2019-2020学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

1、2019-2020学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（）ABCD2（4分）方程x210的解是（）Ax1x21Bx11，x21Cx1x21Dx11，x203（4分）做抛掷同一枚啤酒瓶盖的重复实验，经过统计得“凸面朝上”的频率为0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面朝上”的概率约为（）A22%B44%C50%D56%4（4分）小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是12m，那么旗杆的高度（）A4.5mB6mC7.2

2、mD8m5（4分）若，则的值是（）ABCD6（4分）如图，O是ABC的外接圆，连接OB、OC，若OBBC，则BAC等于（）A60B45C30D207（4分）函数y2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）Ay2（x1）2+2By2（x1）22Cy2（x+1）2+2Dy2（x+1）228（4分）一元二次方程x22x+m0没有实数根，则m应满足的条件是（）Am1Bm1Cm1Dm19（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC2：1，连接AE交BD于点F，则DEF与BAF的面积之比为（）A3：2B2：3C9：4D4：910（4分）如图，点C在反比例函数y（

3、x0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且ABBC，AOB的面积为1，则k的值为（）A1B2C3D411（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC与B相交于点O，ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点若AM，则线段BN的长为（）ABC1D212（4分）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0；2a+b0；m为任意实数，则a+bam2+bm；ab+c0；若ax12+bx1ax22+bx2，且x1x2，则x1+x22其中正确的有（）ABCD二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13（4分）如果点（3，4）在反比例函数y的图象上，则k

4、 14（4分）如图，在84的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tanACB的值为 15（4分）如图，点D，E分别在ABC的边AB，AC上，DEBC，AD4cm，BD2cm，AC4.5cm，则CE的长为 16（4分）如图，AB为O的直径，点C在O上，若OCA50，AB4，则的长为 17（4分）如图，在矩形ABCD中，AB3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为 18（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，且AOB60，反比例函数y（k0）在第一象限内过点A，且与BC交于点F当F为BC

5、的中点，且SAOF12时，OA的长为 三、解答题（本大题9个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（5分）解方程：x22x3020（6分）计算：3tan302sin60+cos24521（7分）如图，在ABC中，B45，AB3，AC5，求边BC的长22（8分）如图所示，某学校有一道长为12米的墙，计划用26米长的围栏靠墙围成一个面积为80平方米的矩形草坪ABCD求该矩形草坪BC边的长23（8分）一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5（1）求口袋中红球的个数（2）从袋中任

6、意摸出一球，放回摇匀后，再摸出一球，则两次都摸到白球的概率是多少？请你用列表或画树状图的方法说明理由24（10分）如图，CD是O的切线，点C在直径AB的延长线上（1）求证：CADBDC；（2）若BC2，CD3，求O的半径25（10分）如图1，正比例函数ykx的图象与反比例函数y（x0）的图象都经过点A（2，2）（1）分别求这两个函数的表达式；（2）如图2，将直线OA向下平移n个单位长度后与y轴交于点B，与x轴交于点C，与反比例函数图象在第一象限内的交点为D，连接OD，tanCOD求n的值连接AB，AD，求ABD的面积26（12分）在ABC中，ABAC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合

7、）以AD为边作菱形ADEF，使DAFBAC，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BDCF；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且BAC90时问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；延长BA交CF于点G，连接GE，若AB2，CDBC，请求出GE的长27（12分）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴交于点D（0，3）（1）求抛物线的表达式以及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得DP+CP最小，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由（3）点Q是线段BD上方抛物线上的一个动点过点

8、Q作x轴的垂线，交线段BD于点E，再过点Q作QFx轴交抛物线于点F，连结EF，请问是否存在点Q使QEF为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由2019-2020学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（）ABCD【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，

9、所以，左视图是圆的几何体是球故选：C【点评】主要考查立体图形的左视图，关键根据圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形解答2（4分）方程x210的解是（）Ax1x21Bx11，x21Cx1x21Dx11，x20【分析】先移项得到x21，然后利用直接开平方法解方程【解答】解：x21，所以x1，所以x11，x21故选：B【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如x2p或（nx+m）2p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程3（4分）做抛掷同一枚啤酒瓶盖的重复实验，经过统计得“凸面朝上”的频率为0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面朝上”的概率约为（）

10、A22%B44%C50%D56%【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可【解答】解：凸面向上”的频率约为0.44，估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为0.4444%，故选：B【点评】本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，大量重复试验事件发生的频率约等于概率4（4分）小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是12m，那么旗杆的高度（）A4.5mB6mC7.2mD8m【分析】由于光线是平行的，影长都在地面上，那么可得身高与影长构成的三角形和旗杆和影长构成的三角形相似，利用对应边成比例可得旗杆的高度【解答】解：设旗杆的高度为xm，根据题意得：，解

