§4 数据的数字特征 学案板（含答案）

1、4数据的数字特征学习目标1.会求样本的众数、中位数、平均数、方差、标准差.2.理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法.3.会应用相关知识解决简单的统计问题.知识点一众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中出现次数最多的数.(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫作这组数据的中位数.(3)平均数：如果n个数x1，x2，xn，那么(x1x2xn)叫作这n个数的平均数.思考平均数、中位数、众数有何异同？答案(1)众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量.(2)平均数的大小与一组数据中每个数据均有关系

2、，任何一个数据的变化都会引起平均值的变动.(3)众数大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题.(4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势.知识点二极差、方差、标准差1.极差一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差.2.方差如果一组数据是x1，x2，x3，xn，这组数据的方差记为s2，则s2(x1)2(x2)2(xn)2.3.标准差(1)标准差的定义标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量，一般用s表示，

3、计算公式为s.(2)标准差的求法样本数据x1，x2，xn的标准差的算法()计算出样本数据的方差s2；()求出方差s2的算术平方根，即s.知识拓展：平均数、方差公式的推广(1)若数据x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均数是ma.(2)设数据x1，x2，xn的平均数为，方差为s2，则a.s2(xxx)n2；b.数据x1a，x2a，xna的方差也为s2；c.数据ax1，ax2，axn的方差为a2s2.1.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大.()2.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小.()3.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方

4、后再求和.()4.一组数据的标准差不大于极差.()题型一数字特征的计算例1(1)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A.众数 B.平均数C.中位数 D.标准差(2)某医院为了了解病人每分钟呼吸次数，对20名病人进行检测，记录结果如下：12,20,16,18,20,28,23,16,15,18,20,24,18,21,18,19,18,31,18,13.则这组数据的平均数为_，中位数为_，众数为_.答案(1)D(2)19.31818解析(1)当每

5、个样本数据都加上2后，众数、平均数、中位数都会发生变化，不变的是数据的波动情况，即标准差不变.(2)平均数19.3，中位数为18，众数为18.反思感悟(1)众数的求法在样本数据中出现次数最多的数据即为众数.(2)中位数的求法把数据按从小到大的顺序排列.找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数.若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数.(3)平均数的计算公式一组样本数据为x1，x2，xn，则样本平均数(x1x2xn).简记为i.(4)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.跟踪训练1对于数据3,3

6、,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论：这组数据的众数是3；这组数据的众数与中位数的数值不相等；这组数据的中位数与平均数的数值相等；这组数据的平均数与众数的数值相等.其中正确结论的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是3，故中位数是3；而平均数4.故只有正确.题型二标准差、方差的应用例2从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,1

7、6,44,27,44,16,40,40,16,40.问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？解(1)甲(25414037221419392142)30030(cm).乙(27164427441640401640)31031(cm).所以甲乙.即乙种玉米长得高.(2)s(2530)2(4130)2(4030)2(3730)2(2230)2(1430)2(1930)2(3930)2(2130)2(4230)2(2512110049642561218181144)1 042104.2(cm2)，s2(2731)23(1631)22(4431)23(4031)21 288128.8(c

8、m2).所以s s.即甲种玉米苗长得齐.反思感悟(1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小.(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散.(3)若样本数据都相等，则s0.(4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的.跟踪训练2甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和(1)中算得的结果，

9、对两人的训练成绩作出评价.解(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分.甲13，乙13，s(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由ss可知乙的成绩较稳定.从折线图来看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高.数据的数字特征的应用典例在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组

10、441621212已经算得两个组的平均分都是80分.请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由.解(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些.(2)s2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172，s4(5080)24(6080)216(7080)22(8080)212(9080)212(10080)2256.s s，甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些.(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，

11、乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看，甲组的成绩较好.(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多.同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看，乙组的成绩较好.素养评析(1)要正确处理两组数据的优劣问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的优劣.(2)通过对数据进行整理、计算，提取信息，进行推断，从而获得结论，这是重要的数学素养之数据分析.1.某市2017年各月的平均气温()数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数

12、是()A.19 B.20 C.21.5 D.23答案B解析由茎叶图知，平均气温在20以下的有5个月，在20以上的也有5个月，恰好是20的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.2.一组样本数据为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则该样本的方差为()A. B. C. D.2答案D解析1，a1，s22.3.一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示.记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，则x等于()A.5 B.6 C.7 D.8答案D解析由题意知，101103x8977，解得x8.4.若样本数据x

13、1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11,2x21，2x101的标准差为_.答案16解析设样本数据x1，x2，x10的标准差为s，则s8，可知数据2x11,2x21，2x101的标准差为2s16.5.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8，7,9,5,4,9,10,7,4则：(1)平均命中环数为_；(2)命中环数的标准差为_.答案(1)7(2)2解析(1)7.(2)s2(77)2(87)2(77)2(97)2(57)2(47)2(97)2(107)2(77)2(47)24，s2.1.平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度.它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息.2.标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.