1、2018-2019学年广东省佛山市顺德区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数i（1+2i）的共轭复数是（）A2+iB2iC2+iD2i2（5分）曲线yx3x+2在x0处的切线方程为（）Ay2x+1By2x1Cyx+2Dyx23（5分）已知离散型随机变量X的分布列如下，则D（X）（）A1B2C3D44（5分）若点P0（x0，y0）在椭圆内，则被P0所平分的弦所在的直线方程是，通过类比的方法，可求得：被P（1，1）所平分的双曲线1的弦所在的直线方程是（）Ax4y+30Bx+4y50Cx4
2、y50Dx+4y+305（5分）抛物线yx2+1和直线yx+3所围成的封闭图形的面积是（）ABCD6（5分）函数f（x）的图象大致为（）7（5分）已知f（n）1+（nN*），用数学归纳法证明f （2n），nN*时，从假设nk推证nk+1成立时，需在左边的表达式上多加的项数为（）A2k1B2kC2k+1D18（5分）从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）数据如表：若已知y与x的线性回归方程为0.85x85.7，那么选取的女大学生身高为175cm时，相应的残差为（）A0.96B0.96C63.04D4.049（5分）若函数f（x）lnx+x+在区间t，t+2上
3、是单调函数，则t的取值范围是（）A1，2B1，+）C2，+）D（1，+）10（5分）把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（）A36B40C42D4811（5分）已知（x+2）5（x+1）5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a4+a0（）A36B40C45D5212（5分）已知函数f（x）是定义在（，0）（0，+）上的偶函数，且f（1）0，若对任意的x（0，+），都有xf（x）f（x）成立，则不等式f（x）0的解集为（）A（1，0）（1，+）B（1，0）（0，1）C（，1）（1，
4、+）D（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）i是虚数单位，若复数（1+2i）（a+i）是纯虚数，则实数a 14（5分）已知函数f（x），则 15（5分）若（x+）n的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中常数项等于 16（5分）已知平面上1个三角形最多把平面分成2个部分，2个三角形最多把平面分成8个部分，3个三角形最多把平面分成20个部分，4个三角形最多把平面分成38个部分，5个三角形最多把平面分成62个部分，以此类推，平面上n个三角形最多把平面分成 个部分三、解答题：本大题共6小题，共70分
5、，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数（i是虚数单位）（）从三个式子中选择一个，求出这个常数；（）根据三个式子的结构特征及（）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论18（12分）某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了2名男生1名女生，2班推荐了3名男生2名女生由于他们的水平相当，最终从中随机抽取4名学生组成代表队（）求1班至少有1名学生入选代表队的概率；（）设X表示代表队中男生的人数，求X的分布列和期望19（12分）随着人们生活水平的日益提高，人们对孩子的培养也愈发重视，各种
6、兴趣班如雨后春笋般出现在我们日常生活中据调查，36岁的幼儿大部分参加的是艺术类，其中舞蹈和绘画比例最大，就参加兴趣班的男女比例而言，女生参加兴趣班的比例远远超过男生随机调查了某区100名36岁幼儿在一年内参加舞蹈或绘画兴趣班的情况，得到如下表格：不参加舞蹈且不参加绘画兴趣班参加舞蹈不参加绘画兴趣班参加绘画不参加舞蹈兴趣班参加舞蹈且参加绘画兴趣班人数14352625（）估计该区36岁幼儿参加舞蹈兴趣班的概率；（）通过所调查的100名36岁幼儿参加兴趣班的情况，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关 参加舞蹈兴趣班不参加舞蹈兴趣班总计男生10女生70总计
7、附：K2，na+b+c+dP（K2k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82820（12分）已知函数f（x）ax3+bx+4，当x2时，函数f（x）有极大值8（）求函数f（x）的解析式；（）若不等式f（x）+mx0在区间1，3上恒成立，求实数m的取值范围21（12分）某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70经计算得，s9.9生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品
