§2 角的概念的推广 学案（含答案）

1、2角的概念的推广学习目标1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)知识点1角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所形成的图形点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角的始边和终边(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角()(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角()(3)没

2、有作任何旋转就没有角对应()(4)终边和始边重合的角是零角()(5)经过1小时时针转过30()知识点2象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限【预习评价】1锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角2第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定如120 是第二象限的角，390是第一象限的角，但120390.知识点3终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任何一个与角终边相同的角

3、，都可以表示成角与周角的整数倍的和【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)终边相同的角一定相等()(2)相等的角终边一定相同()(3)终边相同的角有无数多个()(4)终边相同的角相差180的整数倍()题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角，的度数解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知330，150，570.规律方法1.理解角的概念的三个“明确”2表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母，等表示，“角”或“”可以简化为“”(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负【训练1】(1)图中角_，_；(2)经过10

4、min，分针转了_解析(1)(18030)150，30180210.(2)分针按顺时针转过了周角的，即60.答案(1)150210(2)60题型二终边相同的角【例2】已知1 910.(1)把写成k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与的终边相同，且7200.解(1)1 9102506360，其中250，从而250(6)360，它是第三象限角(2)令250k360(kZ)，取k1，2就得到满足7200的角，即250360110，250720470.所以为110，470.规律方法将任意角化为k360(kZ，且0360)的形式，关键是确定k.可用观察法(的绝对值较小时适

5、用)，也可用除以360的方法要注意：正角除以360，按通常的除法进行，负角除以360，商是负数，且余数为正值【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合解终边在直线OM上的角的集合为M|45k360，kZ|225k360，kZ|452k180，kZ|45(2k1)180，kZ|45n180，nZ同理可得终边在直线ON上的角的集合为|60n180，nZ，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为|45n18060n180，nZ【探究1】在四个角20，400，2 000，1 600中，第四象限角的个数是()A0B1C2D3解析20是第四象限角，40036040与40终边相同，是第四象限角，2

6、 0006360160与160终边相同，是第二象限角，1 6004360160与160终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个答案C【探究2】写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合解根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360的整数倍即可所以表示为：第一象限角的集合：S|k360，090，kZ，或S|k360k36090，kZ第二象限角的集合：S|k360，90180，kZ，或S|k36090k360180，kZ【探究3】已知为第二象限角，那么2，分别是第几象限角？解是第二象限角，90k360180k360，1802k36023602

7、k360，kZ.2是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角同理4536090360，kZ.当k为偶数时，不妨令k2n，nZ，则45n36090n360，此时，为第一象限角；当k为奇数时，令k2n1，nZ，则225n360270n360，此时，为第三象限角为第一或第三象限角【探究4】已知为第一象限角，求180是第几象限角解为第一象限角，k360k36090，kZ，k180k18045，kZ，45k180k180，kZ，135k180180180k180，kZ.当k2n(nZ)时，135n360180180n360，为第二象限角；当k2n1(nZ)时，45n360180n360，为第四

8、象限角180是第二或第四象限角规律方法1.象限角的判定方法(1)根据图像判定利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0360之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系(2)将角转化到0360范围内，在直角坐标平面内，0360范围内没有两个角终边是相同的2，2，等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角的范围(2)利用不等式的性质，求出2，等角的范围(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置例如，如果得到k120k12030，kZ，可画出030所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120(如图所示)易错警示由的范围确定2的范围时易忽视终边在坐标

9、轴上的情况.课堂达标1361的终边落在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析因为361的终边和1的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D.答案D2设A|为锐角，B|为小于90的角，C|为第一象限的角，D|为小于90的正角，则下列等式中成立的是()AABBBCCACDAD解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案答案D3将885化为k360(0360，kZ)的形式是_答案195(3)3604与1 692终边相同的最大负角是_解析1 6925360108，与108终边相同的最大负角为252.答案2525.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合解设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两

10、部分组成|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ角的集合应当是集合与的并集：|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ|2k180302k180105，kZ|(2k1)18030(2k1)180105，kZ|n18030n180105，nZ课堂小结1对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”2区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为|90k360180k360，kZ，也可以表示为|270k360180k360，kZ.