1、2018-2019学年广东省深圳外国语学校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（5分）命题“xR，2x+x21”的否定是（）AxR，2x+x21BxR，2x+x21CxR，2x+x21DxR，2x+x212（5分）复数z1+（是虚数单位）在复平面内对应的点落在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）在区间a，b上的极值点的个数为（）A2B3C4D54（5分）函数 f（x）exsinx的单调递增区间（）（kZ）ABCD5（5分）将边长为1的正方
2、形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足+，则|2的值为（）AB2CD6（5分）若抛物线y2ax的焦点与椭圆1的左焦点重合，则a的值为（）A8B16C4D47（5分）命题“x（1，+），都有x2lnx成立”为真命题，则实数a的取值范围是（）A（，1B（，1）C1，+）D（1，+）8（5分）已知F1、F2是椭圆C：的左右焦点，P是C上一点，3|4b2，则C的离心率的取值范围是（）ABCD9（5分）正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）ABCD10（5分）已知正四面体ABCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）AFBC，E
3、FADBFBC，EFACCFBC，EFDFBC，EFAC11（5分）已知函数f（x）x3+ax2+x在区间（1，1）内有且仅有一个极值并且为极小值，则实数a的取值范围是（）A（2，+）B2，+）C（，2）（2，+）D（，22，+）12（5分）把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设aij（i，jN*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，若aij2015，则i与j的和为（）A104B102C80D81二、填空题（本大题共4小题，毎小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）13（5分）计算定积分 14（5分）曲线ye2x+1在点（0，2）处的切线方程是 15（5
4、分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的离心率为，A B 为左、右顶点，点 P 为双曲线 C 在第一象限的任意一点，点 O 为坐标原点，若直线PA，PB，PO 的斜率分别为k1，k2，k3，记mk1k2k3，则 m 的取值范围为 16（5分）已知函数f（x）x3+ax2+bx（a，bR）的图象如图所示，它与直线y0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）设命题 p：实数 x 满足x24ax+3a20，其中a0；命题 q：实数 x 满足（1）若a1，且pq为真，求实数 x
5、 的取值范围（2）若p是q的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围18（12分）已知a是实数，函数f（x）x2（xa）（）若f（1）3，求a的值及曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）在区间0，2上的最大值19（12分）如图1所示，直角梯形ABCD中，BCD90，ADBC，AD6，DCBC3过B作BEAD于E，P是线段DE上的一个动点将ABE沿BE向上折起，使平面AEB平面BCDE连结PA，PC，AC（如图2）（）取线段AC的中点Q，问：是否存在点P，使得PQ平面AEB？若存在，求出PD的长；不存在，说明理由；（）当EPED时，求平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦
6、值20（12分）已知函数f（x）xln（x+a）（a是常数） （1）求函数f（x）的单调区间；（2）当yf（x）在x1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2xx2+b在，2上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）求证：当n2，nN*时，（1+）（1+）（1+）e21（12分）已知A，B是椭圆C：+1（ab0）的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C的右焦点F的直线交于其于点M，N，交直线x4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列（）求椭圆C的方程；（）若记AMB，ANB的面积分别为S1，S2求的取值范围22（12分）已知函数，g（x）x+lnx，其中a0（1）若x1是函数h（
7、x）f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x21，e（e为自然对数的底数）都有f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围2018-2019学年广东省深圳外国语学校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（5分）命题“xR，2x+x21”的否定是（）AxR，2x+x21BxR，2x+x21CxR，2x+x21DxR，2x+x21【分析】根据已知中的原命题，结合特称命题否定的方法，可得答案【解答】解：命题“xR，2x+x21”的否定是“xR，2x+x21”，故选：A【点评】本题考
8、查的知识点是命题的否定，特称命题，难度不大，属于基础题2（5分）复数z1+（是虚数单位）在复平面内对应的点落在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案【解答】解：z1+，z在复平面内对应的点的坐标为（1，1），落在第四象限故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5分）已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）在区间a，b上的极值点的个数为（）A2B3C4D5【分析】根据当f（x）0时函数f（x）单调递增，f（x）0时f（x）单调递减，可从f（x）的图象可知f（x）在（a，b