8、率不得低于15%（）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；（）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布N（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？附：若XN（，2），P（X+0.6827），P（2X+2）0.954422（12分）已知函数f（x）lnxa2x2+ax（I）讨论f（x）的单调性；（II）若a1，求证：当x0时，f（x）e2xx222018-2019学年广东省佛山市顺德区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择
9、题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数i（1+2i）的共轭复数是（）A2+iB2iC2+iD2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：数i（1+2i）2+i，i（1+2i）的共轭复数为2i故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5分）曲线yx3x+2在x0处的切线方程为（）Ay2x+1By2x1Cyx+2Dyx2【分析】已知f（x）x3x+2对其进行求导，求在x0处的斜率，根据点斜式，写出f（x）在点x0处的切线方程【解答】解：f（x）x3x+2，f（x）3x2
10、1，在x0处的切线斜率kf（0）1，f（0）0+0+22，f（x）x3x+2在x0处的切线方程为：y2x，yx+2，故选：C【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解此题的关键是要对f（x）能够正确求导，此题是一道基础题3（5分）已知离散型随机变量X的分布列如下，则D（X）（）X024PA1B2C3D4【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质求出x0.1，由此能求出数学期望E（X），进而能求出方差D（X）【解答】解：由离散型随机变量X的分布列，E（X）0+2+42，D（X）（02）2+（22）2+（42）22故选：B【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质、数学期望、方差的
11、求法，考查离散型随机变量的分布列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题4（5分）若点P0（x0，y0）在椭圆内，则被P0所平分的弦所在的直线方程是，通过类比的方法，可求得：被P（1，1）所平分的双曲线1的弦所在的直线方程是（）Ax4y+30Bx+4y50Cx4y50Dx+4y+30【分析】点P0（x0，y0）在椭圆内，被P0所平分的弦所在的直线方程是，通过类比的方法可得，点Q（x1，y1）在双曲线（a0，b0）内，被Q所平分的弦所在的直线方程是，继而可以求出结果【解答】解：点P0（x0，y0）在椭圆内，被P0所平分的弦所在的直线方程是，通过类比
12、的方法可得，点Q（x1，y1）在双曲线（a0，b0）内，被Q所平分的弦所在的直线方程是，所以被P（1，1）所平分的双曲线1的弦所在的直线方程是，即x4y+30故选：A【点评】本题考查类比推理，注意知识的迁移，属于中档题5（5分）抛物线yx2+1和直线yx+3所围成的封闭图形的面积是（）ABCD【分析】根据题意分析，封闭图形面积即为（x+3）（x2+1）在x1到x2上定积分的值【解答】解：令x+3x2+1，得x11，x22，则S，故选：C【点评】本题考查定积分的基本定理，涉及定积分的计算，属于基础题6（5分）函数f（x）的图象大致为（）ABCD【分析】根据函数解析式找图象，一般可通过特殊点，单调
13、性，奇偶性，趋近性等角度，运用排除法求解本题中容易判断函数f（x）为奇函数，则其图象关于原点对称，故排除选项B；当x+时，f（x）+，故排除选项C；当x1时，当x2时，即f（1）f（2），通过观察图象可以排除D选项；由此即可得解【解答】解：函数定义域为（，0）（0，+），因为，所以函数f（x）为奇函数，则其图象关于原点对称，故排除B；当x+时，f（x）+，故排除C；当x1时，当x2时，即f（1）f（2），故排除D；故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的性质及特点，运用排除法是解决本题的关键，属于中档题7（5分）已知f（n）1+（nN*），用数学归纳法证明f （2n），nN
14、*时，从假设nk推证nk+1成立时，需在左边的表达式上多加的项数为（）A2k1B2kC2k+1D1【分析】分别计算出f（k+1）与f（k）的项数，进而作差即得结论【解答】解：f（n）1+（nN*），f （2n）f （2k）共2k项f （2k+1）+共2k+1项，f（k+1）比f（k）共增加了2k+12k2k项，故选：B【点评】本题考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于基础题8（5分）从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）数据如表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y与x的线性回归方程为0.85x85
