微专题突破七 平面向量中的三角形“四心”问题 学案（含答案）

1、微专题突破七平面向量中的三角形“四心”问题在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，还培养了考生分析问题、解决问题的能力现就“四心”作如下介绍：1重心三角形三条中线的交点叫重心，它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为21.在向量表达形式中，设点G是ABC所在平面内的一点，则当点G是ABC的重心时，有0或()(其中P为平面上任意一点)反之，若0，则点G是ABC的重心在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且坐标分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)

2、，C(x3，y3)，则有x，y.2垂心三角形三条高线的交点叫垂心，它与顶点的连线垂直于对边在向量表达形式中，若H是ABC的垂心，则或222222.反之，若，则H是ABC的垂心向量(0)所在的直线过ABC的垂心(该向量在BC边上的高AD所在的直线上)3内心三角形三条内角平分线的交点叫内心内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等在向量表达形式中，若点I是ABC的内心，则有|0.反之，若|0，则点I是ABC的内心向量(0)所在的直线过ABC的内心(该向量在BAC的平分线所在的直线上)4外心三角形三条边的中垂线的交点叫外心外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等在向量表达

3、形式中，若点O是ABC的外心，则()()()0或|.反之，若|，则点O是ABC的外心例1已知ABC内一点O满足关系230，试求SBOCSCOASAOB的值考点平面几何中的向量方法题点向量在平面几何中的应用解如图，延长OB至B1，使BB1OB，延长OC至C1，使CC12OC，连接AB1，AC1，B1C1.则2，3.由已知，得0，点O是AB1C1的重心从而S，其中S表示AB1C1的面积SCOAS，SAOBS，SBOCS.于是SBOCSCOASAOB123.点评本题条件230与三角形的重心性质0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将

4、三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比引申推广已知ABC内一点O满足关系1230，则SBOCSCOASAOB123.例2已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心考点平面几何中的向量方法题点向量在平面几何中的应用答案B解析为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向为BAC的角平分线的方向又0，)，所以的方向与的方向相同而，所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过ABC的内心点评根据向量加法的平行四边形法则可知的方向为BAC的平分线的方向，体现了向量的“几何”特性以及其在解题中的应用例3O是

5、ABC所在平面内的一定点，动点P满足，(0，)，则直线AP一定通过ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心考点平面几何中的向量方法题点向量在平面几何中的应用答案D解析由，得，所以(|)0，所以与垂直，即直线AP一定通过ABC的垂心，故选D.点评注意到右边表达式分母部分“cos B”，“cos C”，联想到向量数量积的运算，通过两边同时点乘同一向量，再利用数量积运算化简，从而使问题得解例4已知O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，动点P满足()，0，)，则点P的轨迹一定经过ABC的()A外心 B垂心C内心 D重心考点平面几何中的向量方法题点向量在平面几何中的应用答案D解析设，则可知四边形BACD是平行四边形又，得，则A，P，D三点共线又D在边BC的中线所在的直线上，0，)，于是点P的轨迹一定经过ABC的重心，故选D.点评根据向量加法的几何意义知和的和向量所在直线平分BC，即直线AD为BC边中线所在直线，从而本题答案也就显而易见了