1、2017-2018学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）曲线y2x3+3在点 （0，3）处的切线的斜率是（）A3B0C3D不存在2（5分）下列命题中的假命题是（）AxR，x30BxR，tanx1CxR，lgx0DxR，2x03（5分）在ABC中，b8，c8，SABC16，则A（）A30B60C60或 120D30或 1504（5分）已知ABC的周长为20，且顶点B （0，4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A（x0）B（x0）C（x0）D（x0）5（5分）若
2、实数x，y满足，则的取值范围是（）A（0，1）B（0，1C1，+）D（1，+）6（5分）已知抛物线C：y2x与直线l：ykx+1，“k0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）在ABC中，B60，b2ac，则ABC一定是（）A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形8（5分）双曲线C：1（a0，b0）的离心率e，则它的渐近线方程为（）AyxByxCyxDyx9（5分）已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则等于（）ABCD或10（5分）在R上定义运算：x*yx（1y）若不等式（x
3、a）*（x+a）1对任意实数x恒成立，则（）A1a1B0a2CD11（5分）若椭圆b2x2+a2y2a2b2（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若ABF90，则椭圆的离心率为（）ABCD12（5分）设函数f（x）ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）0，则a的取值范围是（）A）B）C）D）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）A是抛物线y22px（p0）上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|4时，OFA120，则抛物线的标准方程是 14（5分）设f（n）2+24+27+210+23n+1（nN*），则f
4、（n） 15（5分）已知两个正数x，y满足x+2y1，则使不等式恒成立的实数m的取值范围是 16（5分）设x1，x2是函数f（x）x32ax2+a2x的两个极值点，若x12x2，则实数a的取值范围是 二、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17（10分）已知命题p：x2x6，q：xZ，“pq”与“q”都是假命题，求x的值18（12分）已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中a3，b2，B2A（1）求cosA的值；（2）求c的值19（12分）已知等差数列an满足：a37，a5+a726，an的前n项和为
5、Sn（）求an及Sn；（）令bn（nN*），求数列bn的前n项和Tn20（12分）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，点P（1，）在椭圆C上，直线l过椭圆的右焦点与椭圆相交于A，B两点（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求定点M的坐标；若不在，请说明理由21（12分）已知函数f（x）（1）当a0时，求f（x）的单调区间；（2）当a0时，求f（x）的最小值的取值集合2017-2018学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分
6、）曲线y2x3+3在点 （0，3）处的切线的斜率是（）A3B0C3D不存在【分析】求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值，先求导函数，然后将点的坐标代入即可求得结果【解答】解：y2x3+3的导数为：y6x2，将点（0，3）的坐标代入y6x2，即可得斜率为：ky0故选：B【点评】本题考查了导数的几何意义，它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体，属于基础题2（5分）下列命题中的假命题是（）AxR，x30BxR，tanx1CxR，lgx0DxR，2x0【分析】利用全称命题与特称命题判断命题的真假即可【解答】解：xR，x30，x0时是不成
7、立的，所以是假命题xR，tanx1，xR，lgx0，xR，2x0，都是真命题故选：A【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查3（5分）在ABC中，b8，c8，SABC16，则A（）A30B60C60或 120D30或 150【分析】利用三角形的面积计算公式和特殊角的三角函数值即可得出【解答】解：由SABCbcsinA可得：1688sinA，解得sinA又A为三角形内角，A30或150，故选：D【点评】本题考查的知识点是三角形面积公式，熟练掌握三角形的面积计算公式和特殊角的三角函数值是解题的关键4（5分）已知ABC的周长为20，且顶点B （0，4），C （0，4），则顶点A的轨迹方
8、程是（）A（x0）B（x0）C（x0）D（x0）【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点【解答】解：ABC的周长为20，顶点B （0，4），C （0，4），BC8，AB+AC20812，128点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是椭圆，a6，c4b220，椭圆的方程是故选：B【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点5（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是（）A（0，1）B（0，1C1，+）D（1，+