9、）内从左到右的单调性依次为减增减增，然后得到答案【解答】解：从f（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为减增减增，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点故选：B【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系属基础题4（5分）函数 f（x）exsinx的单调递增区间（）（kZ）ABCD【分析】根据利用导数研究函数的单调性的方法，先求函数的单调性，然后在R上求导数大于零的区间即可【解答】解：yexsinx+excosxex（cosxsinx）0cosxsinx0，cosxsinx解得x2k，2k，故选：B【
10、点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，单调性是函数的重要性质，是高考的热点内容，属于基础题5（5分）将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足+，则|2的值为（）AB2CD【分析】可画出图形，并取BD的中点E，连接AE，CE，从而据题意可得出AEC90，并可求出AC，根据线面垂直的判定定理可得出直线BD平面ACE，从而得出BDAC，然后由进行数量积的运算即可求出答案【解答】解：如图，取BD的中点E，连接AE，CE，根据题意知，CEBD，AEBD，则AEC是二面角ABDC的平面角，AEC90，且AECE，AC1，且BD，BD平面ACE，BDAC，又，故选：D【点评】本
11、题考查了直二面角的定义，二面角的平面角的作法，线面垂直的判定定理，向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题6（5分）若抛物线y2ax的焦点与椭圆1的左焦点重合，则a的值为（）A8B16C4D4【分析】椭圆1的左焦点是F（2，0），知抛物线y2ax的焦点是F（2，0），由此能求出a的值【解答】解：椭圆1的左焦点是F（2，0）抛物线y2ax的焦点与椭圆1的左焦点重合，抛物线y2ax的焦点是F（2，0），a8故选：A【点评】本题考查椭圆和抛物线的简单性质，是基础题解题时要认真审题，仔细解答7（5分）命题“x（1，+），都有x2lnx成立”为真命题，则实数a的取值范围是（）A（
12、，1B（，1）C1，+）D（1，+）【分析】命题“x（1，+），都有x2lnx成立”为真命题“x（1，+），都有ax3xlnx恒成立“，令f（x）x3xlnx，（x1），求出f（x）的值域即可【解答】解：命题“x（1，+），都有x2lnx成立”为真命题“x（1，+），都有ax3xlnx恒成立“，令f（x）x3xlnx，（x1），f（x）3x2lnx1，），f（x）6x0，f（x）在（1，+）上递增，且f（1）20，f（x）0在（1，+）上恒成立，f（x）在（1，+）上递增，f（x）f（1）1，a1故选：A【点评】本题考查了全称命题成立，求参数范围，转化为恒成立问题是关键，属于基础题8（5分）已
13、知F1、F2是椭圆C：的左右焦点，P是C上一点，3|4b2，则C的离心率的取值范围是（）ABCD【分析】利用椭圆定义及基本不等式，寻找几何量的关系，再求离心率的取值范围【解答】解：由3|4b2，可得，故选：D【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，关键是利用定义及基本不等式9（5分）正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）ABCD【分析】过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点O，连接OE，我们根据正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，易求出OEB即为PA与BE所成的角，解三角形OEB，即可求出答案【解答】解：过顶点作垂线，交底面正方
14、形对角线交点O，连接OE，正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，PO，AB，AC，PA，OB因为OE与PA在同一平面，是三角形PAC的中位线，则OEB即为PA与BE所成的角所以OE，在RtOEB中，tanOEB，所以OEB故选：B【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据已知得到OEB即为PA与BE所成的角，将异面直线的夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键10（5分）已知正四面体ABCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）AFBC，EFADBFBC，EFACCFBC，EFDFBC，EFAC【分析】由题意画出图形，利用线面垂直的判定判定AD面BCE，由
15、此说明A正确；由三垂线定理结合BEC为锐角三角形说明B错误；举例说明C错误；由平面的斜线与平面内直线的位置关系说明D错误【解答】解：如图，四面体ABCD为正四面体，且E为AD的中点，BEAD，CEAD，又BECEE，AD面BCE，则FBC，EFAD，选项A正确；由AE面BCE，AEEF，若ACEF，则CEEF，BEC为锐角三角形，不存在FBC，使EFAC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF，又DE1，得EF，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误故选：A【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了线
16、线垂直与线面平行的判定，考查了空间想象能力，是中档题11（5分）已知函数f（x）x3+ax2+x在区间（1，1）内有且仅有一个极值并且为极小值，则实数a的取值范围是（）A（2，+）B2，+）C（，2）（2，+）D（，22，+）【分析】由f（x）在区间（1，1）内有且仅有一个极值并且为极小值，可知函数在（1，1）内先减后增，结合零点判定定理可知，代入可求【解答】解：f（x）x3+ax2+x，f（x）3x2+2ax+1，f（x）在区间（1，1）内有且仅有一个极值并且为极小值，函数在（1，1）内先减后增，解可得，a2故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了函数零点的判定，属于中
17、档试题12（5分）把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设aij（i，jN*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，若aij2015，则i与j的和为（）A104B102C80D81【分析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，前32个奇数行内数的个数的和为1024，得到2013在第32个奇数行内，且奇数从大到小排列，从而得到结果【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，由2015210081，得2015为第1008个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为1+3+61961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2015
