1、2018-2019学年广东省佛山市禅城区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知复数z2i，则z的值为（）A5BC3D2（5分）极坐标方程1表示（）A直线B射线C圆D椭圆3（5分）已知，则P（X4）等于（）ABCD4（5分）若随机变量的分布列为：其中m（0，1），则下列结果中正确的是（）AE（）m，D（）（1m）2BE（）1m，D（）（1m）2CE（）1m，D（）mm2DE（）1m，D（）m25（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充
2、分也不必要条件6（5分）“独立性检验”中在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A和B有关，则算出的数据满足（）Ak26.63Bk23.84Ck23.84Dk26.637（5分）求证：证明：要证只需证即证即证3511原不等式成立以上证明应用的方法是（）A间接证明B综合法C分析法D不是以上方法8（5分）在（1x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）A297B252C297D2079（5分）利用数学归纳法证明：不等式（n2，nN）的过程中，由nk变到nk+1时，左边增加了（）A1项Bk项C2k1项D2k项10（5分）给出三个条件：（1）ac2bc2；（2）；（3）a2b2其中能分别成为a
3、b的充分条件的个数为（）A0B1C2D311（5分）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A24种B36种C48种D60种12（5分）设直线xt与函数f（x）x2，g（x）lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A1BCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 14（5分）定义运算，若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数|z| 15（5分）已知边长
4、分别为a，b，c的三角形ABC的面积为S，内切圆的半径为r，则r，类比得到若四面体的体积为V，四个面的面积分别为A，B，C，D，则内切球的半径为R 16（5分）荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶（如图）上跳跃，每跳一次时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶，而且顺时针方向跳的概率是逆时针跳的概率的两倍，假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17（10分）随着我国经济的发展，居民的人民币储蓄存款逐年增长，设某地区近五年统计数据如下：年份x20142015201620172018储蓄存款y（千亿元）567810（
5、1）统计专家通过计算分析得“变量x、y线性相关性很强”试求y关于x的回归方程（2）用所求回归方程预测该地区2019年的人民币储蓄存款参考数据可直接引用：20321290，72588，520321280，57257618（12分）一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（时间t的单位：s，速度v的单位：m/s）紧急刹车到停止求：（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后火车运行的路程19（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）P为直线l
6、上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的坐标20（12分）已知关于x的不等式|ax1|+|axa|1（a0）（1）当a1时，解不等式；（2）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围21（12分）现在对900电子元件进行产品检测，选择特优产品，可以利用两种方法，逐个检测、每个元件检测一次；取其中m个元件作为一组串联进行检测，如果检测通过，则全部为特优产品；如果检测不通过，那么再对这m个元件逐个检测，这时一组共需要m+1次检验，估计这批产品非特优的概率为0.1（1）求当m3时，一个小组经过一次检验就能确定结果的概率是多少？（2）在第二种方法中，分别取m4和m6时，试比较每个电子元件检测次数的期望
7、大小？22（12分）设f（x）ln（x+1）+ax+b（a，bR，a，b为常数），曲线yf（x）与直线yx在（0，0）点相切（）求a，b的值；（）证明：当0x2时，f（x）2018-2019学年广东省佛山市禅城区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知复数z2i，则z的值为（）A5BC3D【分析】由z求出，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解【解答】解：由z2i，得z（2i）（2+i）4i25故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题2（5分）极坐标方程1表示（）A直线B射线C圆D椭圆【分析】先在
8、极坐标方程1，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cosx，siny，2x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程即可进行判断【解答】解：将方程1化成直角坐标方程为x2+y21它表示一个圆故选：C【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化3（5分）已知，则P（X4）等于（）ABCD【分析】根据X知P（X4）即为独立做6次试验，发生了4次的概率，即 C64p4（1p）2，即可求解【解答】解：根据X知，P（X4）即为独立做6次试验，发生了4次的概率，即 C64p4（1p
9、）2故选：B【点评】本题是一个二项分布的问题，在每次试验中事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这n次独立重复试验中实件发生的次数4（5分）若随机变量的分布列为：01Pm1m其中m（0，1），则下列结果中正确的是（）AE（）m，D（）（1m）2BE（）1m，D（）（1m）2CE（）1m，D（）mm2DE（）1m，D（）m2【分析】由题意先求出E（）1m，由此能求出D（）【解答】解：由题意得：E（）0m+1（1m）1m，D（）（01+m）2m+（11+m）2（1m）mm2故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量
10、的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”“平面和平面相交”，反之不成立【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”“平面和平面相交”，反之不成立“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题6（5分）“独立性检验”中在犯错
