4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 学案（含答案）

1、4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习目标1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题知识点正弦、余弦函数的性质正弦函数(ysin x)余弦函数(ycos x)定义域R值域1,1最小值当x2k，kZ时，ymin1当x2k，kZ时，ymin1最大值当x2k，kZ时，ymax1当x2k，kZ时，ymax1周期性周期函数，最小正周期为2单调性在区间，kZ上是增加的；在区间，kZ上是减少的在区间2k，2k，kZ上是减少的；在区间2k，22k，kZ上是增加的思考能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是增加的？答案不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正

2、弦函数在每一个区间(kZ)上是增加的1正弦函数在第一象限是增函数()提示正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如sin .2存在实数x，使得sin x.()提示正弦函数最小值为1.题型一正弦、余弦函数的定义域例1求下列函数的定义域(1)y；(2)ylg.解(1)自变量x应满足2sin x0，即sin x.图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围，即.(2)由题意知，自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，.反思感悟(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的

3、限制(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集跟踪训练1求函数y的定义域解要使有意义，则必须满足2sin x10，即sin x，结合单位圆，知x的取值范围是，kZ.题型二正弦、余弦函数的值域与最值例2(1)求函数ycos x的值域解ycos x在区间上是增加的，在区间上是减少的，当x0时，ymax1，当x时，ymincos，ycos x的值域是.(2)已知函数yasin x1的最大值为3，求它的最小值解当a0时，ymaxa113，得a2，当sin x1时，ymin2(1)11；当a0时，ymaxa(1)13，得a2，当s

4、in x1时，ymin2111.它的最小值为1.反思感悟(1)求正弦、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正弦、余弦函数的单调性进行分析(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数分类讨论跟踪训练2求函数y2cos x，x的值域解由单位圆，可知当x时，cos x，所以2cos x，所以函数y2cos x，x的值域为.题型三正弦、余弦函数的单调性例3函数ycos x的一个递增区间为()A. B(0，)C. D(，2)答案D解析ycos x的递增区间为，kZ，令k1得，即为ycos x的一个递增区间，而(，2)，故选D.反思感悟利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，

5、特别注意不连贯的单调区间不能并跟踪训练3求下列函数的单调区间(1)ysin x，x，；(2)ycos x，x，解(1)ysin x在x，上的递增区间为，递减区间为，.(2)ycos x在x，上的递增区间为，0，递减区间为0，.1函数ycos x1的最小值是()A0 B1C2 D1答案C解析cos x1,1，所以ycos x1的最小值为2.2函数f(x)2sin x1的最大值是()A1 B2 C3 D4答案C解析因为1sin x1，所以当sin x1时，f(x)取最大值213.3不等式sin x10的解集为_答案解析由sin x10得，sin x.由单位圆可得2kx2k，kZ.4求y2sin x，x的值域解由x，得sin x，y2,1，y2sin x，x的值域为2,1利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识