15、.7，那么选取的女大学生身高为175cm时，相应的残差为（）A0.96B0.96C63.04D4.04【分析】在线性回归方程中，取x175求得，再由残差的定义计算得答案【解答】解：由0.85x85.7，取x175时，得63.04选取的女大学生身高为175cm时，相应的残差为6463.040.96故选：B【点评】本题考查残差的定义，关键是掌握残差的计算公式，是基础题9（5分）若函数f（x）lnx+x+在区间t，t+2上是单调函数，则t的取值范围是（）A1，2B1，+）C2，+）D（1，+）【分析】求出原函数的导函数，由函数f（x）lnx+x+在区间t，t+2上是单调函数，得g（x）x2+x2在t
16、，t+2上恒大于等于0或恒小于等于0转化为关于t的不等式组求解【解答】解：由f（x）lnx+x+，得f（x），由函数f（x）lnx+x+在区间t，t+2上是单调函数，得g（x）x2+x2在t，t+2上恒大于等于0或恒小于等于0则，或，解得t1；解得t综上，t的取值范围是1，+）故选：B【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，是中档题10（5分）把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（）A36B40C42D48【分析】根据题意，先将票分为符合题意
17、要求的3份，可以转化为将1、2、3、4、5这4个数用2个板子隔开，用插空法易得其情况数目，再将分好的3份对应到3个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案【解答】解：根据题意，分2步进行分析：，先将票分为符合条件的3份，由题意，3人分5张票，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这4个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有C426种情况，再将分好的三份全排列，对应到3个人，有A336种情况，则共有6636种不同分法；故选：A【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题11（5分）已知（x+2）5（
18、x+1）5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a4+a0（）A36B40C45D52【分析】由二项式定理及展开式的通项得：a4215，令x0，得：a025131，即a4+a036，得解【解答】解：由二项式展开式的通项有：a4215，因为（x+2）5（x+1）5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x0，得：a025131，即a4+a036，故选：A【点评】本题考查了二项式定理及展开式的通项，属中档题12（5分）已知函数f（x）是定义在（，0）（0，+）上的偶函数，且f（1）0，若对任意的x（0，+），都有xf（x）f（x）成立，则不等式f（x）0的解集为（）A（1，0）（
19、1，+）B（1，0）（0，1）C（，1）（1，+）D（，1）【分析】根据题意，设g（x），x（，0）（0，+），分析可得g（x）为奇函数，进而求出g（1）的值，求导分析可得g（x）在（0，+）上为增函数，进而分析可得在区间（0，1）上，g（x）0，在区间（1，+）上，g（x）0，据此可得区间（0，1）上，f（x）0，在区间（1，+）上，f（x）0，结合f（x）的奇偶性分析可得答案【解答】解：根据题意，设g（x），x（，0）（0，+），若函数f（x）是定义在（，0）（0，+）上的偶函数，即f（x）f（x），则g（x）g（x），则g（x）是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，又由f（1）0，则g（
20、1）f（1）f（1）0，g（x），则g（x），又由对任意的x（0，+），都有xf（x）f（x）成立，则g（x）0，即函数g（x）在（0，+）上为增函数，又由g（1）0，则在区间（0，1）上，g（x）0，在区间（1，+）上，g（x）0，又由g（x），则f（x）xg（x），则在区间（0，1）上，f（x）0，在区间（1，+）上，f（x）0，又由函数f（x）是定义在（，0）（0，+）上的偶函数，则在区间（1，0）上，f（x）0，在区间（，1）上，f（x）0，综合可得：不等式f（x）0的解集为（，1）（1，+）；故选：C【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，注意构造新函数g（x），并分析g（x）
21、的奇偶性与单调性二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）i是虚数单位，若复数（1+2i）（a+i）是纯虚数，则实数a2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解【解答】解：（1+2i）（a+i）（a2）+（2a+1）i是纯虚数，解得a2故答案为：2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题14（5分）已知函数f（x），则2e2【分析】直接利用求导公式对f（x）求导，然后求出的值【解答】解：由f（x），得f'（x），故答案为：2e2【点评】本题考查了导数的运算性质，熟练掌握商的导数公式是解题关键，属基础题15