11、误的概率不超过0.05的前提下认为事件A和B有关，则算出的数据满足（）Ak26.63Bk23.84Ck23.84Dk26.63【分析】通过K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论【解答】解：根据观测值P（K2k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828概率不超过0.05对应的k值为3.841，故选：C【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，考查对应概率的问题，是基础题目7（5分）求证：证明：要证只需证即证即证3511原不等式成立以上证明应
12、用的方法是（）A间接证明B综合法C分析法D不是以上方法【分析】由证明过程可知本题是“执果索因”的证明方法，从而可判断其为分析法【解答】解：从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法故本题的证明方法为分析法故选：C【点评】本题考了对分析法概念的理解，关键理解“执果索因”与“由因寻果”的区别，属基础题8（5分）在（1x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）A297B252C297D207【分析】先将多项式展开，转化成两二项式系数的差，利用二项展开式的通项公式求出第r+1
13、项，令x的指数为5，2求出二项展开式的系数【解答】解：（1x3）（1+x）10（1+x）10x3（1+x）10（1x3）（1+x）10展开式的x5的系数是（1+x）10的展开式的x5的系数减去（1+x）10的x2的系数（1+x）10的展开式的通项为Tr+1C10rxr令r5，2得（1+x）10展开式的含x5的系数为C105；展开式的含x2的系数为C102C105C10225245207故选：D【点评】本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题9（5分）利用数学归纳法证明：不等式（n2，nN）的过程中，由nk变到nk+1时，左边增加了（）A1项Bk项C2k1项D2
14、k项【分析】依题意，由nk递推到nk+1时，不等式左边为1+，与nk时不等式的左边比较即可得到答案【解答】解：用数学归纳法证明等式1+f（n）（n2，nN*）的过程中，假设nk时不等式成立，左边1+，则当nk+1时，左边1+，由nk递推到nk+1时不等式左边增加了：+，共（2k+11）2k+12k项，故选：D【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题10（5分）给出三个条件：（1）ac2bc2；（2）；（3）a2b2其中能分别成为ab的充分条件的个数为（）A0B1C2D3【分析】由题意只要判断中由几个能推出ab由不等式的运算法则，中c0，故“ab”；中若c0时得ab；中a
15、2，b1时有a2b2，但是ab故成为“ab”的充分条件的只有【解答】解：中c0，故“ab”；中若c0时得ab；中a2，b1时有a2b2，但是ab故成为“ab”的充分条件的只有故选：B【点评】本题考查不等式的运算法则和充要条件的判断，属基础知识的考查11（5分）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A24种B36种C48种D60种【分析】分两类，第一类，有3名被录用，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，根据分类计数原理即可得到答案【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有24种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有36，根据分
16、类计数原理，共有24+3660（种）故选：D【点评】本题考查排列、组合的综合运用，解题时要先确定分几类，属于基础题12（5分）设直线xt与函数f（x）x2，g（x）lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A1BCD【分析】将两个函数作差，得到函数yf（x）g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值【解答】解：设函数yf（x）g（x）x2lnx，求导数得当时，y0，函数在上为单调减函数，当时，y0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选：D【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+）上x2lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的
17、自变量x的值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为0.5【分析】利用互斥事件概率加法公式能求出结果【解答】解：某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，此射手在一次射击中不超过8环的概率为：p10.20.30.5故答案为：0.5【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）定义运算，若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数|z|【分析】由已知可得zi+z2，变
18、形后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由复数模的计算公式求解【解答】解：由定义运算，得zi+z2，即z|z|故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题15（5分）已知边长分别为a，b，c的三角形ABC的面积为S，内切圆的半径为r，则r，类比得到若四面体的体积为V，四个面的面积分别为A，B，C，D，则内切球的半径为R【分析】由三角形的面积公式可知，是利用等积法推导的，即三个小三角形的面积之和等于大三角形ABC的面积，根据类比推理可知，将四面体分解为四个小锥体，则四个小锥体的条件之和为四面体的体积，由此得到内切球的半径【解答】解：有条件可知，三角形的面积公式
19、是利用的等积法来计算的，所以根据类比可以得到，将四面体分解为四个小锥体，每个小锥体的高为内切球的半径，所以根据体积相等可得，即内切球的半径，故答案为：【点评】本题考查类比推理，涉及立体几何知识，注意平面图形和空间图形的对应，中档题16（5分）荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶（如图）上跳跃，每跳一次时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶，而且顺时针方向跳的概率是逆时针跳的概率的两倍，假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论【解答】解：设按照顺时针跳的概率为