11、得：x8，即旗杆的高度为8m，故选：D【点评】本题考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例5（4分）若，则的值是（）ABCD【分析】将原式转化为mn，代入即可求得其值【解答】解：，mn，故选：A【点评】本题考查了比例的性质，属于基础题，相对比较简单6（4分）如图，O是ABC的外接圆，连接OB、OC，若OBBC，则BAC等于（）A60B45C30D20【分析】由OBBC，易得OBC是等边三角形，继而求得BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得BAC的度数【解答】解：OBBCOC，OBC是等边三角形，BOC60，BACBOC30故选：C【点评】此题

12、考查了等边三角形的性质与圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用7（4分）函数y2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）Ay2（x1）2+2By2（x1）22Cy2（x+1）2+2Dy2（x+1）22【分析】先确定物线y2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式【解答】解：抛物线y2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，2），所以平移后的抛

13、物线解析式为y2（x1）22故选：B【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式8（4分）一元二次方程x22x+m0没有实数根，则m应满足的条件是（）Am1Bm1Cm1Dm1【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围【解答】解：一元二次方程x22x+m0没有实数根，（2）241m0，m1故选：A【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0时，方程无实数根”是

14、解题的关键9（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC2：1，连接AE交BD于点F，则DEF与BAF的面积之比为（）A3：2B2：3C9：4D4：9【分析】根据平行四边形的性质可得出CDAB，进而可得出DEFBAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC2：1，即可得出DEF与BAF的面积之比，此题得解【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，CDAB，DEFBAFDE：EC2：1，（）2故选：D【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键10（4分）如图，点C在反比例函数y（x0）的图象上，过点C的直线与x轴

15、，y轴分别交于点A，B，且ABBC，AOB的面积为1，则k的值为（）A1B2C3D4【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据AOB的面积为1，即可求得k的值【解答】解：设点A的坐标为（a，0），过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且ABBC，AOB的面积为1，点C（a，），点B的坐标为（0，），1，解得，k4，故选：D【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答11（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC与B相交于点O，ACB的角

16、平分线分别交AB、BD于M、N两点若AM，则线段BN的长为（）ABC1D2【分析】过M点作MHAC于H点，在等腰直角HAM中可求HMAM1，根据角平分线的性质可得BMMH1，再证明BNBM即可【解答】解：过M点作MHAC于H点，四边形ABCD是正方形，HAM45HAM是等腰直角三角形，HMAM1CM平分ACB，MHAC，MBCB，BMHM1，ACMBCNBMN45+ACM，BNM45+BCM，BMNBNMBNBM1故选：C【点评】本题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质，解决这类问题一般会利用到正方形对角线平分90得到45等腰直角三角形，涉及角平分线时作角两边的垂线段是常见辅助线12（4分）

17、二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0；2a+b0；m为任意实数，则a+bam2+bm；ab+c0；若ax12+bx1ax22+bx2，且x1x2，则x1+x22其中正确的有（）ABCD【分析】根据抛物线开口方向得a0，由抛物线对称轴为直线x1，得到b2a0，即2a+b0，由抛物线与y轴的交点位置得到c0，所以abc0；根据二次函数的性质得当x1时，函数有最大值a+b+c，则当m1时，a+b+cam2+bm+c，即a+bam2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（1，0）的右侧，则当x1时，y0，所以ab+c0；把ax12+bx1ax22+bx

18、2先移项，再分解因式得到（x1x2）a（x1+x2）+b0，而x1x2，则a（x1+x2）+b0，即x1+x2，然后把b2a代入计算得到x1+x22【解答】解：抛物线开口向下，a0，抛物线对称轴为直线x1，b2a0，即2a+b0，所以正确；抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，所以错误；抛物线对称轴为直线x1，函数的最大值为a+b+c，当m1时，a+b+cam2+bm+c，即a+bam2+bm，所以错误；抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x1，抛物线与x轴的另一个交点在（1，0）的右侧当x1时，y0，ab+c0，所以错误；ax12+bx1ax22+bx2，ax12

19、+bx1ax22bx20，a（x1+x2）（x1x2）+b（x1x2）0，（x1x2）a（x1+x2）+b0，而x1x2，a（x1+x2）+b0，即x1+x2，b2a，x1+x22，所以正确综上所述，正确的有故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数yax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点

20、个数由决定，b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；b24ac0时，抛物线与x轴没有交点二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13（4分）如果点（3，4）在反比例函数y的图象上，则k12【分析】先设y，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式【解答】解：把点（3，4）代入函数得k12故答案为：12【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点14（4分）如图，在84的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tanACB的值为【分析】结合图形，根据锐角

