§7 正切函数 学案（含答案）

1、7正切函数学习目标1.理解任意角的正切函数的定义.2.能画出ytan x的图像.3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性.4.正切函数诱导公式的推导及应用知识点一正切函数的定义1.任意角的正切函数在直角坐标系中，如果角满足：R，k(kZ)，那么，角的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值是角的函数，我们把它叫作角的正切函数，记作ytan ，其中R，k，kZ.2正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tan .3正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其值为负知识点二正切线如图所示，线段AT为角的正切线知

2、识点三正切函数的图像与性质函数ytan x图像定义域值域R周期性最小正周期是奇偶性奇函数对称中心，kZ单调性在开区间(kZ)上是增加的知识点四正切函数的诱导公式函数角ytan x记忆口诀ktan 函数名不变，符号看象限2tan tan tan tan cot 函数名改变，符号看象限cot 思考前面我们学习过，2等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀对正切函数能适用吗？答案因为tan ，所以口诀对正切函数依然适用1函数ytan x在其定义域上是增函数()提示ytan x在开区间(kZ)上是增函数，但在其定义域上不是增函数2函数ytan x的图像的对称中心是(k，0

3、)(kZ)()提示ytan x图像的对称中心是(kZ)3正切函数ytan x无单调减区间()4正切函数在区间上是增函数()提示正切函数在区间上是增函数，不能写成闭区间，当x时，ytan x无意义题型一正切函数的概念例1若角的终边经过点A，且tan ，则m_.答案解析由正切函数的定义得，解得m.反思感悟(1)解决本类题的关键是熟记正切函数的定义，即tan .(2)已知角终边上的一点M(a，b)(a0)，求该角的正切函数值，或者已知角的正切值，求角终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置跟踪训练1已知点P(2a,3a)(a0)是角终边上的一点，求tan 的

4、值解由于a0，tan .题型二正切函数的定义域、值域问题例2(1)函数y3tan的定义域为_考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的定义域答案解析由k，kZ，得x4k，kZ，即函数的定义域为.(2)求函数ytan2tan1的定义域和值域考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的定义域、值域解由3xk，kZ，得x，kZ，所以函数的定义域为.设ttan，则tR，yt2t12，所以原函数的值域是.反思感悟(1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图像或三角函数线(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解跟踪训练2求函数

5、ylg(1tan x)的定义域考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的定义域解由题意得即1tan x1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又ytan x的周期为，所以函数的定义域是.题型三正切函数的单调性问题命题角度1求正切函数的单调区间例3求函数ytan的单调区间考点正切函数的单调性、周期性与对称性题点判断正切函数的单调性解ytantan，由kxk(kZ)，得2kx0)的单调区间的求法是把x看成一个整体，解kxk，kZ即可当0时，先用诱导公式把化为正值再求单调区间跟踪训练3(2018四川石室中学高二期中)函数ytan的单调增区间是_考点正切函数的单调性题点判断正切函数的单调性答案，kZ解

6、析令k2xk，kZ，解得x，kZ.命题角度2利用正切函数的单调性比较大小例4比较大小：(1)tan 32_tan 215；(2)tan_tan.考点正切函数的单调性题点正切函数的单调性的应用答案(1)(2)解析(1)tan 215tan(18035)tan 35，当0x90时，ytan x是增加的，3235，tan 32tan 35tan 215.(2)tantantan，tantantan，ytan x在上是增加的，且，tantan，即tantan.反思感悟运用正切函数的单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；(2)运用单调性比较大小关系跟踪训练4比较下列

7、正切值的大小(1)tan 1 320与tan 70；(2)tan与tan.考点正切函数的单调性题点正切函数的单调性的应用解(1)tan 1 320tan(3603240)tan 240tan 60，因为函数ytan x在上为增函数，所以tan 60tan 70，即tan 1 320tan.即tantan.题型四正切函数的图像及性质例5设函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的对称中心；(2)作出函数f(x)在上的简图考点正切函数图像与性质的综合应用题点正切函数图像与性质的综合应用解(1)令(kZ)，得xk(kZ)，f(x)的对称中心是(kZ)(2)令0，则x；令，则x；令，则x；令，则x；令

8、，则x.函数ytan的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x，x，从而得到函数yf(x)在一个周期内的简图(如图)反思感悟熟练掌握正切函数的图像和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线xk，kZ隔开的无穷多支曲线组成的，ytan x的对称中心为，kZ.跟踪训练5画出ytan|x|的图像，并根据其图像判断其单调区间、周期性、奇偶性解由于ytan|x|其图像如下：由图像可知，函数ytan|x|是偶函数，递增区间为，(k为正整数)，递减区间为(k为负整数)和，不是周期函数题型五正切函数诱导公式的应用例6求下列各式的值(1)7cos 2703

9、sin 270tan 765；(2).解(1)原式7cos(18090)3sin(18090)tan(236045)7cos 903sin 90tan 4503112.(2)原式2.反思感悟(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值跟踪训练6.解原式.1(2018辽源期末)函数y2tan的定义域为()A. B.C. D.答案D解析函数y2tan，令2xk，kZ，解得x，kZ，函数的定义域为.2函数f(x)tan的递增区间为()A.，kZB(k，(k1)，kZC.，kZD.，kZ答案C

10、3(2018宿州期末)函数y|tan x|与直线y1相邻两个交点之间距离是()A. B. C. D答案C解析根据题意，令y|tan x|1，解得tan x1，即xk，kZ；函数y|tan x|与直线y1相邻两个交点之间距离是.4函数ytan x是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数答案A解析函数的定义域是，且tan(x)tan x，所以函数ytan x是奇函数5将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为_(用“”连接)答案tan 2tan 3tan 1解析tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，231，且ytan x在上是增加的，tan(2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 3tan 1.1正切函数的图像正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为xk，kZ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且是增加的2正切函数的性质(1)正切函数ytan x的定义域是，值域是R.(2)正切函数ytan x的最小正周期是.(3)正切函数在(kZ)上是增加的，不能写成闭区间，正切函数无减区间.