习题课 函数及其表示 学案（含答案）

1、习题课函数及其表示学习目标1.简单函数的值域的基本求法(重、难点)；2.会求复合函数的定义域(难点)；3.会用熟悉函数的图像作简单函数的图像(重点)1下列图形是函数y|x|(x2，2)的图像的是()解析在y|x|中，yx(0x2)是直线yx上满足0x2的一条线段(包括端点)，yx(2x0)是直线yx上满足2x0，所以0.答案A4写出与函数y1(x0)相等的一个函数为_(写出一个即可)解析与该函数相等的函数有很多，如函数y.答案y(不唯一)类型一函数值域的求解【例1】(1)二次函数yx24x3在区间(1，4上的值域是()A1，) B(0，3C1，3 D(1，3(2)求下列函数的值域：y2x；y.

2、(1)解析yx24x3(x2)21，因为1x4，故1x22，所以0(x2)24，所以1(x2)213，故yx24x3在区间(1，4上的值域为1，3答案C(2)解令t0，则x，所以原函数可化为yt2t1(t0)因为t0，所以，故y1，所以函数的值域为y|y1因为y1，又函数的定义域为R，所以x211，所以02，则y(1，1所以所求函数的值域为(1，1规律方法求函数值域的原则及常用方法(1)原则：定义域优先(2)常用方法观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到；配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法；换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域；分离常

3、数法：此方法主要是针对分式函数，即将有理分式转化为“反比例函数”的形式，便于求值域【训练1】求下列函数的值域：(1)y2x1；(2)yx24x6，x1，5)；(3)y；(4)yx.解(1)因为xR，所以2x1R，即函数的值域为R.(2)配方：yx24x6(x2)22，因为x1，5)，由图所示所以所求函数的值域为2，11)(3)法一借助反比例函数的特征求y3，显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为y|y3法二把y看成关于x的方程，变形得(y3)x(y1)0，该方程在原函数定义域x|x1内有解的条件是解得y3，即所求函数的值域为y|y3(4)设u(x0)，则xu2(u0)，yu2u(u0)因

4、为由u0，可知，所以y0.所以函数yx的值域为0，)类型二函数的图像及应用【例2】作出下列函数的图像：(1)y2x24x3(0x3)；(2)y解(1)因为0x3，所以这个函数的图像是抛物线y2x24x3介于0x3之间的一段(如图所示)(2)这个函数的图像由两部分组成：当0x1时，图像为双曲线y的一部分；当x1时，图像为直线yx的一部分(如图所示)规律方法1.描点法作函数图像的基本步骤求函数定义域化简解析式在定义域内选择关键点列表在坐标系中描出这些关键点用光滑曲线连接这些关键点得函数图像2作图像时要注意的一些关键点与坐标轴的交点；图像上的最高点、最低点；还要分清这些关键点是实心点还是空心点【训练

5、2】已知函数f(x)(1)求f(8)，f ，f ，f 的值；(2)作出函数的简图；(3)求函数的值域解函数的定义域为1，0)0，1)1，21，2(1)因为81，2，所以f(8)无意义因为1x0时，f(x)x，所以f.因为0x1时，f(x)x2，所以f.因为1x2时，f(x)x，所以f .(2)在同一坐标系中分段画出函数的图像，如图所示：(3)由(2)中画出的图像可知函数的值域为0，2考查方向类型三抽象函数的定义域问题方向1已知f(x)的定义域求f(x)的定义域【例31】已知函数yf(x)的定义域为(1，0)，则函数yf(2x1)的定义域为()A(1，1) B.C(1，0) D.解析yf(x)的

6、定义域为(1，0)，12x10，解得1x.故选B.答案B方向2已知f(x)的定义域，求f(x)的定义域【例32】(1)已知yf()的定义域为0，3，则函数yf(x)的定义域为_(2)函数yf(2x1)的定义域为0，1，则yf(x)的定义域为()A1，1 B.C0，1 D1，0解析(1)yf()的定义域为0，3，0x3，则12.yf(x)的定义域为1，2(2)因为函数yf(2x1)的定义域为0，1，所以0x1，则02x2，即12x11，即函数yf(x)的定义域为1，1答案(1)1，2(2)A规律方法两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x)的定义域：若f(x)的定义域为

7、a，b，则f(g(x)中ag(x)b，从中解得x的取值集合即为f(g(x)的定义域(2)已知f(g(x)的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x)的定义域为a，b，即axb，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域1.如何作函数的图像一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等2求值域时的注意事项(1)求值域时一定要注意定义域的影响，如函数yx22x3的值域与函数yx22x3，x0，3)的值域是不同的(2)在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化3复合函数fg(x)的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.