛物线并解得：，故抛物线的表达式为：；（2）将点坐标代入并解得：，则点，点、的坐标分别为、，则，点在直线上，则设的坐标为，则，解得：或6（舍去，故点，把代入，故点在抛物线上；（3）当切点在轴下方时，设直线与相切于点，直线与轴、轴分别交于点、，连接，即：，解得：或（舍去，故点，把点、坐标代入并解得：直线的表达式为：；当切点在轴上方时，直线的表达式为：；故满足条件的直

36、线解析式为：或15.（2019本溪）抛物线与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合），过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）当PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标.解：（1）函数的表达式为：y=(x+1)(x-5)=-x2+x+；（2）抛物线的对称轴为x=1，则点C（2，2），设点P（2，m），将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y=sx+t并解得：函数PB的表达式为：y=-mx+，CEPE，故直线CE表达式中的k值为，

37、将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为：y=x+(2)，联立并解得：x=2-，故点F（2-，0），SPCF=PCDF=(2-m)(2-2)=5，解得：m=5或-3（舍去5），故点P（2，-3）；（3）由（2）确定的点F的坐标得：CP2=(2-m)2，CF2=()2+4，PF2=()2+m2，当CP=CF时，即：(2-m)2=()2+4，解得：m=0或（均舍去），当CP=PF时，(2-m)2=()2+m2，解得：m=或3（舍去3），当CF=PF时，同理可得：m=2（舍去2），故点P（2，）或（2，-2）16. （2019湘西）如图，抛物线yax2+bx（a0）过点E（8，0）

38、，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA2，且OA：AD1：3（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使ODP中OD边上的高为6105？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离解：（1）点A在线段OE上，E（8，0），OA2A（2，

39、0）OA：AD1：3AD3OA6四边形ABCD是矩形ADABD（2，6）抛物线yax2+bx经过点D、E4a+2b=-664a+8b=0 解得：a=12b=-4抛物线的解析式为y=12x24x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M，作点N关于y轴的对称点点N，连接FM、GN、MNy=12x24x=12（x4）28抛物线对称轴为直线x4点C、D在抛物线上，且CDx轴，D（2，6）yCyD6，即点C、D关于直线x4对称xC4+（4xD）4+426，即C（6，6）ABCD4，B（6，0）AM平分BAD，BADABM90BAM45BMAB4M（6，4）点M、M关于x轴对称，点F在x轴上M（6，4），

40、FMFMN为CD中点N（4，6）点N、N关于y轴对称，点G在y轴上N（4，6），GNGNC四边形MNGFMN+NG+GF+FMMN+NG+GF+FM当M、F、G、N在同一直线上时，NG+GF+FMMN最小C四边形MNGFMN+MN=(6-4)2+(-4+6)2+(6+4)2+(4+6)2=22+102=122四边形MNGF周长最小值为122（3）存在点P，使ODP中OD边上的高为6105过点P作PEy轴交直线OD于点ED（2，6）OD=22+62=210，直线OD解析式为y3x设点P坐标为（t，12t24t）（0t8），则点E（t，3t）如图2，当0t2时，点P在点D左侧PEyEyP3t（12

41、t24t）=-12t2+tSODPSOPE+SDPE=12PExP+12PE（xDxP）=12PE（xP+xDxP）=12PExDPE=-12t2+tODP中OD边上的高h=6105，SODP=12ODh-12t2+t=122106105方程无解如图3，当2t8时，点P在点D右侧PEyPyE=12t24t（3t）=12t2tSODPSOPESDPE=12PExP-12PE（xPxD）=12PE（xPxP+xD）=12PExDPE=12t2t12t2t=122106105解得：t14（舍去），t26P（6，6）综上所述，点P坐标为（6，6）满足使ODP中OD边上的高为6105（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、LKL平分矩形ABCD的面积K在线段AB上，L在线段CD上，如图4K（m，0），L（2+m，0）连接AC，交KL于点HSACDS四边形ADLK=12S矩形ABCDSAHKS