21、三角函数的定义即可求解【解答】解：由图形知：tanACB，故答案为：【点评】题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义15（4分）如图，点D，E分别在ABC的边AB，AC上，DEBC，AD4cm，BD2cm，AC4.5cm，则CE的长为1.5【分析】根据本题考查的是平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可【解答】解：DEBC，即，可得：CE1.5，故答案为：1.5【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键16（4分）如图，AB为O的直径，点C在O上，若OCA50，AB4，则的长为【分析】直接利用等腰三角形的性质得出A的度数，再

22、利用圆周角定理得出BOC的度数，再利用弧长公式求出答案【解答】解：OCA50，OAOC，A50，BOC2A100，AB4，BO2，的长为：故答案为【点评】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出BOC的度数是解题关键17（4分）如图，在矩形ABCD中，AB3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OAABOB3，得出BD2OB6，由勾股定理求出AD即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，OBOD，OAOC，ACBD，OAOB，AE垂直平分OB，ABAO，OAABOB3，BD2OB6，AD3；故答案为：3【点评】此

23、题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键18（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，且AOB60，反比例函数y（k0）在第一象限内过点A，且与BC交于点F当F为BC的中点，且SAOF12时，OA的长为8【分析】如图作AHOB于H，连接AB设OHm，则AHm，由BFCF，A、F在y上，可得A（m， m），F（2m， m），根据SAOF12，可得（m+m）m12，求出m即可解决问题；【解答】解：如图作AHOB于H，连接AB四边形OACB是平行四边形，OABC，AO

24、B60，设OHm，则AHm，BFCF，A、F在y上，A（m， m），F（2m， m），SAOF12，（m+m）m12，m4（负根已经舍弃），OA2OH8，故答案为8【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题三、解答题（本大题9个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（5分）解方程：x22x30【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答【解答】解：原方程可以变形为（x3）（x+1）0x30，x+10x13，x21【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程注意：常数项应分解成两

25、个数的积，且这两个的和应等于一次项系数20（6分）计算：3tan302sin60+cos245【分析】把特殊角的三角函数值代入求值即可【解答】解：3tan302sin60+cos24532+（）2+【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握30、45、60角的各种三角函数值21（7分）如图，在ABC中，B45，AB3，AC5，求边BC的长【分析】作AHBC，垂足为H，构造直角三角形，在RtABH中利用锐角三角函数求出AH、BH的长，在RtACH中利用勾股定理求出CH的长再利用线段的和差关系求出BC【解答】解：过点A作AHBC，垂足为H在RtABH中，B45，AB，AHABsinB

26、BHAH3AC5在RtACH中，CHBCBH+AH3+47【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理构造直角三角形是解决本题的关键22（8分）如图所示，某学校有一道长为12米的墙，计划用26米长的围栏靠墙围成一个面积为80平方米的矩形草坪ABCD求该矩形草坪BC边的长【分析】设矩形草坪AB边的长为x米，则BC边的长为（262x）米，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再由262x12可确定x的值，此题得解【解答】解：设矩形草坪AB边的长为x米，则BC边的长为（262x）米，根据题意得：x（262x）80，整理得：x213x+400，解得

27、：x15，x28262x12，x7，x8，262x10答：该矩形草坪BC边的长为10米【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键23（8分）一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5（1）求口袋中红球的个数（2）从袋中任意摸出一球，放回摇匀后，再摸出一球，则两次都摸到白球的概率是多少？请你用列表或画树状图的方法说明理由【分析】（1）首先设红球有x个，由概率公式可得，解此方程即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两

28、次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：（1）设红球有x个，则，解得：x1，经检验：x1是原分式方程的解；红球有1个；（2）列表如下：红白1白2黄红（红，红）（红，白1）（红，白2）（红，黄）白1（白1，红）（白1，白1）（白1，白2）（白1，黄）白2（白2，红）（白2，白1）（白2，白2）（白2，黄）黄（黄，红）（黄，白1）（黄，白2）（黄，黄）共有16中情况，其中都是白球的有4种，P（两次都摸到白球）【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比24（10分）如图，CD是O的切线，点C在直径AB的延长线上（1）求证：CADBDC；

29、（2）若BC2，CD3，求O的半径【分析】（1）连接OD，由OBOD可得出OBDODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180，利用等角的余角相等，即可证出CADBDC；（2）设半径为r，OBODr，由勾股定理可得（2+r）2r2+32，则可得出答案【解答】解：（1）如图，连接OD，OBOD，ODBABD，CD是O的切线，ODC90，ODB+BDC90，AB 是O的直径，D为O上一点，ADB90，ABD+BAD90，CADBDC；（2）设半径为r，OBODr，BC2，CD3，OC2OD2+CD2（2+r）2r2+32解得：【点评】本题考查了勾股定理、圆周角定理以及切线的性质，熟练掌握切线的