22、（5分）若（x+）n的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中常数项等于【分析】写出展开式的通项公式，令第3项和第5项的系数相同，算出n的值，以此算出常数项【解答】解：，根据题意第3项和第5项的二项式系数相等，则n6，则常数项为，得到k4，所以常数项故答案为：【点评】本题考查二项式定理，属于基础的计算题16（5分）已知平面上1个三角形最多把平面分成2个部分，2个三角形最多把平面分成8个部分，3个三角形最多把平面分成20个部分，4个三角形最多把平面分成38个部分，5个三角形最多把平面分成62个部分，以此类推，平面上n个三角形最多把平面分成3n23n+2个部分【分析】由数列求和及归纳推理
23、可得：设n个三角形最多把平面分成f（n）个部分，则f（n+1）f（n）6n，由累加法可得：f（n）61+2+3+（n1）+23n23n+2，得解【解答】解：由1个三角形最多把平面分成2个部分，2个三角形最多把平面分成8个部分，3个三角形最多把平面分成20个部分，4个三角形最多把平面分成38个部分，5个三角形最多把平面分成62个部分，以此类推，设n个三角形最多把平面分成f（n）个部分，则f（n+1）f（n）6n，由累加法可得：f（n）61+2+3+（n1）+23n23n+2，故答案为：3n23n+2【点评】本题考查了数列求和及归纳推理，属中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要
24、的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数（i是虚数单位）（）从三个式子中选择一个，求出这个常数；（）根据三个式子的结构特征及（）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论【分析】（）由复数的运算得：i，（）由归纳推理得：i，得解【解答】解：（）i，（）根据三个式子的结构特征及（）的计算结果，可以得到：i，证明如下，i，故得证【点评】本题考查了归纳推理及复数的运算，属基础题18（12分）某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了2名男生1名女生，2班推荐了3名男生2名女生由于他们的水平相当，最终从中随机
25、抽取4名学生组成代表队（）求1班至少有1名学生入选代表队的概率；（）设X表示代表队中男生的人数，求X的分布列和期望【分析】（1）可以从反面考虑，设1班至少有1名学生入选代表为事件A，事件A的对立事件为“1班没有学生入选代表队”，即可求出事件A的概率；（2）X的所有可能取值为1，2，3，4分别求出每个X对应的概率列出分布列求期望即可【解答】解：（）设1班至少有1名学生入选代表为事件A，则P（A）11；（）X的所有可能取值为1，2，3，4P（X1），P（X2），P（X3），P（X4）因此X的分布列为：X1 2 3 4P 所以X的期望E（X）1【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查
26、古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题19（12分）随着人们生活水平的日益提高，人们对孩子的培养也愈发重视，各种兴趣班如雨后春笋般出现在我们日常生活中据调查，36岁的幼儿大部分参加的是艺术类，其中舞蹈和绘画比例最大，就参加兴趣班的男女比例而言，女生参加兴趣班的比例远远超过男生随机调查了某区100名36岁幼儿在一年内参加舞蹈或绘画兴趣班的情况，得到如下表格：不参加舞蹈且不参加绘画兴趣班参加舞蹈不参加绘画兴趣班参加绘画不参加舞蹈兴趣班参加舞蹈且参加绘画兴趣班人数14352625（）估计该区36岁幼儿参加舞蹈兴趣班的概率；（）通过所调查的100名36岁幼儿参加兴趣班的情况，填写下
27、面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关 参加舞蹈兴趣班不参加舞蹈兴趣班总计男生10女生70总计附：K2，na+b+c+dP（K2k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（）利用一年内参加舞蹈或绘画兴趣班的情况表格可知作温恩图可得估计该区36岁幼儿参加舞蹈兴趣班的概率；（）通过所调查的100名36岁幼儿参加兴趣班的情况填写下面列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论【解答】解：（）由某区100名36岁幼儿在一年内参加舞蹈或绘画兴趣班的情况表格可知：该