18、在第32个奇数行内，所以i63，且奇数从大到小排列，因为第63行的第一个数为2102412047，201520472（m1），所以m17，即j17，所以i+j80故选：C【点评】本题考查简单的演绎推理，考查数列的特点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，毎小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）13（5分）计算定积分【分析】dxdx，前式根据定积分的几何意义求解，后式直接积分即可得到所求【解答】解：dxdx，dx表示半圆y在0，1上部分的面积，即个单位圆的面积，dxdxx故答案为：【点评】本题考查了定积分的求法，定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题1
19、4（5分）曲线ye2x+1在点（0，2）处的切线方程是y2x+2【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程【解答】解：ye2x+1，f（x）2e2x，则f（0）2，即曲线ye2x+1在点（0，2）处的切线斜率k2，则对应的切线方程为y22x，即y2x+2，故答案为：y2x+2【点评】本题主要考查导数的几何意义，求出函数的导数，利用点斜式方程是解决本题的关键15（5分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的离心率为，A B 为左、右顶点，点 P 为双曲线 C 在第一象限的任意一点，点 O 为坐标原点，若直线PA，PB，PO 的斜率分别为k1，k2，k3，记mk1k2k3，则 m 的取
20、值范围为（0，2）【分析】由已知条件推导出ba，k1k22，0k3，由此能求出mk1k2k3的取值范围【解答】解：双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，e，ba，设P（x，y），点P为双曲线C在第一象限的任意一点，1，A，B为双曲线C的左右顶点，点O为坐标原点，PA，PB，PO的斜率为k1，k2，k3，k1k22，又双曲线渐近线为yx，0k3，0mk1k2k32，故答案为：（0，2）【点评】本题考查斜率乘积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质16（5分）已知函数f（x）x3+ax2+bx（a，bR）的图象如图所示，它与直线y0在原点处相切，此切线与函数图象所
21、围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为3【分析】由图可知f（x）0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可【解答】解：由图知方程f（x）0有两个相等的实根x1x20，于是b0，f（x）x2（x+a），有，a3又a0a0，得a3故答案为：3【点评】考查学生利用定积分的方法求平面图形面积的能力三、解答题：本大题共6小题，共70分（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）设命题 p：实数 x 满足x24ax+3a20，其中a0；命题 q：实数 x 满足（1）若a1，且pq为真，求实数 x 的取
22、值范围（2）若p是q的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围【分析】（1）若a1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且pq为真，求实数x的取值范围；（2）利用p是q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【解答】解：由x24ax+3a20得（xa）（x3a）0，其中a0，得ax3a，a0，则p：ax3a，a0由解得2x3即q：2x3（1）若a1，则p：1x3，若pq为真，则p，q同时为真，即，解得2x3，实数x的取值范围（2，3）（2）若p是q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，即，解得1a2【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将
23、p是q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键18（12分）已知a是实数，函数f（x）x2（xa）（）若f（1）3，求a的值及曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）在区间0，2上的最大值【分析】（I）求出f（x），利用f（1）3得到a的值，然后把a代入f（x）中求出f（1）得到切点，而切线的斜率等于f（1）3，写出切线方程即可；（II）令f（x）0求出x的值，利用x的值分三个区间讨论f（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值【解答】解：（I）f（x）3x22ax因为f（1）32a3，所以a0又当a0时，f（1）1，f（1）3，
24、则切点坐标（1，1），斜率为3所以曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线方程为y13（x1）化简得3xy20（II）令f（x）0，解得当，即a0时，f（x）在0，2上单调递增，从而fmaxf（2）84a当时，即a3时，f（x）在0，2上单调递减，从而fmaxf（0）0当，即0a3，f（x）在上单调递减，在上单调递增，从而综上所述，fmax【点评】本题主要考查导数的基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力19（12分）如图1所示，直角梯形ABCD中，BCD90，ADBC，AD6，DCBC3过B作BEAD于E，P是线段DE上的一个动点将ABE沿BE向上折起，使平
25、面AEB平面BCDE连结PA，PC，AC（如图2）（）取线段AC的中点Q，问：是否存在点P，使得PQ平面AEB？若存在，求出PD的长；不存在，说明理由；（）当EPED时，求平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值【分析】（）根据线面平行的判定定理进行求解即可；（）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可【解答】解：（）存在当P为DE的中点时，满足PQ平面AEB（1分）取AB的中点M，连结EM，QM由Q为AC的中点，得MQBC，且，（2分）又PEBC，且，所以PEMQ，PEMQ，所以四边形PEMQ为平行四边形，（3分）故MEPQ（4分）又PQ平面AEB，ME平面AEB，所以PQ平面AEB （5
