2.2 建立概率模型 学案（含答案）

1、2.2建立概率模型学习目标1.认识和理解对于同一个随机试验，可以根据需要来合理建立需要的概率模型.2.学会选用比较简单、适用的概率模型解决实际生活中有关概率的问题.知识点一基本事件的相对性在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现.只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型.思考掷一枚均匀的骰子，计算“向上的点数为奇数”的概率，可以怎样规定基本事件？答案可以规定向上的点数为1,2,3,4,5,6，共6个基本事件；也可以规定“向上的点数为奇数”、“向上的点数为偶数”共2个基本事件.知识点二同一问

2、题的不同概率模型从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单.1.基本事件具有相对性.()2.掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.()3.同一个问题从不同角度可以构建出不同的概率模型.()题型一基本事件的相对性例1一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率.解(1)

3、从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有1和2，1和3，共2个.因此所求事件的概率P.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个.其中满足条件nm2的事件有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个.所以满足条件nm

4、2的事件的概率P1.反思感悟“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取.跟踪训练1一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的.求两个小球上的数字为相邻整数的概率.解设事件A：两个小球上的数字为相邻整数.则事件A包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6

5、,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)，共18个.(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P(A).(2)有放回取球时，总的基本事件数为100，故P(A).题型二建立古典概型求事件的概率例2某乒乓球队有男乒乓球运动员4名，女乒乓球运动员3名，现要随机选一男一女2名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？解由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A，B，C，D，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果.如(A,1)表示

6、从男运动员中选取的是运动员A，从女运动员中选取的是运动员1.可用列表法列出所有可能的结果，如下表所示.设“国家一级运动员参赛”为事件E.女结果男123A(A,1)(A,2)(A,3)B(B,1)(B,2)(B,3)C(C,1)(C,2)(C,3)D(D,1)(D,2)(D,3)由上表可知，可能的结果总数是12个.假设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率P(E).反思感悟列出试验全部可能的结果用的是列表法.列表法的优点是准确、全面、不易漏掉，对于试验的结果不是太多的情况，都可以采用此法.跟踪训练2在一次数学研究性实践活动中，兴趣小组做了2个均匀的正方体玩具(各个面上

7、分别标上数字1,2,3,4,5,6)，组长同时抛掷这2个正方体玩具后，让小组成员求：(1)2个正方体朝上一面数字相同的概率是多少？(2)2个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率是多少？解2个正方体朝上一面数字情况如下表：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6

8、)(1)2个正方体朝上一面数字相同的情况只有6种，故所求概率是.(2)2个正方体朝上一面数字之积为偶数的情况有27种，故2个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率为.多角度构建概率模型求概率典例口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率.解方法一需要找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数.解题过程如下：用A表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来，如图所示：由上图可知，试验的

9、所有可能结果数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以，这24种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有12种，故第二个人摸到白球的概率P(A).方法二把2个白球编上序号1,2，两个黑球也编上序号1,2,4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有可能的结果如图所示：由图可知，试验的所有结果数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有6种，故第二个人摸到白球的概率P(A).方法三由于4个球除颜色外完全相同，如果对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，4个人按顺序依次从袋中摸出一球，所有可能的结果如图

10、所示：由图可知，试验的所有结果数是6，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这6种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有3种，故第二个人摸到白球的概率P(A).方法四只考虑第二个人摸出的球的情况.第二个人可能摸到口袋中的任何一个，共4种结果，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这4种结果出现的可能性相同，其中，摸到白球的结果有2种，故第二个人摸到白球的概率P(A).素养评析(1)借助树状图直观地将基本事件表示出来，这是列举的常用方法.(2)如果试验结果具有对称性，可简化结果更利于模型的建立与解答.(3)对现实问题进行数学抽象，用数学方法构建模型，是数学建模的核心数学素养.1

11、.有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌，将牌正面向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为()A. B. C. D.答案A解析从5张牌中任抽一张，共有5种可能的结果，抽到红心的可能结果有3种.P.2.某农科院在22的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为()A. B. C. D.答案D解析如图给4块试验田分别标号A1，A2，B1，B2.基本事件为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，共6种基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻”(记为事件A)的基本事件有(A1，

12、B2)，(A2，B1)，共2种.P(A)，故选D.3.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是()A. B.C. D.答案A解析该试验共4个基本事件，甲、乙将贺年卡送给同一人的基本事件个数为2，故所求概率为.4.在1,2,3,4,5五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字都是奇数的概率是_.答案解析在1,2,3,4,5五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字有10种可能的结果：1,2，1,3，1,4，1,5，2,3，2,4，2,5，3,4，3,5，4,5，其中两个数字都是奇数包含3种结果：1,3，1,5，3,5，故所求的概率为.5.

13、如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间22,30)内的概率为_.1892122793003答案0.4解析10个数据落在区间22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因此，所求的概率为0.4.1.对同一个概率问题，如果从不同的角度去考虑，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而得到古典概型的所有可能的结果越少，问题的解决就越简单.因而在平时的学习中要多积累从不同的角度解决问题的方法，逐步达到活用.2.基本事件总数的确定方法(1)列举法：此法适于较简单的试验，就是把基本事件一一列举出来；(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求；(3)列表法：列表法也是列举法的一种，这种方法能够清楚地显示基本事件的总数，不会出现重复或遗漏；(4)分析法：分析法能解决基本事件总数较大的概率问题.3.在计算基本事件的总数时，由于分不清“有序”和“无序”，因而常常导致出现“重算”或“漏算”的错误.解决这一问题的有效方法是交换次序，看是否对结果有影响，并合理使用分步法.