1、1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在学习目标1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图像判断零点个数.知识点一函数的零点概念概念：函数yf(x)的零点是函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标.方程、函数、图像之间的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点.知识点二零点存在性定理若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则f(x)在a，b内无零点.()3.若f(x)在a，b上为单调函数，且f(a
2、)f(b)0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.()4.若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)f(b)0.()题型一求函数的零点例1(1)函数y1的零点是()A.(1,0) B.1 C.1 D.0答案B解析由10，得x1.(2)函数f(x)(lg x)2lg x的零点为_.考点函数零点的概念题点求函数的零点答案x1或x10解析由(lg x)2lg x0，得lg x(lg x1)0，lg x0或lg x1，x1或x10.反思感悟函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，
3、所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.跟踪训练1(1)函数f(x)2x13的零点是_.(2)若函数f(x)axb(b0)有一个零点3，则函数g(x)bx23ax的零点是_.答案(1)log26(2)1和0解析(1)解方程2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.(2)因为f(x)axb的零点是3，所以f(3)0，即3ab0，即b3a.所以g(x)bx23axbx2bxbx(x1)，所以方程g(x)0的两个根为1和0，即函数g(x)的零点为1和0.题型二探求零点所在区间例2(1)在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B.C. D.答案C解析因为f20，所以
4、ff0，f(1)40，所以在区间(3，1)内必有实数根，又f(2)40，所以在区间(2,4)内必有实数根，故选A.反思感悟判断单调函数零点所在区间的方法：将区间端点值代入函数解析式求出函数值，进行符号判断即可得出结论，此类问题的难点往往是函数值符号的判断，对此可运用函数的有关性质进行判断.跟踪训练2根据表格中的数据，可以断定方程ex(x2)0(e2.72)的一个根所在的区间是()x10123ex0.3712.727.4020.12x212345A.(1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)考点函数零点存在性定理题点判断函数零点所在的区间答案C解析令f(x)ex(x2)，则f(1
5、)0.3710，f(0)120，f(1)2.7230.由于f(1)f(2)0，方程ex(x2)0的一个根在(1,2)内.题型三判断函数零点个数例3已知0a1，则函数ya|x|logax|的零点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析函数ya|x|logax|(0a1)的零点的个数即方程a|x|logax|(0a1)的根的个数，也就是函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图像的交点的个数.画出函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图像，如图所示，观察可得函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图像的交点
6、的个数为2，从而函数ya|x|logax|的零点的个数为2.反思感悟判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图像交点的个数判定函数零点的个数.跟踪训练3求函数f(x)ln x2x6零点的个数.考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数解方法一由于f(2)ln 2460，即f(2)f(3)0，又f(x)的图像在(2,3)上是不间断的，所以函数f(x)在区间(2,3)内有零点.又因为函数f(x)在定义域(0，)内是增函数，所以它仅有一个零点.方法二通过作出函数yln x，y2x6的图像，观察两图像的交点
7、个数得出结论.也就是将函数f(x)ln x2x6的零点个数转化为函数yln x与y2x6的图像交点的个数.由图像可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点.根据零点情况求参数范围典例若函数f(x)x22mx2m1在区间(1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围.考点函数的零点与方程根的关系题点两根分别属于两区间解函数f(x)x22mx2m1的零点分别在区间(1,0)和(1,2)内，即函数f(x)x22mx2m1的图像与x轴的交点一个在(1,0)内，一个在(1,2)内，根据图像(图略)列出不等式组解得m，实数m的取值范围是.素养评析函数的零点即函数图像与x轴交点的横坐标，这样就
8、建立了数与形的联系，利用函数图像描述问题，充分体现直观想象的数学核心素养.1.函数yln x的零点是()A.(0,0) B.x0 C.x1 D.不存在考点函数零点的概念题点求函数的零点答案C2.下列各图像表示的函数中没有零点的是()考点函数零点的概念题点判断函数有无零点答案D3.函数f(x)4x2x2的零点是()A.(1,0) B.1 C. D.1答案B4.函数f(x)2x的零点所在的区间是()A.(1，) B.C. D.答案B5.函数f(x)x3x的零点有_个.考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数答案11.方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图像与x轴交点的横坐标.2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图像.4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.
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