1、,第1章 直角三角形,1.2 直角三角形的性质和判定(),第1章 直角三角形,1.2 直角三角形的性质和判定(),考场对接,例题1 如图1-2-7所 示, 在ABC中, ADBC, 垂 足为D, B=60, C=45. (1)求BAC的度数； (2)若AC=2, 求AD的长.,题型一 利用勾股定理求边长,考场对接,解： (1)BAC=180-60-45=75. (2)ADBC, ADC是直角三角形. C=45, DAC=45, AD=DC. 在RtADC中, AD2 +DC2 =AC2 . AC=2, 2AD2 =4, AD2 =2, AD= .,锦囊妙计 特殊直角三角形三边的比例关系 (1)
2、含30角的直角三角形(如图1-2-8)中, 三 边的比例关系为abc=1 2； (2)含45角的直角三角形 (如图1-2-9)中, 三 边的比例关系 为abc=11 .,题型二 利用勾股定理证明某些线段的数量关系,例题2 如图1 - 2 - 10所示, 在RtABC中, C=90, AM为BC边上 的中线, MNAB, 垂足为 N. 试说明：AN2 -BN2 =AC2 .,解： MNAB, AN2 +MN2 =AM2 , BN2 +MN2 =MB2 , AN2 -BN2 =AM2 -MB2 . AM为BC边上的中线, MB=MC, AN2 -BN2 =AM2 -MC2 . 在RtAMC中, A
3、M2 -MC2 =AC2 , AN2 -BN2 =AC2 .,锦囊妙计 解决有关线段的平方之间的关系问题, 一 般思路是找出直角三角形, 利用勾股定理进行 转化. 若没有直角三角形, 则可通过作辅助线构 造直角三角形.,题型三 利用勾股定理解决有关正方形网格问题,例题3 如图1-2-11, 在由6个大小相同的小 正方形组成的网格中, 每个小正方形的边长为1. (1)如图1-2-11, A, B, C 是三个格点(即 小正方形 的顶点), 判断AB与BC的 关系, 并说明 理由；,(2)如图1-2-11, 连接三格和两格的对角 线, 求+的度数(要求：画出示意图并给出 证明).,解: (1)AB
4、BC且AB=BC. 理由如下：如图1-2-12, 连接AC. 由勾股定理, 得AB2 =12 +22 =5, BC2 =12 +22 =5, AC2 =12 +32 =10, AB2 +BC2 =AC2 , AB=BC, ABC是直角三角形, ABC=90, ABBC, AB=BC.,(2)+=45 证明如下：如图1-2-12, 由勾股定理, 得AB2 =12 +22 =5, BC2 =12 +22 =5, AC2 =12 +32 =10, AB2 +BC2 =AC2 , ABC是直角三角形. AB=BC, ABC是等腰直角三角形, BAC=45. 由网格的性质, 可得=1=2, +=2+=B
5、AC=45.,锦囊妙计 网格问题中的隐含条件 在正方形网格中, 有关线段的长度、图形 的面积或角度的计算问题在很多情形下都可以 转化为直角三角形问题来解决. 这类问题的条 件中隐含了使用勾股定理的条件：网格中含 有垂直关系(直角)；网格中含有单位长度.,题型四 勾股定理与图形的折叠,例题4 有一块直角三角形纸片, 两直角 边AC=6 cm, BC=8 cm, 如图1-2-13所示. 现将 ACD沿直线AD折叠(点D在BC边上), 使直角边 AC落在斜边AB上, 点C落在点E处. 求CD的长.,解： ADE是由ADC折叠得到的, ADEADC, DEA=DCA=90, DE=CD, AE=AC.
6、 设CD=x cm(x0), 则DE=x cm, BD=BC-CD=(8-x)cm. AC=6 cm, BC=8 cm, AB= =10(cm), BE=AB-AE=AB-AC=10-6=4(cm). 在RtBDE中, 由勾股定理, 得BD2 =BE2 +DE2 , 即(8-x)2 =42 +x2 , 解得x=3, 即CD=3 cm.,锦囊妙计 解决折叠问题的常见思路 遇到图形的折叠问题, 首先要联想到图形的 全等, 有折叠过程必有全等图形. 找出全等图形, 从而可得对应边(或角)相等. 另外, 与直角三角形 有关的折叠问题, 常常以勾股定理为等量关系建 立方程求解.,题型五 运用勾股定理及其
7、逆定理证明几何问题,例题5 如图1-2-14所示, 在正方形ABCD 中, F为CD的中点, E为BC边上一点, 且EC= BC. 求证：EFA=90.,证明:设正方形ABCD的边长 为4a(a0), 则EC=a, BE=3a, CF=DF=2a. 在RtABE中, 由勾股定理, 得 AE2 =AB2 +BE2 =(4a)2 +(3a)2 =25a2 . 在RtADF中, 由勾股定理, 得 AF2 =AD2 +DF2 =(4a)2 +(2a)2 =20a2 . 在RtEFC中, 由勾股定理, 得 EF2 =EC2 +CF2 =a2 +(2a)2 =5a2 . 在AEF中, AF2 +EF2 =
8、20a2 +5a2 =25a2 =AE2 , AEF为直角三角形, 且EFA=90.,锦囊妙计 设参法求解线段的数量关系 当图形中存在多条边之间的数量关系时, 可用“设参数法”解题, 即设最短线段的长为 常数a, 将其他线段均用含a的代数式表示出来, 从而可发现未知边之间的数量关系.,题型六 运用勾股定理及其逆定理解决实际问题,例题6 如图1-2-15所示, 一个长为10 m的 梯子(AB)斜靠在墙上, 梯子的顶端到地面的距离 (AO)为8 m, 梯子的顶端下滑2 m后, 底端也会滑动 2 m吗？试说明理由.,解:底端会滑动2 m. 理由如下： 在RtAOB中, AB=10 m, AO=8 m, BO= =6(m). 在RtAOB中, AB=10 m, AO=AO-AA=8-2=6(m), BO= =8(m), BB=BO-BO=8-6=2(m), 即底端会滑动2 m.,锦囊妙计 建模思想 在解决实际问题时, 先将其转化为几何图 形问题, 再利用相关定理求线段(角)的长度(大 小)即可.,谢 谢 观 看！,
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