30、性质是解题的关键25（10分）如图1，正比例函数ykx的图象与反比例函数y（x0）的图象都经过点A（2，2）（1）分别求这两个函数的表达式；（2）如图2，将直线OA向下平移n个单位长度后与y轴交于点B，与x轴交于点C，与反比例函数图象在第一象限内的交点为D，连接OD，tanCOD求n的值连接AB，AD，求ABD的面积【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）根据tanCOD，和反比例图象坐标特征求得D（4，1），设BD表达式为：yx+b，代入求得b3，即可求得B的坐标，从而求得n的值；根据同底等高的三角形相等得出SABDSOBD，求得OBD的面积即可【解答】解：（1）ykx，（x0）过点A（

31、2，2）将A（2，2）代入ykx，得22k解得：k1正比例函数的解析式为：yx，将A（2，2）代入，得，m4反比例函数为；（2）过D作DEx轴，tanCOD，即，又D在上，D（4，1），BDOA，设BD表达式为：yx+b，过D（4，1），14+b，b3，yx3，B的坐标是（0，3），n3；（3）OABC，SABDSOBDBOxD346【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，解直角三角形以及三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键26（12分）在ABC中，ABAC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）以AD为边作菱形ADEF，使DAFBAC，连接CF（1）如图1，当点D

32、在线段BC上时，求证：BDCF；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且BAC90时问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；延长BA交CF于点G，连接GE，若AB2，CDBC，请求出GE的长【分析】（1）由SAS证明DABFAC，得出对应边相等即可；（2）由SAS证明DABFAC，得出对应边相等即可；过A作AHBC于H，过E作EMBD于M，ENCF于N，证出ADHDEM，由AAS证明ADHDEM，得出EMDH6，DMAH2，得出CNEM6，ENCM6，证出BCG是等腰直角三角形，得出CGBC4，求出GN2，由勾股定理求出GE的长即可【解答】（1）证明：菱形A

33、DEF中，ADAF，BACDAF，BADCAF，在DAB与FAC中，DABFAC（SAS），BDCF；（2）解：（1）中的结论仍然成立；理由如下：BACDAF90，BADCAF在DAB与FAC中，DABFAC（SAS），BDCF；过A作AHBC于H，过E作EMBD于M，ENCF于N，如图所示：BAC90，ABAC，BCAB4，AHBHHC2，CDBC4，DH6，CFBD8，四边形ADEF是正方形，ADDE，ADE90，BCCF，EMBD，ENCF，四边形CMEN是矩形，NECM，EMCN，AHDADEEMD90，ADH+EDMEDM+DEM90，ADHDEM，在ADH与DEM中，ADHDEM（

34、AAS），EMDH6，DMAH2，CNEM6，ENCM6，ABC45，BGC45，BCG是等腰直角三角形，CGBC4，GN2，GE2【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键27（12分）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴交于点D（0，3）（1）求抛物线的表达式以及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得DP+CP最小，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由（3）点

35、Q是线段BD上方抛物线上的一个动点过点Q作x轴的垂线，交线段BD于点E，再过点Q作QFx轴交抛物线于点F，连结EF，请问是否存在点Q使QEF为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；（2）根据轴对称的最短路径问题，知C与B关于对称轴的对称，连接BD交对称轴于P，此时DP+CP的值最小，先求BDF的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点P；（3）如图2，设Q（n，n2+2n+3），则E（n，n+3），F（n+2，n2+2n+3），表示QE和QF的长，根据QEQF列方程可得结论【解答】解：（1）抛物线的顶点A的坐标为（1，4），设抛物线

36、的表达式为：ya（x1）2+4，把（0，3）代入得：3a（01）2+4，a1，抛物线的表达式为：y（x1）2+4x2+2x+3；令y0，（x1）2+40，解得x13，x21，B的坐标是（3，0），C的坐标是（1，0）；（2）存在，如图1，因为B，C关于对称轴对称，连接BD交对称轴于P，此时DP+CP的值最小，D（0，3），B（3，0），易得BD的解析式为：yx+3，当x1时，y1+32，P的坐标是（1，2）；（3）如图2，存在点Q，使QEF为等腰直角三角形，设Q（n，n2+2n+3），则E（n，n+3），F（n+2，n2+2n+3），QE（n2+2n+3）（n+3）n2+3n，QF|2n2|，QEx轴、QFx轴，EQF90，当QEQF时，QEF为等腰直角三角形，即：n2+3n|2n2|，n2+3n2n2，解得：n11（不合题意，舍去），n22，则Q（2，3）；n2+3n2n+2，解得：n13（不合题意，舍去），n2，则Q（，）综上，点Q的坐标为（2，3）或（，）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题，根据线段相等列出关于n的方程是解题答问题（3）的关键