§8 最小二乘估计 学案（含答案）

1、8最小二乘估计学习目标1.了解最小二乘法，会用给出的公式建立线性回归方程.2.理解回归直线与观测数据的关系，能用线性回归方程进行估计和预测.知识点一最小二乘法1.最小二乘法的定义如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线yabx的接近程度：y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2.使得上式达到最小值的直线yabx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法.2.最小二乘法的应用利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图.如果散点图呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其

2、他的工具进行拟合.知识点二线性回归方程1.回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.2.回归直线对应的方程yabx叫作线性回归方程，简称回归方程.3.如果用表示，用表示，则可以求得b.ab.4.样本点的中心对于一组有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中，(，)称为样本点的中心.1.最小二乘法是求线性回归方程的基本思想.()2.任意一组数据都可以由最小二乘法求得回归直线方程，且可以由方程进行预测.()3.回归直线一定过点(，).()4.回归方程最能代表观测值x，y之间的线性关系.()题型一求线性

3、回归方程例1某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求回归方程.解(1)散点图如图所示.(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560x4162536645，50，145，iyi1 380于是可得，b6.5，ab506.5517.5.反思感悟求线性回归方程的步骤(1)先把数据制成表，从表中计算出，xxx，x1y1x2y2xnyn.(2)计算回归系数a，b，公式为(3)写出线性回归方程ybxa.跟踪训练1某研究机

4、构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求线性回归方程.解9，4，x6282102122344，xiyi6283105126158，b0.7，ab40.792.3.则所求的线性回归方程为y0.7x2.3.题型二线性回归方程的应用例2(1)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得线性回归方程为ybxa，其中b0.76，ab.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的

5、年支出为()A.11.4万元 B.11.8万元C.12.0万元 D.12.2万元答案B解析由题意得10，8，所以a80.76100.4，所以y0.76x0.4，把x15代入得到y11.8.(2)已知关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)有如下的统计资料.x23456y2.23.85.56.57.0由上表可得线性回归方程为ybx0.08，若规定当维修费用y12时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用年限的最大值为_.答案9解析由4，5，知54b0.08，b1.23，回归方程为y1.23x0.08，令1.23x0.0812得x9.7.反思感悟线性回归方程的应用要注意两

6、点(1)求线性回归方程，注意运算的正确性.(2)根据回归直线进行预测估计，估计值不是实际值，两者可能会有一定的误差.跟踪训练2(1)某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表：广告费用x/万元3456销售额y/万元25304045根据上表可得线性回归方程ybxa中的b为7，据此模型，若广告费用为10万元，则预计销售额为_万元.答案73.5解析由题意得4.5，35.线性回归方程ybxa中b7，3574.5a，解得a3.5，y7x3.5.当x10时，y7103.573.5(万元).(2)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年

7、饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y0.254x0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元.答案0.254解析由于y0.254x0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元.利用回归方程对总体进行估计典例一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985(1)画出散点图；(2)如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；(3)在实际生

8、产中，若它们的回归方程为yx，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？解(1)散点图如图所示：(2)近似直线如图所示：(3)由y10得x10，解得x14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内.引申探究1.本例中回归方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？解因为yx，所以当x增加一个单位时，y大约增加.2.本例中回归方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器的转速.解因为yx，所以当y7时，7x，解得x11.素养评析(1)用回归方程进行总体估计要注意几点，首先要判断两个变量具有相关关系，准确求出回归方程，根据回

9、归方程进行估计或预测，但估计值不是实际值，允许有一定误差.(2)收集数据，求回归方程，进行估计和预测，充分体现了数学核心素养之数学运算和数据分析素养的形成过程.1.已知x与y之间的一组数据如下表：x0123y1357则y与x的线性回归方程ybxa必过点()A.(2,2) B.(1.5,0) C.(1,2) D.(1.5,4)答案D解析1.5，4.2.已知某车间加工零件的个数x与所花费的时间y(h)之间的线性回归方程为y0.01x0.5，则加工600个零件大约需要()A.6.5 h B.5.5 h C.3.5 h D.0.5 h答案A解析由题意知y0.016000.56.5.3.设某大学的女生体

10、重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的线性回归方程为y0.85x85.71，则下列结论中不正确的是()A.y随x的增大而增大B.回归直线过样本点的中心(，)C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg答案D解析当x170时，y0.8517085.7158.79，体重的估计值为58.79 kg.4.某工厂每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间的线性回归方程是y1.215x0.974，计算x2时，总成本y的估计

11、值为_.答案3.4045.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得线性回归方程ybxa中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为_万元.答案65.5解析由题意可知3.5，42，则429.43.5a，a9.1，y9.469.165.5.1.求线性回归方程时应注意的问题(1)知道x与y成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的.(2)用公式计算a，b的值时，要先计算b，然后才能算出a.2.利用线性回归方程，我们可以进行估计和预测.若线性回归方程为ybxa，则xx0处的估计值为y0bx0a.