§3 弧度制 学案（含答案）

1、3弧度制学习目标1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式知识点一角度制与弧度制1角度制和弧度制角度制以度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，用周角的作为一个单位，称为1度角弧度制在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角它的单位符号是rad，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制2.弧度数的计算知识点二角度制与弧度制的换算1角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017_45 ra

2、d1 rad57.3057182.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0130456090120135150180270360弧度02知识点三扇形的弧长及面积公式n为度数为弧度数扇形的弧长ll|r扇形的面积SSlr|r211 rad的角和1的角大小相等()提示1 rad的角和1的角大小不相等，1 rad.2用弧度来表示的角都是正角()提示弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关()提示“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关4半径为1的圆弧中，60角所对的圆弧长为60.()提示使用扇形弧长公式l|r时应将角

3、化为弧度，60等于，所以60角所对弧长为.题型一角度与弧度的互化例1将下列角度与弧度进行互化(1)20；(2)15；(3)；(4).解(1)20.(2)15.(3)180105.(4)180396.反思感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 rad180即可求解把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可跟踪训练1(1)把11230化成弧度；(2)把化成度解(1)11230.(2)75.题型二用弧度制表示终边相同的角例2把下列各角化成2k(02，kZ)的形式，并指出是第几象限角(1)1 500；(2)；(3)4.解(1)1 5001 8003005360300.1 500可化

4、成10，是第四象限角(2)2，与终边相同，是第四象限角(3)42(24)，24.4与24终边相同，是第二象限角反思感悟用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时，其中2k是的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用跟踪训练2(1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)在0720范围内找出与角终边相同的角解(1)1 4801 480，而10，且02，.1 4802(5).(2)72，终边与角终边相同的角为72k360(kZ)，当k0时，72；当k1时，432.在0720范围内与角终边相同的角为72，432.题型三扇形的弧长及面积公式的应用例3(1)若扇形的中心角为120，半

5、径为，则此扇形的面积为()A B. C. D.(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为()A2 B. C2sin 1 D.答案(1)A(2)D解析(1)扇形的中心角为120，半径为，所以S扇形|r2()2.(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为三边的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2.反思感悟联系半径、弧长和圆心角的两个公式：一是Slr|r2，二是l|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个求解时应注意先把角度化为弧度，再计算跟踪训练3一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数解设扇形的

6、半径为R，弧长为l，则2Rl4，l42R，根据扇形面积公式SlR，得1(42R)R，R1，l2，2，即扇形的圆心角为2 rad.扇形面积计算典例九章算术是我国古代数学的杰出代表作其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦矢矢2)弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A6 m2 B9 m2 C12 m2 D15 m2考点扇形的弧长与面积公式题点扇形面积公式答案B解析根据题设，弦24sin4(m)，矢44cos2(m)，故弧田面积(弦矢矢2)(422

7、2)429(m2)素养评析本例中通过对实际问题进行分析，抽象出具体的数学模型，建立相应公式使问题得解，这就是数学核心素养数学抽象的具体体现.1下列说法中，错误的是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1的角是周角的，1 rad的角是周角的C1 rad的角比1的角要大D用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关答案D解析根据1度、1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D.2下列表述中不正确的是()A终边在x轴上的角的集合是|k，kZB终边在y轴上的角的集合是C终边在坐标轴上的角的集合是D终边在直线yx上的角的集合是答案D解析终边在直线yx上的角的集合是.3若5，则角的终边在()A第四象

8、限 B第三象限C第二象限 D第一象限答案D解析25与5的终边相同，25，25是第一象限角，则5也是第一象限角4已知一段圆弧的长度等于其所在圆的内接正方形的边长，则这段圆弧对应的圆心角的弧度数为()A. B. C. D.答案C解析设圆内接正方形的边长为a，则该圆的半径为a，所以圆心角，故选C.5已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角的弧度数是_答案1或4解析设扇形半径为r，圆心角的弧度数为，则由题意得或1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式易知：度数 rad弧度数，弧度数度数3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度