26、分）从而存在点P，使得PQ平面AEB，此时（6分）（）由平面AEB平面BCDE，交线为BE，且AEBE，所以AE平面BCDE，又BEDE，（7分）以E为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图2），则E（0，0，0），B（3，0，0），A（0，0，3），P（0，2，0），C（3，3，0）（8分）（3，1，0），（0，2，3）（9分）平面AEB的一个法向量为n1（0，1，0），（10分）设平面APC的法向量为n2（x，y，z），由得（11分）取y3，得n2（1，3，2），（12分）所以，即面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值为（13分）【点评】本题主要考查直线与直线、
27、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想20（12分）已知函数f（x）xln（x+a）（a是常数） （1）求函数f（x）的单调区间；（2）当yf（x）在x1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2xx2+b在，2上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）求证：当n2，nN*时，（1+）（1+）（1+）e【分析】（1）函数f（x）xln（x+a），定义域为x|xa对a分类讨论即可得出；（2）函数yf（x）在x1处取得极值，可得f（1）0，解得a0关于x的方程f（x）+2xx2+b化为x23x+lnx+b0令g（x）x
28、23x+lnx+b，（x，2）利用导数研究其单调性极值与最值，关于x的方程f（x）+2xx2+b在，2上恰有两个不相等的实数根，必须满足，解得即可（3）由（1）可知：a1，函数f（x）在（1，+）上单调递增，可得：当x0时，xln（1+x）令x（nN*），则利用“累加求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”即可得出【解答】解：（1）函数f（x）xln（x+a），定义域为x|xa当a1时，f（x）0，函数f（x）在（a，+）上单调递增；当a1时，令f（x）0，解得x1a，此时函数f（x）在（1a，+）上单调递增；令f（x）0，解得ax1a，此时函数f（x）在（a，1a）上单调递减（2）函数yf
29、（x）在x1处取得极值，f（1）0，解得a0关于x的方程f（x）+2xx2+b化为x23x+lnx+b0令g（x）x23x+lnx+b，（x，2），令g（x）0，解得x或1令g（x）0，解得1x2，此时函数g（x）单调递增；令g（x）0，解得x1，此时函数g（x）单调递减关于x的方程f（x）+2xx2+b在，2上恰有两个不相等的实数根，则，解得实数b的取值范围是；（3）由（1）可知：a1，函数f（x）在（1，+）上单调递增，当x0时，xln（1+x）令x（nN*）则依次取n2，3，n累加求和可得：+当n2时，依次取n2，3，n则+11（1+）（1+）（1+）e【点评】本题考查了利用导数研究函数
30、的单调性极值与最值、“累加求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，考查了等价问题转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题21（12分）已知A，B是椭圆C：+1（ab0）的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C的右焦点F的直线交于其于点M，N，交直线x4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列（）求椭圆C的方程；（）若记AMB，ANB的面积分别为S1，S2求的取值范围【分析】（）令P（4，y0），F（c，0），a2，A（2，0），B（2，0）由2kPFkPA+kPB，知，由此能得到椭圆C的方程（）令M（x1，y1），N（x2，y2），得（3m2+4）y26my9
31、0y2+6my90，再由韦达定理和三角形的面积公式进行求解【解答】解：（）令P（4，y0），F（c，0），a2，A（2，0），B（2，0）2kPFkPA+kPB，c1，b23，（）令M（x1，y1），N（x2，y2），得（3m2+4）y26my90y2+6my90，（9分）2/得，令t，（11分）则|t|+|t+|，即（13分），（15分）【点评】本题考查椭圆方程的求法和三角形面积比值的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用22（12分）已知函数，g（x）x+lnx，其中a0（1）若x1是函数h（x）f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x21，e（
32、e为自然对数的底数）都有f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围【分析】（1）通过、x1是函数h（x）的极值点及a0，可得，再检验即可； （2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x21，e都有f（x）ming（x）max结合当x1，e时及可知g（x）maxg（e）e+1利用，且x1，e，a0，分0a1、1ae、ae三种情况讨论即可【解答】解：（1），g（x）x+lnx，其定义域为（0，+）， x1是函数h（x）的极值点，h（1）0，即3a20a0， 经检验当时，x1是函数h（x）的极值点，；（2）对任意的x1，x21，e都有f（x1）g（x2）成立等价于对任意的x1，x21，e都有f（x）ming（x）max当x1，e时，函数g（x）x+lnx在1，e上是增函数g（x）maxg（e）e+1，且x1，e，a0当0a1且x1，e时，函数在1，e上是增函数，由1+a2e+1，得a，又0a1，a不合题意；当1ae时，若1xa，则，若axe，则函数在1，a）上是减函数，在（a，e上是增函数f（x）minf（a）2a由2ae+1，得a，又1ae，ae；当ae且x1，e时，函数在1，e上是减函数由e+1，得a，又ae，ae；综上所述：a的取值范围为【点评】本题是一道关于导数的综合题，考查极值、最值等基本知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题
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