9、）【分析】先画出不等式组对应的平面区域，在根据的取值范围即为平面区域内的点与坐标原点连线的斜率结合图象即可的出结论【解答】解：实数x，y满足，对应的平面区域为：因为的取值范围即为平面区域内的点与坐标原点连线的斜率；根据图象可知，所求直线应该在与xy+10平行的直线以及x轴之间，故的最小值大于1，无最大值故选：D【点评】本题主要考查简单线性规划的应用解决本题的关键在于知道的取值范围即为平面区域内的点与坐标原点连线的斜率6（5分）已知抛物线C：y2x与直线l：ykx+1，“k0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】先推出
10、直线l与抛物线C有两个不同交点的充要条件，再判断与“k0”的关系【解答】解：若直线l与抛物线C有两个不同交点，则有两个不同的解，即k2x2+（2k1）x+10有两个不同的解，则（2k1）24k20，解得，k则由k0可推出k，而k推不出k0，故选：A【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题7（5分）在ABC中，B60，b2ac，则ABC一定是（）A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形【分析】由余弦定理且B60得b2a2+c2ac，再由b2ac，得a2+c2acac，得ac，得ABC60，得ABC的形状是等边三角形【解答】解：由余弦定理得：b2a2+c22accosBa2+
11、c2ac，又b2ac，a2+c2acac，（ac）20，ac，ABC60，ABC的形状是等边三角形故选：D【点评】本题考查三角形的形状判断，用到余弦定理，在一个式子里面未知量越少越好是基础题8（5分）双曲线C：1（a0，b0）的离心率e，则它的渐近线方程为（）AyxByxCyxDyx【分析】利用双曲线的离心率求出双曲线的渐近线中a，b的关系，即可得到渐近线方程【解答】解：双曲线C：1（a0，b0）的离心率e，可得，可得，双曲线的渐近线方程为：yx故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力9（5分）已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则等于（）
12、ABCD或【分析】由等差数列的通项公式可得公差d，运用等比数列的性质，注意奇数项的符号为负，即可得到所求值【解答】解：1，a1，a2，4成等差数列，设公差为d，可得da2a11，1，b1，b2，b3，4成等比数列，可得b221（4）4，且b20，解得b22，则，故选：C【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题10（5分）在R上定义运算：x*yx（1y）若不等式（xa）*（x+a）1对任意实数x恒成立，则（）A1a1B0a2CD【分析】利用新定义的运算x*yx（1y）将不等式转化为二次不等式，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方，从而有0，解0即可【解答
13、】解：根据运算法则得（xa）*（x+a）（xa）（1xa）1，化简得x2xa2+a+10在R上恒成立，即0，14（a2+a+1）0，即4a24a30，解得a（，），故选：C【点评】本题的考点是函数恒成立问题，主要考查了函数恒成立问题，题目比较新颖，关键是理解定义了新的运算，掌握恒成立问题的处理策略，属于中档题11（5分）若椭圆b2x2+a2y2a2b2（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若ABF90，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】化椭圆方程为标准方程，根据ABF90可知AF2AB2+BF2，转化求解椭圆的离心率即可【解答】解：由b2x2+a2y2a2b2（ab0），得，设由题
14、意可得：AF2AB2+BF2，（a+c）2a2+a2+b2，a2+2ac+c22a2+a2c2e2+e10e（负值舍去）故选：B【点评】本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，是中档题12（5分）设函数f（x）ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）0，则a的取值范围是（）A）B）C）D）【分析】设g（x）ex（2x1），yaxa，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线yaxa的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得ag（0）1且g（1）3e1aa，解关于a的不等式组可得【解答】解：设g（x）ex（2x1），yaxa，由题意知存在唯一
15、的整数x0使得g（x0）在直线yaxa的下方，g（x）ex（2x1）+2exex（2x+1），当x时，g（x）0，当x时，g（x）0，当x时，g（x）取最小值2，当x0时，g（0）1，当x1时，g（1）e0，直线yaxa恒过定点（1，0）且斜率为a，故ag（0）1且g（1）3e1aa，解得a1故选：D【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）A是抛物线y22px（p0）上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|4时，OFA120，则抛物线的标准方程是y24x【分析】当|AF|4时，OFA120，结合抛物线
16、的定义可求得p，进而根据抛物线的性质求得抛物线的标准方程【解答】解：由题意BFAOFA9030，过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B如图，A点到准线的距离为：d|AB|+|BC|p+24，解得p2，则抛物线的标准方程：y24x故答案为：y24x【点评】本题主要考查了直线与抛物线的关系，当涉及抛物线的焦点弦的问题时，常利用抛物线的定义来解决14（5分）设f（n）2+24+27+210+23n+1（nN*），则f（n）【分析】利用等比数列前n项和公式直接求解【解答】解：f（n）2+24+27+210+23n+1（nN*），f（n）故答案为：【点评】本题考查等比数列的前n项和的求
