3.1 数乘向量 学案（含答案）

1、3从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量学习目标1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题知识点一向量数乘的定义一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a.它的长度为|a|a|.它的方向：当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0，方向任意知识点二向量数乘的运算律(1)(a)()a.(2)()aaa.(3)(ab)ab.知识点三向量共线定理1向量共线的判定定理a 是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非

2、零向量a共线2向量共线的性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得ba.思考共线向量定理中为什么规定a0?答案若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线(1)若b0，则不存在实数，使ba.(2)若b0，则对任意实数，都有ba.知识点四向量的线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)1若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.()提示当b0，a0时，实数不唯一2若ba，则a与b共线()提示由向量共线定理可知其正确3若a0，则a0.()提示若a0，则a0或0.题型一向量数乘的基本运算例1(1)3(6ab)9_.考点向量的线性运算及应用题点向

3、量的线性运算答案9a解析3(6ab)918a3b9a3b9a.(2)若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_.考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案4b3a解析由已知得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0，所以x4b3a.反思感悟(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算跟踪训练1(1)(ab)3(ab)8a_.答案10a

4、4b解析(ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a2a4b8a10a4b.(2)若2(cb3y)b0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y_.答案abc解析因为2(cb3y)b0，3yabc0，所以yabc.题型二向量共线的判定及应用命题角度1判定向量共线或三点共线例2已知非零向量e1，e2不共线(1)若ae1e2，b3e12e2，判断向量a，b是否共线解b6a，a与b共线(2)若e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线证明e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线反思感悟(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同

5、的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用ba(a0)，还要说明向量a，b有公共点跟踪训练2已知非零向量e1，e2不共线，如果e12e2，5e16e2，7e12e2，则共线的三个点是_答案A，B，D解析e12e2，5e16e27e12e22(e12e2)2，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线命题角度2利用向量共线求参数值例3已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定k的值解ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke

6、2)，则(k)e1(k1)e2.又e1与e2不共线，k1.反思感悟利用向量共线定理，即b与a(a0)共线ba，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值跟踪训练3设两个不共线的向量e1，e2，若a2e13e2，b2e13e2，c2e19e2，问是否存在实数，使dab与c共线？考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数解d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则存在实数k，使得dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2.因为e1与e2不共线，所以得2.故存在实数和，使得d与c共线，此时2.题型三用已知向量表示其他向量例4在ABC中，

7、若点D满足2，则等于()A. B.C. D.答案D解析示意图如图所示，由题意可得().反思感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程跟踪训练4如图，在ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，3a，2b，求，.解3a，2b，2b3a.又D，E为边AB的两个三等分点，ba，3aba2ab，3a3a(2b3a)ab.向量共线的判定与应用典例如图，

8、设O是ABC内一点，且满足230，则ABC与AOC的面积之比为_答案3解析如图所示，分别取BC，AC边的中点D，E，则2，2，由2可得232(2)又因为230，所以20，即2，所以，共线，且|2|.所以SAOC2SCOE2SCDE2SABCSABC，所以3.素养评析本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养.1已知a5e，b3e，c4e，则2a3bc等于()A5e B5e C23e D23e答案C解析2a3bc25e3(3e)4e23e.2在ABC中，M是BC的中点，则等于()A. B.C2 D.答案C解析如图，作出平

9、行四边形ABEC，M是对角线的交点，故M是BC的中点，且是AE的中点，由题意知，2，故选C.3设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2 (kR)与向量ne22e1共线，则()Ak0 Bk1 Ck2 Dk答案D解析当k时，me1e2，n2e1e2.所以n2m，此时，m，n共线4(2018定远育才中学月考)如图，已知a，b，3，用a，b表示，则等于()Aab B.abC.ab D.ab答案B解析()ab.5如图所示，已知，用，表示.解().1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的2a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍向量表示与向量a同向的单位向量3向量共线定理是证明三点共线的重要工具即三点共线问题通常转化为向量共线问题4已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)，A，P，B三点共线mn1.