28、区36岁幼儿参加舞蹈兴趣班的概率为：P0.6；（）通过所调查的100名36岁幼儿参加兴趣班的情况，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关 参加舞蹈兴趣班不参加舞蹈兴趣班总计男生102030女生502070总计6040100所以：K212.69810.828，na+b+c+d所以：有99.9%的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目20（12分）已知函数f（x）ax3+bx+4，当x2时，函数f（x）有极大值8（）求函数f（x）的解析式；（）若不等式f（x）+mx0在区间1，3上恒
29、成立，求实数m的取值范围【分析】（）由题意列关于a，b的方程组，求解可得a，b的值，则函数解析式可求；（）把不等式f（x）+mx+mx0在区间1，3上恒成立，转化为在区间1，3上恒成立，令g（x），x1，3，利用导数求其最大值，可得实数m的取值范围【解答】解：（）f（x）3ax2+b，当x2时，函数f（x）有极大值8，解得函数f（x）的解析式为f（x）；（）不等式f（x）+mx+mx0在区间1，3上恒成立，在区间1，3上恒成立，令g（x），x1，3，则由g（x）解g（x）0，得1x2，解g（x）0，得2x3当1x2时，g（x）单调递增，当2x3时，g（x）单调递减对任意x1，3，都有g（x）g
30、（2）0m0，即实数m的取值范围为（0，+）【点评】本题考查函数的单调性、极值、最值与导数的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化、数形结合的解题思想，是中档题21（12分）某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70经计算得，s9.9生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%（）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；（）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指
31、标服从正态分布N（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？附：若XN（，2），P（X+0.6827），P（2X+2）0.9544【分析】（）10件产品中优质品的频率为，记任取3件，优质品数为Y，直接由二项分布的概率公式求解（）记这种产品的质量指标为X，由题意，XN（53.7，9.92），再由正态分布曲线的对称性求得P（X62）P（X63.6），则结论可求【解答】解：（）10件产品中优质品的频率为，记任取3件，优质品数为Y，则YB（3，），P（Y2）；（）记这种产品的质量指标为X，由题意，XN（53.7，9.92）
32、，则P（43.8X63.6）P（X+）0.6827P（X62）P（X63.6）0.15有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求【点评】本题考查服从二项分布随机变量概率的求法，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是基础题22（12分）已知函数f（x）lnxa2x2+ax（I）讨论f（x）的单调性；（II）若a1，求证：当x0时，f（x）e2xx22【分析】（）求出原函数的导函数，对a分类求解原函数的单调区间；（）把证当x0时，f（x）e2xx22，转化为证lnxe2xx2，即证lnxx+1e2x2x1构造函数g（x）lnxx+1，h（x）e2x2x1，x0，利用导数分别求得g（
33、x）0和h（x）0，则结论得证【解答】（）解：f（x）的定义域为（0，+），f（x）当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，由f（x）0，得0x，由f（x）0，得xf（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；当a0时，由f（x）0，得0x，由f（x）0，得xf（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；综上，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；当a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减（）证明：当a1时，f（x）lnxx2+x，要证当x0时，f（x）e2xx22，只要证lnxe2xx2只要证lnxx+1e2x2x1令g（x）lnxx+1，则g（x），当x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递增，当x（1，+）时，g（x）0，g（x）单调递减当x0时，g（x）g（1）0，当且仅当x1时“”成立；令h（x）e2x2x1，x0，则h（x）2e2x20，h（x）在（0，+）上单调递增当x0时，h（x）h（0）0lnxx+1e2x2x1即当x0时，f（x）e2xx22【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，体现了数学转化思想方法，是中档题
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