20、p，则逆时针方向跳的概率为2p，则p+2p3p1，解得p，即按照顺时针跳的概率为，则逆时针方向跳的概率为，若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针，若先按逆时针开始从AB，则对应的概率为，若先按顺时针开始从AC，则对应的概率为，则概率为+故答案为：【点评】本题主要考查概率的计算，利用独立重复试验的概率公式是解决本题的关键三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17（10分）随着我国经济的发展，居民的人民币储蓄存款逐年增长，设某地区近五年统计数据如下：年份x20142015201620172018储蓄存款y（千亿元）567810（1）统计专家通过计算分析得“变量x、
21、y线性相关性很强”试求y关于x的回归方程（2）用所求回归方程预测该地区2019年的人民币储蓄存款参考数据可直接引用：20321290，72588，520321280，572576【分析】（1）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求；（2）在线性回归方程中，取x2019求得y值，即可预测该地区2019年的人民币储蓄存款【解答】解：（1）2016，7.2又20321290，72588，520321280，572576，y关于x的回归方程为；（2）将x2019d代入回归方程为，得（亿元）【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，是中档题18（12分）一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，
22、火车以速度（时间t的单位：s，速度v的单位：m/s）紧急刹车到停止求：（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后火车运行的路程【分析】（1）令v（t）0，解得t的值即为从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后火车运行的路程是t从0到10对函数v（t）的定积分【解答】解：（1）当火车的速度v0时火车完全停止，即5t+0，t24t600，解得t10或t6（舍去）；即从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为10s（2）根据定积分的物理意义，紧急刹车后火车运行的路程就是t从0到10对应函数v（t）5t+的定积分，S010v（t）dt010（5t+）dtF（10
23、）F（0）55ln1155ln11，即紧急刹车后火车运行的路程为55ln11m【点评】本题主要考查了定积分的物理意义与应用问题，要找出被积函数的原函数19（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的坐标【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的方法，写出圆C的直角坐标方程；（2）设P（3+，t），利用距离公式，可得结论【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为，可得直角坐标方程为x2+y22，即x2+（y）23；（2）设P（3+，
24、t），C（0，），|PC|，t0时，P到圆心C的距离最小，P的直角坐标是（3，0）【点评】本题考查极坐标与直角坐标互化，考查参数方程的运用，属于中档题20（12分）已知关于x的不等式|ax1|+|axa|1（a0）（1）当a1时，解不等式；（2）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围【分析】（1）当a1时，可得2|x1|1，即，由此求得不等式的解集（2）不等式|ax1|+|axa|1解集为R，等价于|a1|1，由此求得实数a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，可得2|x1|1，即，解得，不等式的解集为 （5分）（2）|ax1|+|axa|a1|，不等式|ax1|+|axa|1解集
25、为R，等价于|a1|1解得a2，或a0 又a0，a2实数a的取值范围为2，+） （10分）【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题21（12分）现在对900电子元件进行产品检测，选择特优产品，可以利用两种方法，逐个检测、每个元件检测一次；取其中m个元件作为一组串联进行检测，如果检测通过，则全部为特优产品；如果检测不通过，那么再对这m个元件逐个检测，这时一组共需要m+1次检验，估计这批产品非特优的概率为0.1（1）求当m3时，一个小组经过一次检验就能确定结果的概率是多少？（2）在第二种方法中，分别取m4和m
26、6时，试比较每个电子元件检测次数的期望大小？【分析】（1）当m3时，一个小组经过一次检验就能确定结果，说明采用的是第种检测方法，且3个产品均为特优产品，根据相互独立事件的概率乘法公式处理即可；（2）对900个电子元件分组检测时，每个电子元件检测次数的期望即为一组中电子元件每个电子元件检测次数的期望，当m4时每个电子元件的检测次数为X，则X，或X，求出每个X对应的概率，即可求出期望，同理当m6时，设每个电子元件的检测次数为Y，则Y，或Y，求出E（Y），比较即可【解答】解：（1）当m3时，一个小组经过一次检验就能确定结果，所以采用的是第种检测方法，且3个产品均为特优产品，所以经过一次检验就能确定结
27、果的概率是P（10.1）30.729；（2）对900个电子元件分组检测时，每个电子元件检测次数的期望即为一组中电子元件每个电子元件检测次数的期望，当m4时每个电子元件的检测次数为X，则X，或X，P（X）（10.1）40.6561，P（X）1P（X）0.3439，所以E（X）0.6561+0.34390.5939，当m6时，设每个电子元件的检测次数为Y，则Y，或Y，P（Y）（10.1）60.53，所以P（Y）1P（Y1）0.47，所以E（Y）0.53+0.470.6367，所以E（Y）E（X），所以m6时每个电子元件检测次数的期望更大【点评】本题考查了相互独立事件的概率公式，考查了离散型随机变量
28、的概率分布列与数学期望，属于难题准确理解题意是解决本题的关键22（12分）设f（x）ln（x+1）+ax+b（a，bR，a，b为常数），曲线yf（x）与直线yx在（0，0）点相切（）求a，b的值；（）证明：当0x2时，f（x）【分析】（I）由yf（x）过（0，0），可求b的值，根据曲线yf（x）与直线在（0，0）点相切，利用导函数，可求a的值；（II）由（I）知f（x）ln（x+1）+，由均值不等式，可得，构造函数k（x）ln（x+1）x，可得ln（x+1）x，从而当x0时，f（x），记h（x）（x+6）f（x）9x，可证h（x）在（0，2）内单调递减，从而h（x）0，故问题得证【解答】（I）解：由yf（x）过（0，0），f（0）0，b1曲线yf（x）与直线在（0，0）点相切y|x0a0；（II）证明：由（I）知f（x）ln（x+1）+由均值不等式，当x0时，令k（x）ln（x+1）x，则k（0）0，k（x），k（x）0ln（x+1）x，由得，当x0时，f（x）记h（x）（x+6）f（x）9x，则当0x2时，h（x）f（x）+（x+6）f（x）9h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）0，h（x）0当0x2时，f（x）【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查构造法的运用，考查不等式的证明，正确构造函数是解题的关键
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