17、法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）已知两个正数x，y满足x+2y1，则使不等式恒成立的实数m的取值范围是（，3+2）【分析】根据恒成立问题，只要利用基本不等式求出不等式左边的最小值即可【解答】解：因为两个正数x，y满足x+2y1，使不等式恒成立，又3+3+23+2，当且仅当并且x+2y1时等号成立；所以m3+2使不等式恒成立的实数m的取值范围是（，3+2）故答案为：（，3+2）【点评】本题考查了恒成立问题以及基本不等式的应用；属于中档题16（5分）设x1，x2是函数f（x）x32ax2+a2x的两个极值点，若x12x2，则实数a的取值范围是（2，6）【分析
18、】由题意可得x1，x2是方程3x24ax+a20的两个实数根，故有3224a2+a20，由此求得a的范围【解答】解：x1，x2是函数f（x）x32ax2+a2x的两个极值点，x1，x2是方程的两个实数根，3224a2+a20，即 a28a+12（a2）（a6）0，解得 2a6，故答案为：（2，6）【点评】本题主要考查函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于基础题二、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17（10分）已知命题p：x2x6，q：xZ，“pq”与“q”都是假命题，求x的值【分析】利用已知条件，判断p，q的真假，求解即可【解答】解：非q为假命题
19、，则q为真命题；p且q为假命题，则p为假命题，即x2x6，且xZ得2x3，xZ，x1，0，1，2【点评】本题考查复合命题的真假的判断与应用，是基础题18（12分）已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中a3，b2，B2A（1）求cosA的值；（2）求c的值【分析】（1）由题意利用正弦定理、三角形内角、二倍角的正弦公式，求得cosA的值（2）利用余弦定理以及3倍角的余弦公式，求得边c的值【解答】解：（1）ABC中，其中a3，b2，B2A，由正弦定理可得，即 ，求得cosA（2）由（1）可得，C3A由余弦定理可得c5【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，二倍角的正弦公式以，三
20、角形内角和公式以及3倍角的余弦公式的应用，属于中档题19（12分）已知等差数列an满足：a37，a5+a726，an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）令bn（nN*），求数列bn的前n项和Tn【分析】（）根据等差数列的通项公式求出首项和公差即可求an及Sn；（）求出bn的通项公式，利用裂项法即可得到结论【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，因为a37，a5+a726，所以有，解得a13，d2，所以an3+2（n1）2n+1；Sn3n+（）由（）知an2n+1，所以bn（），所以数列bn的前n项和Tn（1）（1），即数列bn的前n项和Tn【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和的
21、计算，以及利用裂项法进行求和20（12分）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，点P（1，）在椭圆C上，直线l过椭圆的右焦点与椭圆相交于A，B两点（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求定点M的坐标；若不在，请说明理由【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，c，进而得到椭圆方程；（2）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得得为定值设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为（1+2k2）x24k2x+2k220，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得，令2m24m+12（m22），解得m即可得
22、出【解答】解：（1）椭圆C：（ab0）的离心率为，可得e，a2b2c2，点P（1，）在椭圆C上，可得+1，解得a，bc1，椭圆C的标准方程为：+y21；（2）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得为定值设A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆的右焦点为（1，0），设直线AB的方程为yk（x1），联立椭圆方程x2+2y22，化为（1+2k2）x24k2x+2k220，则x1+x2，x1x2，（x1m，y1）（x2m，y2）（x1m）（x2m）+y1y2（x1m）（x2m）+k2（x11）（x21）（1+k2）x1x2（m+k2）（x1+x2）+m2+k2（1+k2）（m+k2）+m2+k2，令
23、2m24m+12（m22），解得m，可得m22，因此在x轴上存在定点M（，0），使得为定值【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、定值，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（12分）已知函数f（x）（1）当a0时，求f（x）的单调区间；（2）当a0时，求f（x）的最小值的取值集合【分析】（1）a0时，f（x）lnx+，（x0）f（x），即可得出单调区间（2）当a0时，可得f（x），可得x时函数f（x）取得极小值即最小值，即可得出【解答】解：（1）a0时，f（x）lnx+，（x0）f（x），可得：函数f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+）上单调递增（2）当a0时，可得f（x）+a，可得x时函数f（x）取得极小值即最小值，令x0，则1x0f（）lnx0+lnx0+f（x）的最小值的取值集合为lnx0+，其中x0，a0【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
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